1、 4.3.3 二維圖形的幾何變換 二維圖形的基本幾何變換主要包括： 平移變換 比例變換 對稱變換 旋轉(zhuǎn)變換 參考書： 計算機(jī)輔助設(shè)計基礎(chǔ)及應(yīng)用清華大學(xué)出版社 崔洪斌 CAD/CAM原理與應(yīng)用 機(jī)械工業(yè)出版社 蔡穎 4.3.3 二維圖形的幾何變換 圖形由圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)之間的拓?fù)潢P(guān)系以及組成圖形的面和線的表達(dá)模型所決定的，圖形的幾何變換是點(diǎn)的幾何變換。 圖形幾何變換的基本原理是用矩陣描述一個圖形，用變換矩陣表示平移、旋轉(zhuǎn)、縮小和放大等功能，而通過這兩種矩陣的運(yùn)算，即可改變圖形的位置、方向或大小。因此圖形變換的主要工作就是求解變換矩陣T。圖形變換的基本原理 4.3.3 二維圖形的幾何變換圖形是

2、點(diǎn)的集合在二維平面中，任何一個圖形都可以認(rèn)為是點(diǎn)之間的連線構(gòu)成的。對于一個圖形作幾何變換，實(shí)際上就是對一系列點(diǎn)進(jìn)行變換。點(diǎn)的表示 在二維平面內(nèi)，一個點(diǎn)通常用它的兩個坐標(biāo)（x,y）來表示，寫成矩陣形式則為： x y (行向量) 或 ( 列向量) 4.3.3 二維圖形的幾何變換變換矩陣若A、B、T都是矩陣，且AT=B，則T被稱為變換矩陣。變換矩陣為點(diǎn)的變換提供了工具。 設(shè)變換矩陣： 4.3.3 二維圖形的幾何變換點(diǎn)的變換 將兩維空間中任意點(diǎn)的坐標(biāo)x y與變換矩陣T相乘，變換后點(diǎn)的坐標(biāo)記作x y。則： 即： 新點(diǎn)的位置取決于變量a、b、c、d的值。 4.3.3 二維圖形的幾何變換 其中，a、d分別為

3、沿x、y方向上的比例因子，且a、d 0。 如果 a = d = 1，變換為恒等變換，即變換后點(diǎn)的坐標(biāo)不變。 如果 a = d 1，變換為等比例變換，其中： 若 a = d 1，變換為等比例放大； 若 a = d 1，變換為等比例縮小。 如果 a d，變換后的圖形會產(chǎn)生 畸變。 圖4-4 圖形的比例變換 4.3.3 二維圖形的幾何變換 對稱變換 對稱變換又稱為鏡像變換?；緦ΨQ變換主要包括對x軸、對y軸、對坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換等。 圖4-5 圖形的對稱變換 4.3.3 二維圖形的幾何變換關(guān)于y軸的對稱變換 當(dāng)相對于y軸的對稱變換時，因?yàn)橛校?x = -x，y = y，所以，變換矩陣為： 點(diǎn)關(guān)于y軸

4、的對稱變換為：（4-5）（4-6） 4.3.3 二維圖形的幾何變換關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換 當(dāng)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換時，因?yàn)橛校?x = -x，y = -y，所以，變換矩陣為： 點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換為：（4-8）（4-7） 4.3.3 二維圖形的幾何變換 旋轉(zhuǎn)變換（繞坐標(biāo)原點(diǎn)） 如圖4-6所示，點(diǎn)P(x, y)繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)角到新位置P(x, y)，旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 因此，二維圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為: （4-9） 4.3.3 二維圖形的幾何變換 平移變換 平移變換是將圖形中的每一個點(diǎn)進(jìn)行移動。如圖4-7所示，點(diǎn)P(x, y)沿x和y坐標(biāo)方向增加平移量m和n，

5、平移到一個新位置P(x, y)，平移變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式為: （4-11） 其變換矩陣為: （4-12） 4.3.3 二維圖形的幾何變換 平移變換 圖4-7 圖形的平移變換 4.3.3 二維圖形的幾何變換 其中，平移變換矩陣為： 這樣，可用一個統(tǒng)一的33階齊次矩陣來表示上述的各種二維圖形變換，即： 比例、對稱、旋轉(zhuǎn)平移全比例因子，s=1投影，一般 p=0 q=0（4-14） 4.3.3 二維圖形的幾何變換 用齊次坐標(biāo)表示的二維圖形幾何變換的變換矩陣為： 比例變換的齊次變換矩陣為： 對稱變換的齊次變換矩陣為： 4.3.3 二維圖形的幾何變換 平移變換的齊次變換矩陣為： 旋轉(zhuǎn)變換的齊次變換矩陣為： 4

6、.3.3 二維圖形的幾何變換 二維圖形的組合變換 組合變換通常一個實(shí)際的圖形變換可能要分解為上述幾個基本變換的乘積，相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。 如圖4-8所示，圖形繞任意點(diǎn)C（Xc,Yc）逆時針旋轉(zhuǎn)角，可以通過三個簡單變換來實(shí)現(xiàn)，即平移旋轉(zhuǎn)平移。 4.3.3 二維圖形的幾何變換 1) 將旋轉(zhuǎn)中心平移到坐標(biāo)原點(diǎn)； 2) 繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角； 3) 將旋轉(zhuǎn)中心平移回原位置。 圖4-8 圖形的組合變換 4.3.3 二維圖形的幾何變換 其變換矩陣為： T = T1T2T3 = = 注意：由于矩陣乘法不存在交換率，故矩陣相乘時的順序不能顛倒。 （4-15） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 三維平移變

7、換 空間物體產(chǎn)生平移變換時，其位置發(fā)生變化，但形狀、大小均不改變。三維平移變換的變換矩陣為： 其中l(wèi)、m、n分別為X、Y、Z軸上的平移量。點(diǎn)的變換為： （4-17）（4-18） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 三維比例變換 變換矩陣中的元素a、e、j為沿x、y、z三軸方向上的比例因子。 變換矩陣為： 點(diǎn)的變換為： （4-19）（4-20） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 三維對稱變換 關(guān)于xoz平面的對稱變換 當(dāng)相對于xoz平面進(jìn)行對稱變換時，其變換矩陣為： 點(diǎn)的變換為： （4-23）（4-24） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 三維對稱變換 關(guān)于yoz平面的對稱變換 當(dāng)相對于yoz平面進(jìn)行對稱變換時，其變換矩陣為： 點(diǎn)的變換為： （4-25）（4-26） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 三維旋轉(zhuǎn)變換 三維旋轉(zhuǎn)變換是指平面圖形分別繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的變換，按繞不同軸線旋轉(zhuǎn)分別處理。通常規(guī)定，旋轉(zhuǎn)角逆時針轉(zhuǎn)動為正，順時針轉(zhuǎn)動為負(fù)。 繞X軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為： （4-27） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 繞Y軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為： 繞Z軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為：（4-28）（4-29） 4.計算機(jī)繪圖技術(shù) 思考題： 1.