1、5-5-4. 國(guó)余及數(shù)拓教學(xué)目 系學(xué)習(xí)中國(guó)剩余定理和新中國(guó)剩余定理 掌中國(guó)剩余定理的核心思,靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)一、中國(guó)剩余定理中國(guó)古代趣題（1）趣題一中國(guó)數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)里有這樣的問(wèn)題 :“ 今物 知其數(shù) ,三數(shù)之 , 二 ,五五之,剩 七數(shù)之 , 剩二問(wèn)物幾何？答曰:“二十三”此類問(wèn)題我們可以稱物知其數(shù)類,又被稱韓信點(diǎn)兵。韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理,傳漢高祖劉邦問(wèn)大將軍韓信統(tǒng)御兵士多,信答每 一列余 人、 人一列余 2 人、7 人列余 人、13 人列余 6 人。邦茫然而不知其數(shù)。我們先考慮下列的問(wèn):假設(shè)兵不滿一萬(wàn)每 人一列、9 人一列、13 人一列、 人列都剩 人則有 多少？首先我們先求 5、9

2、、17 之小公倍數(shù) （:為 5、17 為兩互質(zhì)的整數(shù)故最小公 倍數(shù)為這些數(shù)的積）,后再加 3,得 （人孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考 ,過(guò)根據(jù)考證著作年代不會(huì)在晉朝后 ,以這個(gè)考證來(lái)說(shuō)上面 這種問(wèn)題的解法,中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早 所這個(gè)問(wèn)題的推廣及其解法,被稱為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理 （ Remainder ）近代抽象代數(shù)學(xué)中占一席非常重要的地位。（2）趣題二我國(guó)明朝有位大數(shù)學(xué)家叫程大位 ,他在解答物不知其數(shù)問(wèn)題（即 :有物不知其數(shù) ,三三數(shù)之剩二五五 數(shù)之剩三七七數(shù)之剩問(wèn)物幾何？）時(shí)用四句詩(shī)括出這類問(wèn)題的優(yōu)秀解:“三人同行七十稀,五樹(shù)梅花廿一枝,子團(tuán)圓正月,百零五便得知這首詩(shī)就是解答

3、此類問(wèn)題的金鑰它被世界各國(guó)稱“中國(guó)剩余定理Chinese Remainder 是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)輝煌成果詩(shī)中的每一句話都表示一個(gè)步:三人同行七十稀,說(shuō)除以 得的余數(shù)用 乘五樹(shù)梅花廿一枝,說(shuō)除以 5 所的余數(shù)用 21 乘七子團(tuán)圓正月半,說(shuō)除以 7 所的余數(shù)用 15 乘除百零五便得知,說(shuō)把上面乘得的 3 個(gè)加起減去 105 倍數(shù)減得差就是所求的數(shù)此題的中國(guó)剩余定理的解法是: 乘 3 除得的余數(shù),21 乘 5 除所得的余數(shù), 7 除得的余 把這 3 結(jié)果加起,如果它大于 105,減去 105,所得的差如果仍比 105 大則續(xù)減去 105,后所得的整 數(shù)就是所求也就是 233 233 為什么 70,

4、21,15,105 此神奇效用 從何而來(lái)？先看 70,21,15,105 的: 被 除余 1, 5,7 整,以 a 是個(gè)被 余 被 與 整的數(shù)； 是 余 被 3 與 7 整的數(shù)因 21b 是被 5 除 ,被 3 與 7 整的數(shù)理 c 是 7 除余 ,被 3、 整除的, 是 的最小公倍數(shù)也就是 70a c 是 3 除 被 除余 , 7 除 c 數(shù),這個(gè)數(shù)可能是解,但不一定是最小因此還要減去它們的倍數(shù)了解了剩余定”的秘密,類似于上面的題,們都可以用中國(guó)剩余定理來(lái)解答5-5-4.中國(guó)剩余定理及余數(shù)性質(zhì)拓展 .庫(kù)學(xué)生版page 1 of 7二、核心思想和方法對(duì)于這一類問(wèn)題,們有一套看似繁瑣但是一旦掌握

5、便可一百通的方,面我們就子算經(jīng)中 問(wèn)題為例分析此方:今有物不知其三三數(shù)剩,五數(shù)之,三,七七數(shù)之剩二問(wèn)物幾何？題目中我們可以知道,一個(gè)自然數(shù)分別除以 后得三個(gè)余數(shù)分別為 那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù), 使得這個(gè)數(shù)字除以 余 1,并還是 和 的倍數(shù)。先由 5 35 , 和 7 最小公倍數(shù)出先看 除 余 不合要,那么就繼續(xù)看 和 的下 個(gè)倍 70 是否可,很顯然 除以 3 余 類似的我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以 5 余 1,同時(shí)又是 3 和 7 的公倍數(shù)的數(shù),然 21 可符合要求。最后再構(gòu)造除以 7 余 1,時(shí)又是 公數(shù)的數(shù),45 符合要那么所求的自然數(shù)可以這計(jì): 2 3,5,7 3,5,7 ,中 k 是然數(shù)。也就

6、是說(shuō)滿足上述關(guān)系的數(shù)有無(wú)窮多 果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制 那我們就能找到所求的 數(shù)。例如對(duì)上面的問(wèn)題加上限制條“滿足上面條最小的自然,那么我們可以計(jì)算 3,5,7 得所求如果加上限制條滿足上面條件最小的三位自然”,我們只要對(duì)最小的 23 加即即 23+105=128。例題精模塊一、余數(shù)性質(zhì)綜合【 1】 一數(shù)以 3 的數(shù) 2,除以 5 的數(shù) 1,這個(gè)除 的數(shù) ?！?2】 有群子要 56 個(gè)桃只猴可分同個(gè)的子這竄 4 只子只 重分 ,但要使只子到樣數(shù)桃 ,必須掉一桃最每猴分桃 個(gè)【固 一群猴分桃共 56 個(gè)每只子以到樣的子但在們要桃又了 4 只 子于重分這些子結(jié)果只子到桃數(shù)相,么后只子分 個(gè)

