1、最全文檔整理最全文檔整理錐曲線的第三定義及運(yùn)用橢圓和雙曲線的第三定義橢圓和雙曲線的第三定義橢圓在橢圓C：+若=1(aa2b、b0)中，A、B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的一AA點(diǎn)，若k、k存在，則有：kk=e21=PAPBPAPBa2b2證明：構(gòu)造APAB的PA邊所對(duì)的中位線MO,k=k，由點(diǎn)差法結(jié)論：kk=e2-1=-PAMOMOPBa2知此結(jié)論成立。2.雙曲線2.雙曲線x2y2在雙曲線C：-bT=1中，A、B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),P是橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，若仁、kpB存在，則有：kk=e2-1=PAPBa2證明：只需將橢圓中的b2全部換成-b2就能將橢圓結(jié)論轉(zhuǎn)換成雙曲線的結(jié)

2、論。二、與角度有關(guān)的問題例題一：已知橢圓C：_+=1(aa2b、b0)的離心率e-二，A、B是橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓與雙曲AA八x2y2cosB線刁飛=1的一個(gè)交點(diǎn)令ZPAB=，APB邙，則=令ZpBx=，由橢圓第三定義可知：tanatany=e2-1=-4coscosB=cos(coscosB=cos(y(2a+B)cos(y-a)+a)cosycosa+sinysinacosycosa+sinysina1+tanatany_31-tanatany5點(diǎn)評(píng)：其實(shí)所謂的雙曲線方程只是一個(gè)障眼法，并不影響題目的解答。兩頂點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)的模型要很快的聯(lián)想到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的角轉(zhuǎn)化為兩直

3、線的傾斜角，把正余弦轉(zhuǎn)化為正切。題目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的常見考點(diǎn)變式1-1：（石室中學(xué)2015級(jí)高二下4月18日周末作業(yè)）已知雙曲線C：X2-y2=2015的左右頂點(diǎn)分別為A、B,P為雙曲線右支一點(diǎn)，且乙PAB=4ZAPB，求ZPAB=.解答：兀兀令ZpAB=ae0邁,ZPBA=卩u0乙，則B=5a，由雙曲線的第三定義知:tanatan卩=tanatan5a=e2一1=1則：1tana=tan5則：1tana=tan5a=tan仁一5a12丿兀一兀na=一5ana=212點(diǎn)評(píng)：與例題1采取同樣的思路轉(zhuǎn)化角，但對(duì)于正切轉(zhuǎn)換的要求較高。兩銳角正切乘積為1即表示sina=cosB,cosa=

4、sinpn兩角互余，則可解出a的值。當(dāng)然雙曲線的題目較于橢圓和拋物線題目考試概率較小，但既然提到了雙曲線的第三定義，不妨做一做。三、與均值定理有關(guān)的問題例題2：已知A、B是橢圓+若二l（ab0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩a2b2點(diǎn)，直線AM、BN的斜率分別為仆，且kg主0。若|kj+也|的最小值為1,則橢圓的離心率為.解答一（第三定義+均值）由題意可作圖如下：AfNAfN連接MB,由橢圓的第三定義可知：kk=e2-1=-，而k=-knkk=-AMBMa2BMBN12a2|kJ+|kJ-=1na=2e弓解答二（特殊值法）：這道題由于表達(dá)式（|k|+k|）=1非常對(duì)稱，則可直接

5、猜特殊點(diǎn)求解o|k|=|k|=時(shí)可取最值,12min122則M、N分別為短軸的兩端點(diǎn)。此時(shí)：|k=|=ne=。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于常規(guī)解法，合理利用M、N的對(duì)稱關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這樣可以利用橢圓的第三定義將兩者斜率的關(guān)系聯(lián)系起來，既構(gòu)造了“一正”又構(gòu)造了“二定”禾U用均值定理“三相等”即可用ab表示出最值X當(dāng)然將%|、出|前的系數(shù)改為不相等的兩個(gè)數(shù)，就不能利用特殊值法猜答案了，但常規(guī)解法相同，即變式2-1。變式2-1:已知A、B是橢圓+若二l（ab0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的a2b2兩點(diǎn)，直線AM、BN的斜率分別為仆k?,且kg豐0。若J習(xí)kJ+2|的最小值為1,則橢圓的離心率為:解

