1、2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計劃專題13排列組合二項式定理一、真題特點分析：1.【2020上海交大6】從2個紅球，3個黑球，5個白球（同色球完全相同）中任意取6個，有_種不同的取法2.【2021中科大】設(shè)個人進(jìn)行互相傳球游戲，每個拿球的人等可能地把球傳給其他人中的任何一位，若初始時球彺甲手中，則第次傳球之后，球又回到甲手中的概率為_答案：3.【2020年清華11】從0到9這十個數(shù)中任取五個數(shù)組成一個五位數(shù)（可以等于0），則的概率為（ ）ABCD二、知識要點拓展 1.分類加法原理（加法原理）:. 2.分步計數(shù)原理（乘法原理）:. 3.排列數(shù)公式:=.(，N*，且)注:規(guī)定. 4.排列恒等式 ：（

2、1）； （2）； （3）；(4) . 5.組合數(shù)公式： =(，且). 6.組合數(shù)的兩個性質(zhì)：(1)= ； (2) +=；注:規(guī)定. 7.組合恒等式（1）； （2）=； （3）； (4)； (5)；(6)； 8.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系： . 9.二項式定理： ;二項展開式的通項公式：.幾個基本組合恒等式：；（范德蒙公式）。不盡相異的個元素的全排列：在個元素中，有個元素相同，又另有個元素相同，。，一直到另有個元素相同，且，這個元素的全排列叫做不盡相異的個元素的全排列。不難得到，此全排列數(shù)計算公式為：。從個元素里取個元素的環(huán)排列：從個不同元素中任取個元素按照圓圈排列，這種排列叫做從個元素里取個元素的環(huán)

3、排列。如果元素之間的相對位置沒有改變，它們就是同一種排列。把一個個元素的環(huán)在個不同的位置拆開，即得個不同的線排列。由于個不同元素中任務(wù)個元素的排列方法種，所以個不同元素中任取個元素的環(huán)排列方法有種。特別地，個不同元素的環(huán)排列方法有（種）。注：排列數(shù)，有些地方也記為。一次不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)等于（或）；正整數(shù)解的個數(shù)等于（或）。錯位排列問題：設(shè)集合，所有元素的一種全排列，滿足，則稱這樣的排列為錯位全排列。用表示錯位全排列總數(shù)，則。排列、組合應(yīng)用題常用的解法有：運用兩個基本原理（加法原理、乘法原理）；特殊元素（位置）優(yōu)先考慮；捆綁法；插入法；排除法；機(jī)會均等法；轉(zhuǎn)化法。證明組合恒等式的常用方

4、法有：賦值法；母函數(shù)法；構(gòu)造組合模型法。三、典例精講例1（華南理工）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）。 （B） （C） （D）答案A分析與解答：的系數(shù)。例2（2011“卓越聯(lián)盟”）數(shù)列共有11項，且。滿足這種條件的不同數(shù)列的個數(shù)為（ ）（A）100 （B）120 （C）140 （D）160分析與解答： 依題意，或，設(shè)有個1，則有個-1，依題意知：，所以。從而所有這樣的數(shù)列個數(shù)為。故選B。例3（復(fù)旦）對于一個四位數(shù)，其各位數(shù)字至多有兩個不相同，試求共有多少個這種四位數(shù)？分析與解答： 顯然，四位數(shù)全部相同的四位數(shù)恰有9個，下面考慮四位數(shù)字恰有兩個不同數(shù)字的四位數(shù)，分三個步驟考慮：第一步，先考慮千位數(shù)字

5、，有9種可能取法：1,2,3，。9第二步，再考慮百位、十位、個位上的數(shù)字，由于恰有兩個不同數(shù)字，故除了千位數(shù)字外，再從中選出1個數(shù)碼。第三步：前兩步兩個數(shù)碼確定后，再對個位、十位、百位上的數(shù)字進(jìn)一步確定；這三個位置上分別各有2種可選擇性，但要去掉一種情況：即個位、十位、百位上的數(shù)碼選出的都和千位數(shù)字完全相同，故有種選法。綜上，共有四位數(shù)個。例4（復(fù)旦）三邊均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形共有（ ）個。（A）20 （B）26 （C）30 （D）36答案：D分析與解答：不妨設(shè)三邊長為，且，則。若，共1個；若，共2個；若，共3個；若，共4個；若，共5個；若，共6個；若，共5個；若，共4個；若，共3

