1、PAGE PAGE 22培優(yōu)沖刺（10）難度評估：困難 測試時間：60分鐘一、單選題(共60分)1(本題5分)設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：對于任意x，yS，若xy，都有xyT對于任意x，yT，若xy，則S；下列命題正確的是（）A若S有4個元素，則ST有7個元素B若S有4個元素，則ST有6個元素C若S有3個元素，則ST有5個元素D若S有3個元素，則ST有4個元素2(本題5分)復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，則這樣的一共有（）個.A9B10C11D無數(shù)3(本題5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為4，則輸出的結(jié)果是A1BD4(本題5分)函數(shù)，已知為圖象的一

2、個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調(diào)遞減記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（）ABCD5(本題5分)已知平面向量，滿足，對任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最大值為（）ABCD6(本題5分)如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，點(diǎn)為線段的動點(diǎn)記與所成角的最小值為，當(dāng)為線段中點(diǎn)時，二面角的大小為，二面角的大小為，則，的大小關(guān)系是（）BCD7(本題5分)若函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）ABCD8(本題5分)如圖所示，將方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等.若相鄰兩個小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為A33B56C64D789(本題5分)已知

3、數(shù)列滿足，若，則“數(shù)列為無窮數(shù)列”是“數(shù)列單調(diào)”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件10(本題5分)已知數(shù)列中，記，則下列結(jié)正確的是（）ABCD11(本題5分)已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，是上一點(diǎn)，為等腰三角形，且外接圓面積為，則雙曲線的離心率為ABCD12(本題5分)設(shè)函數(shù)，、.記，、，則（）ABCD二、填空題(共20分)13(本題5分)已知正方形，點(diǎn)O關(guān)于直線FM對稱的點(diǎn)為N，則的最小值為_.14(本題5分)如圖，在中，是的角平分線，沿將折起到的位置，使得平面平面若，則三棱錐外接球的表面積是_(本題5分)黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼于1859年提出，是

4、至今仍未解決的世界難題黎曼猜想研究的是無窮級數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和入手已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則_（其中表示不超過的最大整數(shù)）16(本題5分)參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn).他在家里做了個探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為個單

5、位長度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為個單位長度，則這個影子橢圓的離心率_.參考答案1A【解析】【分析】分別給出具體的集合S和集合T，利用排除法排除錯誤選項(xiàng)，然后證明剩余選項(xiàng)的正確性即可.【詳解】首先利用排除法：若取，則，此時，包含4個元素，排除選項(xiàng) C；若取，則，此時，包含5個元素，排除選項(xiàng)D；若取，則，此時，包含7個元素，排除選項(xiàng)B；下面來說明選項(xiàng)A的正確性：設(shè)集合，且，則，且，則，同理，若，則，則，故即，又，故，所以，故，此時，故，矛盾，舍.若，則，故即，又，故，所以，故，此時.若， 則，故，故，即，故，此時即中有7個元素.故A正確.故選：A.2C【解析】【分析】

6、先根據(jù)復(fù)數(shù)的模為1及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，求得即，接下來分與兩種情況進(jìn)行求解，結(jié)合，求出的個數(shù).【詳解】，其中，所以，即，當(dāng)時，所以，因?yàn)?，所以或；，所以，因?yàn)?，所以，或；?dāng)時，即，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，綜上：，一共有11個.故選：C.3C【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時，此時否，此時，代入，否，代入得，此時是，輸出，故選：C4A【解析】由一條對稱軸和一個對稱中心可以得到或，由在上單調(diào)遞減可以得到，算出的大致范圍，驗(yàn)證即可.【詳解】由題意知：或或或在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取知此時，當(dāng)時，滿足在上單調(diào)遞減，符合取時，此時，當(dāng)時，滿足在上單調(diào)遞減，符合當(dāng)時，舍去，當(dāng)時，也舍去當(dāng)時，取知此時，當(dāng)時，此時

