1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試江蘇數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.本試卷共4頁(yè),均為非選擇題(第1題第20題.共20題).本卷滿(mǎn)分為160分,考試時(shí)間為120分鐘,本試卷結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答試題,必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.參考公式:圓柱的

2、體積公式:V圓柱=Sh,其中S是圓柱的底面積,h為高.圓錐的體積公式:V圓錐=13Sh,其中S是圓錐的底面積,h為高一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.1.(2015江蘇,1)已知集合A=1,2,3,B=2,4,5,則集合AB中元素的個(gè)數(shù)為.答案:5解析:AB=1,2,32,4,5=1,2,3,4,5,即AB中元素的個(gè)數(shù)是5.2.(2015江蘇,2)已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.答案:6解析:平均數(shù)x=4+6+5+8+7+663.(2015江蘇,3)設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則z的模為.答案:5解

3、析:因?yàn)閦2=3+4i,所以|z2|=32+42=5,4.(2015江蘇,4)根據(jù)如圖所示的偽代碼,可知輸出的結(jié)果S為.S1I1WhileI8SS+2II+3EndWhilePrint S答案:7解析:S=1,I=1;S=S+2=1+2=3,I=I+3=1+3=48;S=S+2=3+2=5,I=I+3=4+3=78.故S=7.5.(2015江蘇,5)袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為.答案:5解析:根據(jù)條件得P=C11C11+6.(2015江蘇,6)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-

4、8)(m,nR),則m-n的值為.答案:-3解析:由ma+nb=(9,-8)得,m(2,1)+n(1,-2)=(9,-8),即(2m+n,m-2n)=(9,-8),所以2m+故m-n=-3.7.(2015江蘇,7)不等式2x2-x4答案:x|-1x2(或(-1,2)解析:2x2-x4,即2x2-x22,所以x2-x2,即x2-x-20,所以(x-解得-1x2,故不等式的解集為x|-1x2(或(-1,2).8.(2015江蘇,8)已知tan =-2,tan(+)=17,則tan 的值為.答案:3解析:tan =tan(+)-=tan(+9.(2015江蘇,9)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4

5、的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為.答案:7解析:設(shè)新的底面半徑為r,根據(jù)題意得13524+228=13r24+r2即28r2=196,解得r=7 .10.(2015江蘇,10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案:(x-1)2+y2=2解析:(方法一)設(shè)A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,則直線過(guò)定點(diǎn)P(2,-1),即該方程表示所有過(guò)定點(diǎn)P的直線系方程.當(dāng)直線與A

6、P垂直時(shí),所求圓的半徑最大.此時(shí),半徑為|AP|=(2故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2.(方法二)設(shè)圓的半徑為r,根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系得r=|m當(dāng)m0時(shí),1+2mm2+10時(shí),m2+12m(當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)).所以r1+1=2,即rmax=故半徑最大的圓的方程為(x-1)2+y2=2.11.(2015江蘇,11)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*).則數(shù)列1an前10項(xiàng)的和為答案:20解析:a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n,以上n-1個(gè)式子相加,得an-a1=2+3+4+n.a1=1,an=1+2+3+n=n(1an=2

7、S10=2119-11012.(2015江蘇,12)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實(shí)數(shù)c的最大值為.答案:2解析:直線x-y+1=0與雙曲線的漸近線y=x平行,且兩平行線間的距離為22由圖形知,雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離的最小值無(wú)限趨近于22,要使距離d大于c恒成立,只需c 22即可,故c的最大值為13.(2015江蘇,13)已知函數(shù)f(x)=|ln x|,g(x)=0,01答案:4解析:f(x)=-lnx,0 x1(1)當(dāng)0 x1時(shí),方程化為|-ln x+0|=1,解得x=1e或x=e(

8、舍去)所以此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)根1e(2)當(dāng)1x2時(shí),方程可化為|ln x+2-x2|=1.設(shè)h(x)=ln x+2-x2,h(x)=1x-2x=1因?yàn)?x2,所以h(x)=1-2x即函數(shù)h(x)在(1,2)上單調(diào)遞減.因?yàn)閔(1)=ln 1+2-12=1,h(2)=ln 2+2-22=ln 2-2,所以h(x)(ln 2-2,1).又ln 2-2-1,故當(dāng)1x2時(shí)方程只有一解.(3)當(dāng)x2時(shí),方程可化為|ln x+x2-6|=1.記函數(shù)p(x)=ln x+x2-6,顯然p(x)在區(qū)間2,+)上單調(diào)遞增.故p(x)p(2)=ln 2+22-6=ln 2-21,所以方程|p(x)|=1有兩個(gè)解,即