6、個；若，共2個；若，共1個。故共有個。例5（同濟(jì)）若多項式，則 。答案：-10分析與解答：考慮兩邊的系數(shù)，易知。再考慮兩邊的系數(shù)，右邊。左邊的系數(shù)為0，所以。例6（上海交大）中的系數(shù)為 。答案：分析與解答：原式 ，故的系數(shù)為。例7（上海交大）通信工程中常用元數(shù)組表示信息，其中或1（）。設(shè)，表示和中相對應(yīng)的元素不同的個數(shù)。問存在多少個5元數(shù)組，使得；問存在多少個5元數(shù)組，使得；令，求證：。分析與解答：（1）滿足條件的數(shù)組共有個。滿足條件的數(shù)組共有個。設(shè)中對應(yīng)項同時為0的共有個，同時為1的共有個，從而對應(yīng)項一項為1、一項為0的共有個，這里，從而。 而，得證。例88個女孩和25個男孩圍成一圈，任何兩

7、個女孩之間至少站兩個男孩，問共有多少種不同的排列方法（只要把圈旋轉(zhuǎn)一下就重合的排法認(rèn)為是相同的）.分析：以1個女孩和2個男孩為一組，且使女孩恰好站在兩個男孩中間，余下的9個男孩和這8個組被看成是17個元素，顯然這17個元素任意的圓排列是滿足題意的分析： 先從25個男孩中選出9個男孩共有種可能。其次，上述17個元素的圓排列數(shù)為種. 再次，分在8個組內(nèi)的16個男孩在16個位置上的排列是，所以總的排列方法數(shù)為：例9（北大）求證:對任意的正整數(shù)，必可表示成的形式，其中。分析與解答：由二項式定理，。而，所以 ， 當(dāng)時，令，則，顯然，且；當(dāng)時，令即可。四、真題訓(xùn)練1.（復(fù)旦）設(shè)有個不同顏色的球，放入個不同

8、的盒子中，要求每個盒子至少有一個球，則不同的放法有（ ）種。 （B） （C） （D）2.（復(fù)旦）在二項式的展開式中，若前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中有理項的項數(shù)為（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）53.（復(fù)旦）二項式的展開式中系數(shù)之比為的相鄰兩項是（ ）。（A）第29、30項 （B）第33、34項 （C）第55、56項 （D）第81、82項4.（復(fù)旦）5個不同元素排成一列，規(guī)定不許排第一，不許排第二，不同的排法共有（ ）（A）64種 （B）72種 （C）78種 （D）84種5.（復(fù)旦）設(shè)是由三個不同元素組成的集合，且是的子集族，滿足性質(zhì)：空集和屬于，并且中任何兩個元的交集和并集還屬

9、于。問所有可能的的個數(shù)為（ ）。（A）29 （B）33 （C7）43 （D）596.（復(fù)旦）將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)為（ ）（A）120 （B）260 （C）340 （D）4207.（復(fù)旦）在的展開式中有（ ）項為有理數(shù)。（A）10 （B）11 （C）12 （D）138.（復(fù)旦）在集合中任選兩個數(shù)作為橢圓方程中的和，則能組成落在矩形區(qū)域內(nèi)的橢圓個數(shù)是（ ）（A）70 （B）72 （C）80 （D）889.（武大）某停車場內(nèi)有序號為1,2,3,4,5的五個車位順次排成一排，現(xiàn)在四輛車需要停放，若兩車停放的車位必須相

10、鄰，則停放方式種數(shù)為（ ）。（A）120 （B）48 （C）24 （D）1210.（復(fù)旦）在的展開式中系數(shù)最大的項是（ ）。第4,6項 （B）第5,6,項 （C）第5,7項 （D）第6,7項11.（復(fù)旦）對所有滿足的，極坐標(biāo)方程表示的不同雙曲線條數(shù)為（ ）。（A）6 （B）9 （C）12 （D）1512.（武大）a,b,c,d,e五人站成一排準(zhǔn)備合影，如果a要求既不與b相鄰，也不與c相鄰，那么不同的排法有（ ）（A）12種 （B）24種 （C）36種 （D）72種13.（武大）設(shè)是等差數(shù)列，從中任取3個不同的數(shù)，使這三個數(shù)仍能成等差數(shù)列，則這樣不同的等差數(shù)列最多有（ ）。（A）90個 （B）1