7、 桃?！?3】 一小 200 的數(shù)它以 11 8,除 余 10,個(gè)數(shù)幾5-5-4.中國(guó)剩余定理及余數(shù)性質(zhì)拓展 .庫(kù)學(xué)生版page 2 of 7【固 不足 100 名同學(xué)跳體時(shí)兩組:一是間組 人他按 人組在圈另種 是間組 8 人其他按 5 人組圍外。最有少同?【 4】 年級(jí) 3 班同上育排 行少 人排 行多 3 排 5 行 人排成 排多 人問(wèn)上 育的學(xué)少人【固 有 一自然 除 余 除以 3 余 除 余 除以 余 4, 除以 6 余 則個(gè)最 是 ?！竟?以 余 1 除 3 余 2 ,除以 余 3 除 余 4 ,除以6 余5 。 n 最小為 ?！竟?小朋友要一“物護(hù)宣活, 人 個(gè)物玩,最余 個(gè)物玩；

8、 若 人拿 個(gè)動(dòng)小具則后下 3 個(gè)物玩； 1 人 5 個(gè)物玩,最后下 動(dòng) 物玩。么次動(dòng)小友少了_個(gè)動(dòng)小具?！竟?小朋友做戲若 人成組,則最余下 2 人若 4 分一,則后下 3 人； 5 人分 一則后下 4 人那一做戲小友少 ?！?5】 一自數(shù) 除的數(shù)別 并且個(gè)數(shù)和 570,求這個(gè)然5-5-4.中國(guó)剩余定理及余數(shù)性質(zhì)拓展 .庫(kù)學(xué)生版page 3 of 7【 6】 數(shù) 119 很特:當(dāng)被 除余為 ；被 3 時(shí)余數(shù) 2當(dāng) 除時(shí)余數(shù) ；被 除余 數(shù) 4當(dāng) 6 除時(shí)余數(shù) 5:具這性的位還幾？【固 有一批書(shū)數(shù) 1000 以,若按 書(shū)成捆則最一差 2 本若 本書(shū)成捆 最一還差 2 本；若 32 本包捆則最后

9、一是 本那這圖共 本【 7】 某自數(shù)以 2 余 除 余 除以 4 余 除以 也余 1,則這數(shù)小 ?！?8】 一大 的然,除以 5 余 3,以 7 余 1,除以 9 余 那么足件自數(shù)小多？【固 一個(gè)大 的除 3 余 除以 余 2,以 11 余 7,滿條件最自數(shù)多？【 9】 是一三位.它百數(shù)是 a 能 整 a 能 9 整除問(wèn) 是少【 】一個(gè)位,它被 除余 被 4 除余 被 11 恰整已這八數(shù)前 位是 257633,那它 后位字_。5-5-4.中國(guó)剩余定理及余數(shù)性質(zhì)拓展 .庫(kù)學(xué)生版page 4 of 7模塊二、中國(guó)剩余定理【 】“民間流著則事韓點(diǎn)朝年楚相一,韓將 名士楚大 李交戰(zhàn)場(chǎng)楚不 敗回 漢也傷

10、五人忽后來(lái)報(bào) ,說(shuō)有楚騎追 韓便速兵敵他命士 3 人排結(jié)果出 2 名接命士 5 人一,結(jié)果出 名； 他命士 人一結(jié)又出 2 名信上將們布:我有 1073 名勇,敵人不五 百我居臨以擊一能敗人”根故中條你算韓有少士？【 】一個(gè)除 3 余 除 5 余 除以 余 問(wèn)滿條的小然_.【 】一個(gè)然在 1000 和 1200 之,且 除 1,被 5 除 2,被 除 3,符條的【 】一個(gè)除 、5、 的余數(shù)別 、4、5,求符條的小數(shù)【 】有連的個(gè)然 、 、 ,它們恰分是 9、8、 的倍數(shù)求三自數(shù)中小數(shù) 至是少5-5-4.中國(guó)剩余定理及余數(shù)性質(zhì)拓展 .庫(kù)學(xué)生版page 5 of 7模塊三、余數(shù)性質(zhì)的拓展應(yīng)用新中國(guó)剩余定理【 】有一數(shù)除以 余 2,以 4 余 問(wèn)這數(shù)以 余幾【 】如圖在一圓上幾個(gè)(不到 100 個(gè),明玩棋樣從 A 孔出發(fā)沿逆針向每隔 孔一,希一以能回 孔先著隔 孔一結(jié)只跳 孔他又著 隔 孔一,也只跳 B 孔后每 孔一步正跳到 A 孔,你知這個(gè)圈共 多個(gè)嗎B 【 】三個(gè)續(xù)位的能夠 13 整,且這個(gè)中大的被 除余 4,么合件三數(shù)最 小數(shù)大 【 】某小的年有百多學(xué)若三一排,則多出人按人行隊(duì)則多二； 若七一排則出人該級(jí)人是 【 】智 慧人小的級(jí)問(wèn) ,明他年共百名學(xué) 老人同們?nèi)慌?結(jié)果5-5-4.中國(guó)剩余定理及余數(shù)性質(zhì)拓展 .庫(kù)學(xué)生版page 6 of 7多一 ,按人行隊(duì),結(jié)果出人按人行