9、方程|ln x+x2-6|=1有兩個(gè)解.綜上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4個(gè)實(shí)根.14.(2015江蘇,14)設(shè)向量ak=cosk6,sink6+cosk6(k=0,1,2,12),則答案:93解析:因?yàn)閍k=cosk所以ak+1=cosk于是akak+1=cosk6cosk+1=cosk6cosk6+6+sink6sink6+6+=cos6+sink3+=334+32則k=011(aka=93+k=0=93+32-14=93.二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題滿(mǎn)分14分)(2015江蘇,15)

10、在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60.(1)求BC的長(zhǎng);(2)求sin 2C的值.解:(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=4+9-22312=7,所以BC=7(2)由正弦定理知,ABsin所以sin C=ABBCsin A=2sin60因?yàn)锳BBC,所以C為銳角,則cos C=1-因此sin 2C=2sin Ccos C=221716.(本小題滿(mǎn)分14分)(2015江蘇,16)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D,B1CBC1=E.求證:(1)DE平面AA1C1C;(2)BC1AB1.證明:(1)由題意知,

11、E為B1C的中點(diǎn),又D為AB1的中點(diǎn),因此DEAC.又因?yàn)镈E平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.因?yàn)锳C平面ABC,所以ACCC1.又因?yàn)锳CBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1平面BCC1B1,所以BC1AC.因?yàn)锽C=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1B1C.因?yàn)锳C,B1C平面B1AC,ACB1C=C,所以BC1平面B1AC.又因?yàn)锳B1平面B1AC,所以BC1AB1.17.(本小題滿(mǎn)分14分)(2015江

12、蘇,17)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路.記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l.如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=ax2+b(其中a,b(1)求a,b的值;(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫(xiě)出其定義域;當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短?求出最短

13、長(zhǎng)度.解:(1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).將其分別代入y=ax2+解得a(2)由(1)知,y=1 000 x2(5則點(diǎn)P的坐標(biāo)為t,設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x,y軸分別于A,B點(diǎn),y=-2 則l的方程為y-1 000t2=-由此得A3t2,0故f(t)=3t22+3 000t2設(shè)g(t)=t2+4106t4,則g(t令g(t)=0,解得t=102.當(dāng)t(5,102)時(shí),g(t)0,g(t)是增函數(shù).從而,當(dāng)t=102時(shí),函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此時(shí)f(t)min=153.答:當(dāng)t=102時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短,最短長(zhǎng)度為153

14、千米.18.(本小題滿(mǎn)分16分)(2015江蘇,18)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為2(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程.解:(1)由題意,得ca=22且c+解得a=2,c=1,則b=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=(2)當(dāng)ABx軸時(shí),AB=2,又CP=3,不合題意.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),將AB的方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1

15、)=0,則x1,2=2k22(且AB=(=(1+若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意.從而k0,故直線PC的方程為y+k1+2k2則P點(diǎn)的坐標(biāo)為-2從而PC=2(因?yàn)镻C=2AB,所以2(3k2+1此時(shí)直線AB方程為y=x-1或y=-x+1.19.(本小題滿(mǎn)分16分)(2015江蘇,19)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,bR).(1)試討論f(x)的單調(diào)性;(2)若b=c-a(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-,-3)1,323解:(1)f(x)=3x2+2ax,令f(x)=0,解得x1=0,x2=-2a當(dāng)a=0

16、時(shí),因?yàn)閒(x)=3x20(x0),所以函數(shù)f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)a0時(shí),x-,-2a3(0,+)時(shí),f(x)0,x-2a3,所以函數(shù)f(x)在-,-2a3,(0,+)上單調(diào)遞增當(dāng)a0,x0,-2a所以函數(shù)f(x)在(-,0),-2a3,+(2)由(1)知,函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)=b,f-2a3=則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)f-2a3=b427a又b=c-a,所以當(dāng)a0時(shí),427a3-a+c0或當(dāng)a0時(shí),427a3-a+c設(shè)g(a)=427a3-a+c,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-,-3)1則在(-,-3)上g(a)0,且(-1)2-(a