7、在上單調(diào)遞增，舍去當(dāng)時，舍去，當(dāng)k1時，也舍去綜上：或2，.故選：A.5D【解析】【分析】把不等式兩邊平方，化為關(guān)于的不等式，再由0求得，由，可設(shè)，根據(jù)，得向量對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的軌跡方程是以為圓心，為半徑的圓，再由，可以看成和兩點(diǎn)之間的距離，從而即可得出答案.【詳解】解：由，得，即，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)恒成立，所以，解得，所以即，由，可設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，所以向量對?yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的軌跡方程是以為圓心，為半徑的圓，可以看成和兩點(diǎn)之間的距離，將代入，得在圓內(nèi)，圓心到點(diǎn)的距離為，所以的最大值為.故選：D.6B【分析】BE與AP所成角的最小值即為AP與平面PBD所成的角，利用空間中的線與線、線與平面的垂直關(guān)系可

8、得與平面PBD所成的角即為，設(shè)即表示；利用一線定角表示與，分別計(jì)算其正切值，即可比較大小.【詳解】BE與AP所成角的最小值即為AP與平面PBD所成的角平面PCD，又，面PAD，又，面PAB，而面PBD，面面PAB，與平面PBD所成的角即為，即不妨設(shè)，則，在平面PAD內(nèi)作，面面ABCD，面ABCD，在面ABCD內(nèi)作，連PM，則，即為二面角的平面角，在中，同理，作，連，則，即為二面角的平面角，即易知：，故選：B.7C【解析】【分析】將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點(diǎn)問題，構(gòu)造函數(shù)，考察函數(shù)的極值及變化速率的關(guān)系可得.【詳解】易知，當(dāng)時，函數(shù)恒成立，不滿足題意因?yàn)樗院瘮?shù)有零點(diǎn)，有零點(diǎn)，則方程有解，即方程

9、有解即函數(shù)與的圖象在上有交點(diǎn)，易知時，時，故，當(dāng)時，易知時，時，故，因?yàn)楹愠闪?，所以此時無交點(diǎn)；當(dāng)時，易知時，時，故，易知，當(dāng)時，必有，所以當(dāng)時，兩函數(shù)圖象一定有交點(diǎn).令，因?yàn)?，故函?shù)單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時，即成立.當(dāng)，時，當(dāng)時，此時，故兩函數(shù)圖象在上有交點(diǎn).綜上，b的取值范圍為故選：C.8B【解析】記分隔邊的條數(shù)為，首先將方格按照按圖分三個區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，將方格的行從上至下依次記為，列從左至右依次記為，行中方格出現(xiàn)的顏色數(shù)記為，列中方格出現(xiàn)的顏色個數(shù)記為，三種顏色分別記為，對于一種顏色，設(shè)為含有色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，定義當(dāng)行含有色方格時，否則，類似的定義，計(jì)算得

10、到，再證明，再證明對任意均有，最后求出分隔邊條數(shù)的最小值.【詳解】記分隔邊的條數(shù)為，首先將方格按照按圖分三個區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，此時共有56條分隔邊，即，其次證明：，將將方格的行從上至下依次記為，列從左至右依次記為，行中方格出現(xiàn)的顏色數(shù)記為，列中方格出現(xiàn)的顏色個數(shù)記為，三種顏色分別記為，對于一種顏色，設(shè)為含有色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，定義當(dāng)行含有色方格時，否則，類似的定義，所以，由于染色的格有個，設(shè)含有色方格的行有個，列有個，則色的方格一定再這個行和列的交叉方格中，從而，所以，由于在行中有種顏色的方格，于是至少有條分隔邊，類似的，在列中有種顏色的方格，于是至少有條分隔邊，則

11、下面分兩種情形討論，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨設(shè)有一行均為色，則方格的33列均含有的方格，又色的方格有363個,故至少有11行有色方格，于是由得，(2)沒有一行也沒有一列的所有方格同色,則對任意均有，從而，由式知：，綜上，分隔邊條數(shù)的最小值為56.故選：B.9B【解析】【分析】由已知可得，設(shè)，若存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，此時數(shù)列為有窮數(shù)列；若恒不為0，由，有，此時為無窮數(shù)列，由此根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析即可得結(jié)論【詳解】解：令，由，可得，所以，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，所以，設(shè)，則數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，若存在正整數(shù)，當(dāng)時，則有，此時數(shù)列為有窮數(shù)列；若恒不為

