1、1Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009幾何對象與變換-幾何2Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009基本內(nèi)容介紹幾何要素標量向量點給出這些要素間的與坐標無關的數(shù)學運算定義基本的幾何圖元線段多邊形坐標系3Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009二維坐標系三維坐標系(右手系)三維坐標系(左手系)基本幾何要素幾何研究n維空間中對象之間的關系在計算機圖形學中，我們對三

2、維空間中的對象感興趣希望得到一個幾何形狀的最小集合，根據(jù)這個集合可以建立起更復雜的對象需要三個幾何要素標量向量點4Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009與坐標無關的幾何在初等解析幾何的學習中，主要應用的是直角坐標系點在空間中的位置是p = (x,y,z)通過對這些坐標進行代數(shù)操作導出結(jié)果這種方法不是基于物理的從物理的角度來講，點的存在性是與坐標系的具體位置無關的絕大多數(shù)幾何結(jié)果是不依賴于坐標系的歐氏幾何：兩個三角形全等是指它們有兩個對應邊和夾角相等5Angel: Interactive Computer Graph

3、ics 5E Addison-Wesley 2009標量在幾何中需要三個基本元素標量、向量、點標量可以定義為集合中的成員，集合中具有兩種運算(加法和乘法)，運算遵從一些基本的公理(結(jié)合律、交換律、逆)例：實數(shù)或復數(shù)全體，通常的加法與乘法標量自身沒有幾何屬性6Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009為什么需要向量？場景：樹與照相機照相機需要在視平面上形成一幅圖像表示這棵樹。視平面上哪些點需要被激活？透視投影需要利用向量來構(gòu)造7Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison

4、-Wesley 2009北斗七星的當前位置及移動方向箭頭末尾的位置表示五萬年后各星的位置8Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量物理定義：向量是具有如下兩條性質(zhì)的量方向大小或長度: |v|例：力速度有向線段這也是圖形學中最重要的例子可以對應到其它類型上用小寫字母表示9Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量運算每個向量都有逆同樣長度但是指向相反的方向每個向量都可以與標量相乘有一個零向量零長度，方向不定兩個向量的和為向量三角形法則1

5、0Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009(線性)向量空間處理向量的數(shù)學系統(tǒng)運算一：向量-向量加法w = u + v封閉性：u, v V , u + v V交換律：u+v=v+u結(jié)合律：u+(v+w)=(u+v)+w零向量0：u V , u + 0=u加法逆元-u：u +（-u) =011Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009(線性)向量空間運算二：標量-向量乘法u = v分配律：(u+v) = u+ v(+)u=u+u在向量空間中，表達

6、式v = u + 2w 3r有意義向量空間例子：有向線段、實數(shù)的n元組12Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量沒有位置下述向量是相等的因為它們具有相同的方向與長度對幾何而言只有向量空間是不夠的還需要點13Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009點空間中的位置數(shù)學上，點沒有大小和形狀。用大寫字母表示點與向量之間可進行的運算點與點相減得到一個向量等價地，點與向量相加得到新點14Angel: Interactive Computer Gr

7、aphics 5E Addison-Wesley 2009仿射空間點加上向量構(gòu)造的空間運算：向量與向量的加法向量標量與向量的乘法向量點與向量的加法點標量與標量的運算標量上述運算均是與坐標無關的對于任意點，定義1 P = P0 P = 0 (零向量)15Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量與點的線性組合給定n個向量 , 以及n個標量 , 則由歸納法可以證明 也是向量，稱為這組向量的線性組合給定n個點, 以及n個標量 則是什么？16Angel: Interactive Computer Graphics 5E A

8、ddison-Wesley 2009點的線性組合固定坐標系，取定其中的兩點，那么P1+ P2是什么？當P1為原點時，P1+ P2等于P2當P1與P2關于原點對稱時，P1+ P2為原點所以P1+ P2的位置與坐標系有關組合系數(shù)不能是任意數(shù)17Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009點的特殊線性組合由歸納法，從“點點向量”和“標量向量向量”可知當組合系數(shù)和 時，點的線性組合為向量 P1+ P2= P1+ (P2P1) = 點向量點實際上， P1+ P2表示兩點的中點，這是與坐標無關的定義當時，點的線性組合為點，稱為給定點

9、的仿射組合除此之外，其它形式的線性組合沒有與坐標無關的意義18Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009直線考慮具有下述形式的所有點P() = P0+ d即所有過P0點，與P0連線平行于向量d的點19Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009參數(shù)形式上述定義直線的形式稱為參數(shù)形式比其它形式更一般和穩(wěn)定可以推廣到曲線和曲面二維形式顯式：y= mx+ h隱式：ax + by + c = 0參數(shù)形式：x() = x0+ (1 ) x1y() = y0

10、+ (1 ) y120Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009射線與線段如果限定 0, 那么P()就是從P0出發(fā)，方向為d 的射線如果采用兩點定義向量d, 那么P() = P0+ (P1P0) = (1 ) P0 + P1當0 1，那么就會得到連接P0與P1兩點的線段21Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009兩點線性插值給定兩點A, B，那么它們的仿射組合P(t) = (1 t) A + tB就定義了過這兩點的一條直線線性插值在藝術和計算

11、機動畫有許多有趣的應用關鍵幀22Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009多邊形的變形給定兩個有同樣數(shù)目頂點的折線，那么利用線性插值可以給出從第一個折線到第二個折線的平滑過渡23Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009男人女人24Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009名人臉25Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addi

12、son-Wesley 2009凸體一個對象為凸的當且僅當在對象中任何兩點的連接線段也在該對象內(nèi)26Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009仿射凸組合考慮“和”式P = 1P1+ 2P2 + nPn當1+ 2+ n=1時上述和式有意義，此時結(jié)果就稱為點P1, P2 , Pn的仿射和另外，如果i0，那么得到P1, P2 , Pn的凸包(convex hull)27Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009凸包最小的包含P1, P2 , Pn的凸體

13、可以用“收縮包裝”的方式得到28Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009曲線與曲面曲線是形式為P()的單參數(shù)定義的幾何體，其中的函數(shù)為非線性曲面是由形式為P(, )的兩個參數(shù)定義的幾何體線性函數(shù)對應于平面和多邊形29Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009平面平面是由一個點與兩個不平行的向量或者三個不共線的點確定的30Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009三角形31Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量的內(nèi)積內(nèi)積或點積：uv= |u| |v| cos, 為兩個向量的夾角uv= 0 uv| u| cos=uv/ |v|是u在v上的正交投影32Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量的外積外積或叉積：u v為向量，其長度等于|u| |v| sin,方向垂直于u, v所在的平面，并且保證u,v, u v成為右手系，其中為兩個向量的