6、答：連接MB,由橢圓的第三定義可知：kk=e2-1=-，而k=-knkk=-AMBMa2BMBN12a2a4變式2-2：已知A、B是橢圓+蘭二1（a4變式2-2：已知A、B是橢圓+蘭二1（aba2b20）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),若橢圓上存在Q,使ZAB則橢圓的離心率的取值范圍為解答一（正切+均值）：令Q在x軸上方則直線QA的傾斜角為ae0,；，直線QB的傾斜角為卩令Q在x軸上方則直線QA的傾斜角為ae0,；，直線QB的傾斜角為卩匸兀ZAQB2，兀，tanZAQB二tan（卩-a）=tan卩-tana1+tan卩tanab2由橢圓的第三定義：tanatan卩=-貝ijtan卩=-a2b2a2tana帶入

7、可得：畀嚴(yán)1+tan卩tanab2-tanaa2tana1-冬a2（b21+tana*a2tana丿a2-2-o3max3取臨界情況，即Q為短軸端點(diǎn)時(shí)ZAQB=，此時(shí)纟=J3ne=;當(dāng)橢圓趨于飽滿（eT0）3b3時(shí)，橢圓趨近于圓，圓的直徑所對(duì)的圓周角永遠(yuǎn)為90。，不滿足；當(dāng)橢圓趨于線段（e-1）時(shí),（ZAQB）T兀，滿足。故e匸，maxI3當(dāng)然這些只需要在頭腦中一想而過，簡(jiǎn)潔而有邏輯。點(diǎn)評(píng)：EFT這道題可以增加對(duì)于圓周角的理解，在用極限法討論“當(dāng)Q趨近于AB兩點(diǎn)時(shí)，ZAQB-”時(shí)能會(huì)顛覆“ZAQB-?！钡恼J(rèn)知，當(dāng)然這肯定是錯(cuò)的，結(jié)合常規(guī)解法可以看出此時(shí)是角最小的情況,而不是角最大的情況。要搞清

8、楚，不然會(huì)被弄暈的。對(duì)于常規(guī)解法選擇正切表示角的大小的原因有二：兀與第三定義發(fā)生聯(lián)系tanx在-,兀單增便于利用tanx的大小比較角度的大小?？偨Y(jié)歸納上述部分題目的常規(guī)解法較復(fù)雜，但做題時(shí)一定要能猜答案，而且要猜得有理由。對(duì)于均值不等式，注意取等條件是“三相等”，即相等時(shí)取最值。這可以幫助猜測(cè)表達(dá)形式是高度對(duì)稱的式子的最值，如：例題2極限法可以刻畫出單調(diào)變化的某一變量的端點(diǎn)值，如：變式2-2中P在橢圓上滑動(dòng)，角度的變化一定是光滑的（無突變，連續(xù)），所以只需考慮邊界值。做幾何的選填題時(shí)，有時(shí)利用圓周角定理可以很快的找到最大角，注意學(xué)會(huì)恰當(dāng)運(yùn)用，如：變式2-2。常以正切值刻畫角度大小。在做綜合性較

9、大的題目時(shí)要聯(lián)系各種知識(shí)，靈活轉(zhuǎn)化，以最巧妙的方法致勝。TOC o 1-5 h z.五、方法鏈接針對(duì)上文提到的“圓周角找最大角”與“橢圓中另一類均值”進(jìn)行拓展補(bǔ)充，各附例題。例題3：在平面直角坐標(biāo)系XOY中，給定兩點(diǎn)M（-1,2）和N（1,4），點(diǎn)P在X軸上移動(dòng)，當(dāng)/MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.解答一（正切+均值）：已知：M（-1，2）、N（1，4），I:y=x+3與x軸交于P（一3,0）MN0令P（t,0），則：k=2，k=丄，ZMPN=0MP-1-tNP1-t當(dāng)t=一3時(shí)，0=0kk2t+6當(dāng)t一3時(shí)，1的傾斜角較大，tan0=甲曠=.mp1+kk12+7MPNP令x=t+30，則t

