1、高等數(shù)學(xué)課件函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第1頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四二、 函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、 函數(shù)的連續(xù)性第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第2頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四可見 , 函數(shù)在點(diǎn)一、 函數(shù)的連續(xù)性(continuity)1.定義:在的某鄰域內(nèi)有定義 , 則稱函數(shù)(1) 在點(diǎn)即(2) 極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;第3頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四對自變量的增量有函數(shù)的增量函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有:2.函數(shù)連續(xù)的等價定義等價定義:在的某鄰域內(nèi)有定義 , 設(shè)函數(shù)則稱函數(shù)第4頁，共41

2、頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四當(dāng)時, 有當(dāng)時, 有第5頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四4.左、右連續(xù)在的某鄰域內(nèi)有定義 , 設(shè)函數(shù)則稱函數(shù)定理1第6頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四continue若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .例如,在上連續(xù) .( 有理整函數(shù) )又如, 有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有第7頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四例. 證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù) .證: 即這說明在內(nèi)連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)在內(nèi)連

3、續(xù) .第8頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四在在二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù)(2) 函數(shù)不存在;(3) 函數(shù)存在 ,但 不連續(xù) :設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點(diǎn) . 在無定義 ;第9頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在 ,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個不存在 ,稱若其中有一個為振蕩 ,稱若其中有一個為為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn) .第10頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期

4、四為其無窮間斷點(diǎn) .為其振蕩間斷點(diǎn) .為可去間斷點(diǎn) .例如:第11頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四顯然為其可去間斷點(diǎn) .(4)(5) 為其跳躍間斷點(diǎn) .第12頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四(6) 為其跳躍間斷點(diǎn) .第13頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四Conclusions:左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個不存在在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價形式第14頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四思考與練習(xí)1. 討論函數(shù)x =

5、2 是第二類無窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)的類型.2. 設(shè)時為連續(xù)函數(shù).答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn) ,第15頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四 第16頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四 第17頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四備用題 確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.解: 間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷點(diǎn). 第18頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四在其定義域內(nèi)連續(xù)三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理2. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明)商(分母不為 0) 運(yùn)算,結(jié)果

6、仍是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .例如,思考: (1)同一區(qū)間內(nèi),一個連續(xù)函數(shù)與一個不連續(xù)函數(shù)的和是否連續(xù)?(2)同一區(qū)間內(nèi),兩個不連續(xù)函數(shù)的和是否一定不連續(xù)?第19頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四定理3. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)在上連續(xù) 單調(diào),其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào).又如, 特別, 在上也連續(xù)單調(diào).第20頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四在上連續(xù).在上連續(xù).在上連續(xù).第21頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四定理4.

7、 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.證: 設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)即即第22頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù) .復(fù)合而成 ,第23頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四在上連續(xù).證明：第24頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)求極限第25頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四例1 .設(shè)均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 ,可知也在上連續(xù) .

8、第26頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四例2. 求解:原式例3. 求解: 令則原式Note: 當(dāng)時, 有第27頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四例4. 求解:原式Note: 若則有第28頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四例5. 設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 .故此時連續(xù);而故x = 1為第一類跳躍間斷點(diǎn) .在點(diǎn) x = 1 不連續(xù) , 第29頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四 Conclusions:基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等

9、函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)Remark: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.第30頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四反例 x 為有理數(shù) x 為無理數(shù)處處間斷,處處連續(xù) .反之是否成立?Hint:“反之” 不成立 .思考: 答：不一定第31頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四第32頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .定理5.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè)則使值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點(diǎn) ,四、有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第33頁，共41頁，2

10、022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四例如,無最大值和最小值 也無最大值和最小值 又如, 定理5.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)值和最小值.在該區(qū)間上一定有最大第34頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四推論. 由定理 1 可知有證: 設(shè)上有界 .定理6. ( 零點(diǎn)定理 )至少有一點(diǎn)且使( 證明略 )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 第35頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四定理7. ( 介值定理 )設(shè) 且則對 m與 M 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn)證: 作輔助函數(shù)則且故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn)使即使至少有第36頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四例1. 證明方程一個根 .證: 顯然又故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)使即在區(qū)間內(nèi)至少有例2. 第37頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四第38頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四Conclusions:在上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當(dāng)時,必存在使上有界;在在第39頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)24分，星期四備用題1. 至少有一個