11、20個 （C）180個 （D）200個14.（武大）如果9名同學(xué)分別到三個不同的工廠進(jìn)行社會實踐調(diào)查活動，每個工廠3人，那么不同的分配方案共有（ ）種 （B）種 （C）種 （D）種15.（武大）一個口袋中裝有大小相同的3個紅球和2個白球，從袋中每次至少取一個球，共4次取完，那么不同的取球方式共有（ ）（A）40種 （B）28種 （C）16種 （D）10種16.（武大）在的展開式中，各項系數(shù)之和是（ ）。（A）1 （B） （C）-1 （D）真題訓(xùn)練答案1.【答案】D【分析與解答】：由條件，個盒子所放球只能為1個盒子放2個，其余個盒子放1個；其中放2個球盒子共有種選法放在一起的2個球共有種選法，其

12、余個球放在個盒子中，共有種選法。 故不同放法共有種。2.【答案】B【分析與解答】：由條件，前3項系數(shù)分別為1、，故解得。 從而，其中。要使為有理項，則，從而，故共有3項有理項。3.【答案】B【分析與解答】：，則，故相鄰兩項為第33、34項。4.【答案】C【分析與解答】：若排第一，共有種排法；若排第二，共有種排法；若排第一且排第二，有種排法。由容斥原理，共有種不同排法。5.【答案】A【分析與解答】：按照集合所含元素個數(shù)分類。若為二元集，即，共1個；若為三元集，有、，共6個；若為四元集，有、，共9個；若為五元集，有、，共6個；若為六元集，有、，共6個；若為七元集，不存在集合滿足要求；若為八元集，即

13、，共1個。故共有個。6.【答案】D【分析與解答】：若用五種顏色，則共有種方法；若用四種顏色，共有種方法；若用三種顏色，由于四個側(cè)面中任一個面確定下來，其余也隨之確定，故共有種方法。從而不同染色方法共有種。7.【答案】D【分析與解答】：，要使其為有理數(shù)，則。又，故，從而共有13項為有理數(shù)。8.【答案】B【分析與解答】：對橢圓，有，故落在矩形區(qū)域內(nèi)的橢圓滿足且，故共有個。9.【答案】B【分析與解答】：可停在共有4種可能，且可互換位置；可停在余下3個位置，共有種可能。故停放方式共有種。10.【答案】C【分析與解答】：，為偶數(shù)時，為奇數(shù)時，又，故或6時，最大，即為第5、7項。11.【答案】A【分析與解

14、答】：離心率，故，從而，共有6條。12.【答案】C【分析與解答】：若相鄰，將看成整體，共有種排法；若相鄰，同理也有48種排法；若相鄰且相鄰，則將看成整體，有種，又可換，故此時共有種排法。從而所求排法數(shù)為種。13.【答案】C【分析與解答】：易知成等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)成等差數(shù)列，即，即只要與同奇偶就對應(yīng)1個等差數(shù)列。 令，則、同屬于A或同屬于B，從而不同等差數(shù)列共有個。14.【答案】A【分析與解答】：9個人中先選3個人到第一個工廠，再在余下6個人中選3個人到第二個工廠，那么剩下的3個人去第三個工廠，共有種方案。15.【答案】B【分析與解答】：4次中有1次取2個球，則這一次共有4種可能。所取2個球若為2

15、個白球，則剩下3個紅球，只有1種可能；若所取為2個紅球則剩下1個紅球和2個白球，可能為紅、白、白或白、紅、白或白、白、紅，有3種可能；若所取為1個紅球1個白球，則剩下2個紅球和1個白球，同理有3種可能。故不同的取球方式有種。16.【答案】D【分析與解答】：設(shè)，令，得。五、強(qiáng)化訓(xùn)練A組1、（華南理工）在的展開式，的系數(shù)為（ ）（A）（B）（C）（D）【詳解】易知的系數(shù)為 故選A。2、（復(fù)旦）在二項式的展開式中，若前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中有理項的項數(shù)為（ ）（A）2（B）3（C）4（D）5【詳解】易知或1（舍），則，若是有理項，只需是的倍數(shù)即可，故可取，共3項，故選B。3、（復(fù)旦）5個不

16、同元素排成一列，規(guī)定不許排第一，不許排第二，不同的排法共有（ ）（A）64種（B）72種（C）78種（D）84種【詳解】當(dāng)排第一時，有種方法；當(dāng)不排第一時，共種，故選C。4、（復(fù)旦）設(shè)是由三個不同元素所組成的集合，且是的子集族，滿足性質(zhì)：空集和屬于，并且中任何兩個元的交集和并集還屬于。問所有可能的的個數(shù)為（ ）（A）29（B）33（C）43（D）59【詳解】可以T的元素個數(shù)來討論，若T為二元集，則只有1個；若T為三元集，有共6個；若T為四元集，有等共9個；若T為五元集，有等共6個；若T為六元集，有等共6個；若T為七元集，有0個；若T為八元集，即包含所有子集，即1個，共計29個，故選A。5、（復(fù)

