1、eq avs4al(第二十講)解直角三角形(建議課時：2課時)解直角三角形1知識結(jié)構(gòu)2基礎(chǔ)知識(1)勾股定理及其逆定理勾股定理:直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2c2.勾股定理的逆定理如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形(2)直角三角形的性質(zhì)直角三角形兩銳角_ _直角三角形斜邊中線等于_ _在直角三角形中，如果有一個銳角是30，那么它_ _是_ _(3)直角三角形的判定定義法：有一個角是_ _的三角形是直角三角形有兩個角的和是_ _的三角形是直角三角形如果一個三角形一邊上的中線等于

2、這邊的_ _，那么這個三角形是直角三角形(4)銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在RtABC中，C90，則sin Aeq f(A的對邊,斜邊)eq f(a,c)，cos Aeq f(A的鄰邊,斜邊)eq f(b,c)，tan Aeq f(A的對邊,A的鄰邊)eq f(a,b).sin A，cos A，tan A分別叫作銳角A的正弦，余弦，正切，統(tǒng)稱為銳角A的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的取值范圍：0sin A1，0cos A0.特殊角的三角函數(shù)值：030456090sin 0eq f(1,2)eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)1cos 1eq f(r(3),2)eq f(r(2),2

3、)eq f(1,2)0tan 0eq f(r(3),3)1eq r(3)不存在銳角三角函數(shù)值隨角度的變化規(guī)律：當角度在090變化時，正弦、正切值隨角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦、余切值隨角度的增大(或減小)而減小(或增大)(5)解直角三角形解直角三角形的定義根據(jù)直角三角形中除直角外的兩個元素(其中必有一條邊)，求出其余所有未知元素的過程解直角三角形的依據(jù)角的關(guān)系：兩個銳角互余；邊的關(guān)系：勾股定理；邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)直角三角形的常見類型及一般解法RtABC中的已知條件一般解法兩邊兩直角邊a，bceq r(a2b2)；由tan Aeq f(a,b)求出A；B90A一直角邊a，斜邊c

4、beq r(c2a2)；由sin Aeq f(a,c)求出A；B90A一邊一銳角一直角邊a，銳角AB90A；beq f(a,tan A)；ceq f(a,sin A)斜邊c，銳角AB90A；acsin A；bccos A解直角三角形應(yīng)用中的術(shù)語(a)如圖，仰角：在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫作仰角；俯角：從上往下看，視線與水平線的夾角叫作俯角(b)坡度：如下圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平寬度(l)的比叫作坡面的坡度(或坡比)，記作i，即ieq f(h,l).坡度通常寫成1m的形式，如i16. (c)坡角：坡面與水平面的夾角叫作坡角，記作，有ieq f(h,l)tan.顯然，坡度

5、越大，坡角就越大，坡面就越陡(d)方位角：指南或指北的方向線與目標方向線所成的小于90的角為方位角.勾股定理例1(1)如圖，將兩個大小、形狀完全相同的ABC和ABC拼在一起，其中點A與點A重合，點C落在邊AB上，連接BC.若ACBACB90，ACBC3，則BC的長為()A3eq r(3) B6 C3eq r(2) r(21)(2)如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為S1，S2，S3；如圖2，分別以直角三角形三個頂點為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為S4，S5，S6.其中S116，S245，S511，S614，則S3S4()A86 B64 C54 D4

6、8【分析】分別用直角三角形三邊長度表示出S1，S2，S3，然后根據(jù)勾股定理即可得出S1，S2，S3的關(guān)系同理，得出S4，S5，S6的關(guān)系分別求出S3，S4即可得解 (3)(2023襄陽)已知CD是ABC的邊AB上的高，若CDeq r(3)，AD1，AB2AC，則BC的長為_【分析】分兩種情況：當ABC是銳角三角形時，如圖1.CDAB，CDA90.CDeq r(3)，AD1，AC2.AB2AC，AB4.BD413.BCeq r(CD2BD2)eq r(（r(3)）232)2eq r(3).答案圖當ABC是鈍角三角形時，如圖2.同理得AC2，AB4，BCeq r(CD2BD2)eq r(（r(3)

7、）252)2eq r(7).綜上，BC的長為2eq r(3)或2eq r(7).勾股定理的應(yīng)用例2(2023黃岡)如圖，圓柱形玻璃杯高為14 cm，底面周長為32 cm，在杯內(nèi)壁離杯底5 cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3 cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為_ cm(杯壁厚度不計)答案圖【分析】如圖，將杯子側(cè)面展開，作點A關(guān)于EF的對稱點A，連接AB，則AB即為最短距離，ABeq r(AD2BD2)eq r(162122)20(cm)銳角三角函數(shù)定義例3(1)(2023宜昌)ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示(每個小正方形邊長為1)，ADBC于點

8、D，下列選項中，錯誤的是()Asin cos Btan C2Csin cos Dtan 1 (2)在RtABC中，C90，AC1，BC3，則A的正切值為()A3 f(1,3) f(r(10),10) f(3r(10),10)特殊銳角三角函數(shù)值例4(1)(2023大慶)2cos 60()A1 r(3) r(2) f(1,2) (2)計算：(1)42tan 60(eq r(3)eq r(2)0eq r(12).解直角三角形例5(1)(2023濱州)在ABC中，C90，若tan Aeq f(1,2)，則sin B_ (2)(2023無錫)已知ABC中，AB10，AC2eq r(7)，B30，則ABC

9、的面積等于_【分析】作ADBC交BC(或BC延長線)于點D.分AB，AC在AD同側(cè)和異側(cè)兩種情況解直角三角形的應(yīng)用例6(2023成都)2023年，成都馬拉松成為世界馬拉松大滿貫聯(lián)盟的候選賽事，這大幅提升了成都市的國際影響力如圖，在一場馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測得起點拱門CD的頂部C的俯角為35，底部D的俯角為45，如果A處離地面的高度AB20米，求起點拱門CD的高度(結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin 35，cos 35，tan 351.(2023襄陽)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若(ab)221，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為( )A3 B4 C5 D6第1題圖第2題圖2如圖，A，B，C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tanBAC的值為( ) f(1,2) B1 f(r(3),3) r(3)3小明沿著坡度i為1eq r(3)的直路向上走了50 m，則小明沿垂直方向升高了_ _4