1、概率論與數理統(tǒng)計教學教案第 4 章 數字特征與極限定理授課序號 01講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學數學期望、根據隨機變量的概率分布求其函數的數學期望運用數字特征的基本性質計算隨機變量的聯合概率分布求其函數的數學期望。1理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差、協方差、相關系數）的概念，并會運用數字特征的基本性質計算具體分布的數字特征，掌握常用分布的數字特征。2會根據隨機變量的概率分布求其函數的數學期望；會根據二維隨機變量的聯合概率分布求其函數的數學期望。一隨機變量的數學期望XX x p ,k 1,2, ,若級數1. 離散型隨機變量的數學期望：設離散型隨機變量kkX E(X) ，即絕對收斂

2、，則稱其和為隨機變量XXf(x) 的概率密度為絕對收斂，XE(X) 或 ，即則稱該積分值為隨機變量 的數學期望，簡稱期望或均值，記為X的函數Yg(X)，且g(X)存在.1定理：設有隨機變量40（1）設XX x p ,k 1,2,EY) Eg(X ) g(x )p .，則kkkk為連續(xù)型隨機變量，概率密度為 2定理：設有隨機變量（X,Y）的函數Z g(X,Y)，且g(X,Y)存在.iiE(Z) Eg(X ,Y) ijij（2）若(X,Y)為連續(xù)型隨機變量，其聯合概率密度為2設 為常數，X 為隨機變量，則E)(X3設X,Y 為任意兩個隨機變量，則E(X Y) E(X) EY2E(X X .X )

3、E(X )E(X ).E(X ).為相互獨立的隨機變量，則有212n12n1X例3一工廠生產的某種設備的壽命 （以年計）服從以 為參數的指數分布，工廠規(guī)定，出售的設備若4在售出一年之內損壞可予以調換，若工廠售出一臺設備贏利100元，調換一臺設備廠方需花費300元求廠方出售一臺設備凈贏利的數學期望.XXPY 2X EY41VF V上的均勻分布，而飛機某部位受到的壓力 是風速 的函kFXY求2x y, 0 x 0 y1X例8某工廠每天從電力公司得到的電能 （單位：千瓦）服從10，30上的均勻分布，該工廠每天對電YX Y能的需要量 20上的均勻分布，其中 與 相互獨立.設工廠從電力公司得到的每千瓦電

4、能可取得300元利潤，如工廠用電量超過電力公司所提供的數量，就要使用自備發(fā)電機提供的附加電能來補充，使用附加電能時每千瓦只能取得100元利潤問一天中該工廠獲得利潤的數學期望是多少？2I(A)y2,試求電壓V IR的數學期望。42授課序號 02教學手段 黑板多媒體結合運用數字特征的基本性質計算1理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差、協方差、相關系數）的概念，并會運用數字特征的基本性質計算具體分布的數字特征，掌握常用分布的數字特征。2會根據隨機變量的概率分布求其函數的數學期望；會根據二維隨機變量的聯合概率分布求其函數的數學期望。X E(X XXD(X) X E(X D(X)X 為 的標準差

5、或均方差，記為 .稱XX x p ,k 1,2,XkD(X) x E(X) p .f(x)X3若 為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 ，則2D(X) E(X )E(X2CD CD) C D(X)XC23設隨機變量 與 相互獨立，則有 ( + )= ( )+ ( ).()12n12n12n5一些重要分布的期望與方差43分布律或概率密度X 1 ,X q0 ppq1pX k p q ,k 0,1,2, ,nCk1qpe ,k 0,1,2,012，其它1(x)2, xe11X ,X表示，12X ,X12P(X )1P(X )21XY例4.15 設隨機變量 和 相互獨立，且 服從參數為 的指數分布， 服從參

6、數為9的泊松分布，求2(X Y1).44授課序號 03教學手段 黑板多媒體結合X E(XY EY)X Y存在，則稱它為隨機變量 與 的協cov(X,Y)cov(X, Y) X E(XY EY)X,Y)D(X) DY) 0X Y為隨機變量 與 的相關系數。D(X) DY)X Y時，稱隨機變量 與 不相關或線性無關。XYcov(X,Y) E(XY)E(X)EY).cov(X,Y)cov(Y,X)|XY1的充分必要條件是 X Y與 以概率 1 具有確定的線性關系，即YaX1，其中XYa a,bY XY X=1 時， 與 就有確定的線性幾點說明：（1）越大，這時 與 的線性關系就越密切，當XYXY45

7、X 與 與 XYXYYX Y的大小確實是 與 間線性關系強弱的一種度量.與 是不相關的. 可見，XYX Y 與 與 不相關. 與 與 卻不一定是相互獨立的.(X,Y) N( , , , ,)2 2 ，可以證明：1212,212，故X YX YX YX YX YX Y1設 和 是隨機變量，若kX E(X k 1,2,X kk存在，則稱它為 的 階中心矩.klX E(X Y EY k,l 1,2,X Y k l存在，則稱它為 和 的 + 階混合中心矩.kl例 (X,Y)XY的聯合YXcov(X,Y) .，X Y，問 與 是否不相關？是否相互獨立？D(X)DY)D(3X Y).求例 4已知bU和V

8、.V aXbY，UV46授課序號 04新知識課教學手段 黑板多媒體結合教學難點第4章第4節(jié)切比雪夫不等式大數定律與中心極限定理教學方法 講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學重點切比雪夫不等式、切比雪夫大數定律、伯努力大數定律和辛欽大數定律、列維林德伯格定理和狄莫弗拉普拉斯定理2.了解切比雪夫大數定律、伯努力大數定律和辛欽大數定律（獨立同分布隨機變量的大數定律）。3.了解列維林德伯格定理（獨立同分布的中心極限定理）和狄莫弗拉普拉斯定理（二項分布的數學期望E(X)和方差D(X)都存在，則對于任意D(X)D(X)X E(X) | X E(X) 1或2nApA1定理：（伯努利大數定律）設 是 次獨立重

9、復試驗中事件 出現的次數，而 是事件 在每次試plim|nlim|或nX ,X ,X ,獨立同分布，并且有數學期望X 1，則12ninX n 時依概率收斂于 ，即對 0，都有nininX 0或.iX ,X ,X ,1定理：(列維林德伯格定理)設隨機變量獨立同分布，具有數學期望和方差：12n47E(X ) , D(X ) ,i 1,2, ,2iin1ixYB(,p)n1nx2例1設電站供電網有10000盞電燈，夜晚時每盞燈開燈的概率均為0.7，假定所有電燈的開或關是相互獨立的，試用切比雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數在6800到7200盞之間的概率.50個信號Wi 1,2,50)i且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布，記W W，求W 260.i例3設某品牌汽車的尾氣中氮氧化物排放量的數學期望為0.9g/km，標準差為1.9g/km，某出租車公司有XLL這種車100輛，