17、旦）將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)為（ ）（A）120（B）260（C）340（D）420【詳解】共有5個頂點，若用五種顏色，則種；若用4種顏色，共有種；若用3種顏色，則必有一個側(cè)面確定下來，剩下兩點也能夠確定，故共有種，故共有420種方法，選D。6、（復(fù)旦）求在十進(jìn)制中最后4位 ?！驹斀狻?，易得末尾4位為，即。7、10人圍圓桌而坐，如果甲、乙兩個中間相隔4個，有多少種坐法？【詳解】甲固定座好，則乙有兩種坐法，其他8人全排列，共有種坐法。8、（交大）通信工程中常用元數(shù)組表示信息，其中或。設(shè)，表示和中相對應(yīng)的元素不同的個

18、數(shù)。（1），問存在多少個5元數(shù)組，使得；（2），問存在多少個5元數(shù)組，使得；（3）令，求證：?！驹斀狻浚?）；（2）；（3）設(shè)中對應(yīng)項同時為0的有個，同時為1的有個，則不同的項共有項，而，即，而，得證。9、（復(fù)旦）設(shè)，計算：（1）的不同取值個數(shù)；（2）的所有不同取值的積與和?！驹斀狻浚?）易知由組成，故有個不同取值；（2）易知中出現(xiàn)1個2和2個2的可能性是相同的，均為次，同理可得，出現(xiàn)1個、2個、3個3的可能性也相同，均為18次，出現(xiàn)1、2、3、4、5個5均為12次，所以的所有不同取值的積為；和為。B組1、（北大）求證：對任意的正整數(shù)，必可表示成的形式，其中。【詳解】，則，則，即當(dāng)時，；當(dāng)時，

19、則得證。2、（北大）在1，2，2012中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個數(shù)？【詳解】此題是組合與數(shù)論的綜合題，將12012分成三組數(shù)，分別被3除余0、1、2，后面兩組元素最多，如，任意兩數(shù)之差都是3的倍數(shù)，而兩數(shù)之和被3除的余數(shù)為2，顯然不能被3整除，顯然符合；若取672個數(shù)，則必有兩個數(shù)之差小于3，若為1，則顯然可整數(shù)兩數(shù)之和，若為2，則兩數(shù)同奇同偶，2能夠整除兩數(shù)之和，綜上，至多能選取671個數(shù)。3、（交大）世界杯預(yù)選賽中，中國、澳大利亞、卡塔爾和伊拉克被分在A組，進(jìn)行主客場比賽。規(guī)定每場比賽勝者得三分，平局各得一分，敗者不得分。比賽結(jié)束后前兩名可以晉級。（1）由于

20、4支隊伍均為強(qiáng)隊，每支隊伍至少得3分。于是甲專家預(yù)測：中國隊至少得10分才能確保出線；乙專家預(yù)測：中國隊至少得11分才能確保出線。問：甲、乙專家哪個說的對？為什么？（2）若不考慮（1）中條件，中國隊至少得多少分才能確保出線？13分【詳解】（1）乙專家說的對，若中國隊得10分，可能會出現(xiàn)其余三隊12分、10分、3分的情況，因此中國隊無法確保晉級；而中國隊若得了11分而無法晉級，則必為第三名，而第一、二名不少于11分，而第四名不少于3分。12場比賽在無平局情況下只有36分，前三名11分、最后一名3分，而11分則意味著出現(xiàn)平局，則出現(xiàn)矛盾，故乙專家說的對。（2）若12分，可能出現(xiàn)如下情況：澳澳中中卡卡伊伊總分澳30303312中03033312卡03303312伊0000000仍然無法晉級。而13分則必能出線，因為若13分為第三名，則前三名則已達(dá)39分，超過最大了36分，矛盾，即13分確保出線。4、（北大）某次考試共有333名學(xué)生做對了1000道題，做對3道及以下為不及格，6道及以上為優(yōu)秀，考場中每人做對題目數(shù)不全同奇偶。問：不及格者與優(yōu)秀者哪個多？【詳解】設(shè)不及格有人，優(yōu)秀有人，