10、an0=t+&2x2令x=t+30，則tan0=t+&2x212+7x2一6x+16,16x+一一62x-6x16x=1（tan00）A此時(shí)x=4,t=1,0max4當(dāng)t-3時(shí),Yl的傾斜角較大，tan0=NP2t+6k-kNPMP1+kk12+7MPNPx=-（t+3）2x2t+62x20，貝Itan0=一=1612+7x2+6x+16I16x+6x2：x歲+67TOC o 1-5 h z（tan00）A此時(shí)x=4,t=-7,tan（0）=1max7由于0w【O,兀），且tan0在0w【O,兀）上單增，tan0g01 HYPERLINK l bookmark78 o Current Docu

11、ment 兀V0=，此時(shí)t=1max4解答二（圓周角定理）：本題中的取極值時(shí)的P點(diǎn)的幾何意義為：過本題中的取極值時(shí)的P點(diǎn)的幾何意義為：過M、N的圓與x軸切于P點(diǎn)。下面給出證明:由于l:y=x+3是過M、N兩點(diǎn)的圓的一條弦，由垂徑定理知圓心在l:y=-x+3上MN隨著圓心橫坐標(biāo)從0開始增大：當(dāng)半徑r較小時(shí)，圓與x軸無交點(diǎn)；當(dāng)半徑稍大一點(diǎn)時(shí)，圓max。Rmax。R較小的情況（圓與x軸相離）R較大的情況（圓與x軸相交于PP）34與x軸相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)半徑更大一點(diǎn)時(shí)，圓與X軸有兩交點(diǎn)P、P。34此時(shí)：根據(jù)圓周角定理：上MPN=/MPN上MQN=ZMPN，可知：圓與x軸相切時(shí),Y（ZMPN）所以：過

12、M、N的圓與x軸切于P、P點(diǎn)時(shí)，分別有（ZMPN）34max=只需比較MPN與上叫，哪一個(gè)更大。令與x軸相切的圓的圓心為（兀Y），則切點(diǎn)P（x,），半徑為y圓滿足：；(X+1)+(Y2)_nX2-6X+7二0nX二-7or1(消去y)l(x-1)2+G-4J2二y2比較可知：當(dāng)x=1時(shí)，（ZMPN）max點(diǎn)評(píng)：EFT常規(guī)方法依舊是利用正切度量角的大小，但注意用傾斜角表示所求角時(shí)要用大角減去小角，才能得到正角；均值時(shí)要注意以分子（一次）為新元構(gòu)建均值。用圓周角角的性質(zhì)解答，只要轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)，解一個(gè)方程組，比較兩個(gè)角誰(shuí)大就行了。（不比較也行，畫圖可知右邊角大于左邊角：弦長(zhǎng)相等，半徑越大，弦所對(duì)的圓周

13、角越小。）其實(shí)兩種解法的難度是一樣，只是一種要寫得多，一種要想得多。變式3-1:若G為、ABC的重心，且AG丄BG，則sinC的最大值為解答一（余弦定理+均值）：令G(0,0)，A(a,0)令G(0,0)，A(a,0)，B(0,b),G3ABCnC(-a,-b)y=(y+y+y)G3ABC由點(diǎn)間的距離公式：AB=血2+b由點(diǎn)間的距離公式：AB=血2+b2AC2+BC丫2-AB22xACxBC由余弦定理：cosC=4(a2+b2)AC=-4a2+b2,(4a2+b2)+(a2+4b2)-(a2+b2)BC=Ja2+4b22(a2+b2p(p(4a2+b2)x(a2+4b2)，(4a2+b2)xCa2+4b2)2+b2)cosCAo0sinC-o(sinC)=-5