17、-1)+1-a0,解得a(-,-3)1,綜上c=1.20.(本小題滿(mǎn)分16分)(2015江蘇,20)設(shè)a1,a2,a3,a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d0)的等差數(shù)列.(1)證明:2a1(2)是否存在a1,d使得a1,a22,a(3)是否存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n,a解:(1)證明:因?yàn)?an+12an=2an+1-an=2d(2)令a1+d=a,則a1,a2,a3,a4分別為a-d,a,a+d,a+2d(ad,a-2d,d0).假設(shè)存在a1,d,使得a1,a22則a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=da,則1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)

18、6=(1+2t)4-化簡(jiǎn)得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.將t2=t+1代入(*)式,t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,則t=-14顯然t=-14不是上面方程的解,矛盾,所以假設(shè)不成立因此不存在a1,d,使得a1,a22(3)假設(shè)存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n則a1n(a1+2d)n+2k=(a1+d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k分別在兩個(gè)等式的兩邊同除以a1并令t=da則(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k

19、).將上述兩個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù),得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).化簡(jiǎn)得2kln(1+2t)-ln(1+t)=n2ln(1+t)-ln(1+2t),且3kln(1+3t)-ln(1+t)=n3ln(1+t)-ln(1+3t).再將這兩式相除,化簡(jiǎn)得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t).(*)令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1+t),則g(t)=2(

20、令(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),則(t)=6(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t).令1(t)=(t),則1(t)=63ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t).令2(t)=1(t),則2(t)=12(1+t由g(0)=(0)=1(0)=2(0)=0,2(t)0,知2(t),1(t),(t),g(t)在-13,0和(0,+故g(t)只有唯一零點(diǎn)t=0,即方程(*)只有唯一解t=0,故假設(shè)不成立.所以不存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n數(shù)學(xué)(附加題)注意事項(xiàng)考

21、生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求.1.本試卷共2頁(yè),均為非選擇題(第21題第23題),本卷滿(mǎn)分為40分,考試時(shí)間為30分鐘.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名,準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答試題,必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答.在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪,寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.21.(2015江蘇,21)【選做題】 本題包括A、B、C、D四小題,請(qǐng)選定其中兩小題,

22、并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.選修41:幾何證明選講(本小題滿(mǎn)分10分)如圖,在ABC中,AB=AC,ABC的外接圓O的弦AE交BC于點(diǎn)D.求證:ABDAEB.證明:因?yàn)锳B=AC,所以ABD=C.又因?yàn)镃=E,所以ABD=E.又BAE為公共角,可知ABDAEB.B.選修42:矩陣與變換(本小題滿(mǎn)分10分)已知x,yR,向量=1-1是矩陣A=x1y0的屬于特征值解:由已知,得A=-2,即x則x所以矩陣A=-1從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f()=(+2)(-1),所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.C.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小

23、題滿(mǎn)分10分)已知圓C的極坐標(biāo)方程為2+22sin-4-4=0,求圓解:以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為2+2222sin化簡(jiǎn),得2+2sin -2cos -4=0.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圓C的半徑為6.D.選修45:不等式選講(本小題滿(mǎn)分10分)解不等式x+|2x+3|2.解:原不等式可化為x解得x-5或x-13綜上,原不等式的解集是xx【必做題】 第22題、第23題,每題10分,共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

24、步驟.22.(本小題滿(mǎn)分10分)(2015江蘇,22)如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,ABC=BAD=2,PA=AD=2,AB=BC=1(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí),求線段BQ的長(zhǎng).解:以AB,AD,AP為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0(1)因?yàn)锳D平面PAB,所以AD是平面PAB的一個(gè)法向量,AD=(0,2,0).因?yàn)镻C=(1,1,-2),PD=(0,2,-2).設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z),則mPC=0,mPD=0.即x令y=1,解得z=1,x=1.所以m=(1,1,1)是平面PCD的一個(gè)法向量.從而cos=AD所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為33(2)因?yàn)锽P=(-1,0,2