12、0，由，有，數(shù)列就可以按照此遞推關(guān)系一直計(jì)算下去，所以此時為無窮數(shù)列.（1）若恒不為0，則為無窮數(shù)列，由遞推關(guān)系式有，取，時，則，此時數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列；（2）當(dāng)數(shù)列為有窮數(shù)列時，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，此時數(shù)列為，由，若數(shù)列單調(diào)，則，全為正或全為負(fù)，由，則，全為正，而，這與單調(diào)遞增矛盾，所以當(dāng)數(shù)列為有窮數(shù)列時，數(shù)列不可能單調(diào)，所以當(dāng)數(shù)列單調(diào)時，數(shù)列一定有無窮多項(xiàng)故選：B.10D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列特征得到，且與同號，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求得，與比較，發(fā)現(xiàn)不恒成立，判斷出A選項(xiàng)；結(jié)合，可得，判斷出B選項(xiàng)；利用可得：，構(gòu)造新函數(shù)可得：，得到，而根據(jù)一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長速度，可得不恒成立，故判斷C選

13、項(xiàng)；根據(jù)題干條件得到，進(jìn)而求出，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得：，故D選項(xiàng)正確.【詳解】由，可得：，故，所以，因?yàn)椋?，故，所以與同號，因?yàn)?，所以，綜上：，又因?yàn)?，可得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，從而，所以不恒成立，選項(xiàng)A不成立因?yàn)椋院愠闪?，選項(xiàng)B不成立；因?yàn)?，所以，若，則，其中設(shè)（），則，所以在上單調(diào)遞減，其中，當(dāng)時，所以，故有，結(jié)合函數(shù)的增長速度，顯然不恒成立，故選項(xiàng)C錯誤；，可視為數(shù)列的前項(xiàng)和，單調(diào)遞增，故恒成立，選項(xiàng)D正確.故選：D.11C【詳解】分析：不妨設(shè)在第二象限，由外接圓面積得其半徑，設(shè)，利用正弦定理求出，從而可得，然后求得點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可得關(guān)系式，化簡后可求得離心

14、率詳解：不妨設(shè)在第二象限，則在等腰中，設(shè)，則，為銳角外接圓面積為，則其半徑為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)在雙曲線上，得，整理得，故選：C12D【解析】【分析】化簡、，利用函數(shù)單調(diào)性比較這三個數(shù)與的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，因?yàn)?，故函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由題意可知，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，故函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，由題意可知，則，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因此?故選：D.130【解析】【分析】利用點(diǎn)O關(guān)于直線FM對稱求出N點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合對勾函數(shù)求

15、出橫坐標(biāo)的取值范圍，結(jié)合N的軌跡，利用極化恒等式進(jìn)行求解【詳解】由題意得：，則直線MF：，設(shè)，則，解得：，所以，其中，由對勾函數(shù)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，從而，且當(dāng)時，又點(diǎn)N的軌跡為以M為圓心，2為半徑的圓弧，如圖所示，取BC的中點(diǎn)H，連接NH，因?yàn)?，兩式平方后相加得：，要想的值最小，則需要最小，連接MH，與圓弧交點(diǎn)N即為最小的，此時由勾股定理得：，此時，過點(diǎn)N作NGy軸于點(diǎn)G，則，所以，故，符合要求，故.故答案為：014【解析】【分析】先利用角平分線及求出各邊長，進(jìn)而找到球心及球心在平面BCD上的投影，利用半徑相等列出方程，求出半徑，進(jìn)而求出外接球表面積.【詳解】過點(diǎn)作，連接.設(shè)，則，在中，由余弦定理可得因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為CD，所以平面，因?yàn)锽E平面BCD，所以，則，解得：，從而在中，由余弦定理可得因?yàn)镃D是ACB的角平分線，所以，由正弦定理得：，而，所以，因?yàn)?，且，所以設(shè)外接圓的圓心為，半徑為r，則，點(diǎn)到直線的距離設(shè)三棱錐外接球的球心為O，半徑為R，則，即，解得：，故三棱錐外接球的表面積是1588【解析】【分析】根據(jù)已知條件，可得數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，即，