1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)模擬卷（注意：以下是本次考試可能用到的分位點(diǎn)以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值：zzzt (24) t (24) t (24) 2.326 1.961.645 2.4922 2.06391.7109 0.6554 0.7881 0.8849一、 填空題（每空題 2分，共計(jì) 70分）1. C A 與 B相互獨(dú)立，A與 C P( A )= 0.2，P( B ) = 0.6，P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4。請(qǐng)計(jì)算以下事件的概率：P( ) =0.8， P( AB ) = 0.12， P( A+B ) = 0.68， P( AC ) =， P( C | B ) =

2、0，AP( C ) = 0.82/3。2. 假設(shè)有某種彩票叫“10 選 2 1 到 10 的 10 個(gè)自然數(shù)中不重復(fù)地任意選 2 個(gè)數(shù)組成一注，每注1 元。如果所選的2 個(gè)數(shù)與本期出獎(jiǎng)的結(jié)果（也是從 1 到 10 中不重復(fù)選出的 2 個(gè)自然數(shù)）完全相同，則中 40 變量 ，如果買(mǎi)1 注彩票中獎(jiǎng)了則令 X等于 1，否則令X等于 0，那么X 服從 0-1 分布，X 的數(shù)學(xué)期望等于 1/453. 已知某對(duì)夫婦有三個(gè)小孩，但不知道他們的具體性別。設(shè)他們有 Y個(gè)兒子，如果生男孩的概率為 0.5，則Y 服從 B(3,0.5) 分布。這對(duì)夫婦恰好一個(gè)兒子的概率是 3/8 。他們的孩子的男女性別比例最可能是

3、1:2或 2:14. 假設(shè)東莞市公安機(jī)關(guān)每天接到的 110 報(bào)警電話(huà)次數(shù)可以用泊松(Poisson)分布1/45。 110報(bào)警電話(huà)的概率為 e，每天接到的 110報(bào)警次數(shù)平均為100次。5. 指數(shù)分布又稱(chēng)為壽命分布，經(jīng)常用來(lái)描述電子器件的壽命。設(shè)某款電器的壽命（單位：小時(shí)）的密度函數(shù)為e0.001t, 0tf(t)0,則這種電器沒(méi)有用到 500 小時(shí)就壞掉的概率為 1e 第 1 頁(yè) 共 5 頁(yè)為 1000小時(shí)。6. 根據(jù)世界衛(wèi)生組織的數(shù)據(jù)，全球新生嬰兒的平均身長(zhǎng)為 50 厘米，身長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)為 2.5 厘米。設(shè)新生嬰兒的身長(zhǎng)服從正態(tài)分布，則全球范圍內(nèi)大約有 11.51 新生嬰兒身長(zhǎng)超過(guò) 53

4、 厘米，有 21.19新生嬰兒身長(zhǎng)不足 48 49 厘米到 51 厘米之間的新生嬰兒大約占 31.08 。7. 設(shè)隨機(jī)變量 X （209Y （2016 X 與 Y相互獨(dú)立，則X+Y服從 N(40,25)分布，Y 服從 N(0,25)分布。P(XY0) =0.5 ，P(X+Y36) = 0.7881 。8. 已知E(X) = 1D(X) = 2E(Y) = E( Y )= X和Y的相關(guān)系數(shù) 1/6。2D(Y)= 8，E(X ) = 3 ，D(X+Y) = 26/3，D(Y2X) =2則40/3。9. 設(shè) X ，X ，X 是來(lái)自總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則 X （是或不是）是 總體1231均值的無(wú)

5、偏估計(jì)，X X 總體均值的無(wú)偏估計(jì)，(X +X )/22121（是或不是）是 總體均值的無(wú)偏估計(jì)，以上屬于無(wú)偏估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量中最有效的一個(gè)為 (X +X )/2。21已知隨機(jī)變量 和 相互獨(dú)立，且X (40)，Y 。則2 / 服從X Y 2 2XY分布 。F設(shè)X X 及Y Y 分別是總體 (的容量為 20 和 30 的兩個(gè)獨(dú)立樣N11 X,Y X 服從分布 N(20,0.5)，30 ( )Y Y2iX Y服從分布 N(0,5/6)，服從分布 (29)。 2i1二、 計(jì)算題（共 20 分）1. 設(shè)隨機(jī)變量 ，Y的概率密度分別為：32, 0 2y, 0y xxf (x) 8，( ) f y Y。0

6、,X已知隨機(jī)變量 X和 Y 相互獨(dú)立。（1）求（X, ）的聯(lián)合概率密度 f(x,y)（2 第 2 頁(yè) 共 5 頁(yè)（2）計(jì)算概率 0 （4 P Y X32 , 0 0 1 x yxy1）由獨(dú)立性可得( , ) 4f x y 314 1（2） 0 P Y X11/20。yx2y4dy40 002. 25 戶(hù)家庭進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)平均每戶(hù)家庭每年用于服裝的消費(fèi)支出為 810 元，標(biāo)準(zhǔn)差為 85 元。假設(shè)該地區(qū)每戶(hù)家庭每年用于服裝的消費(fèi)支出服從正態(tài)分布。（1） 以 90%的置信度構(gòu)造該地區(qū)平均每戶(hù)家庭每年用于服裝的消費(fèi)支出的置信區(qū)間（3 （2） 以 95%的置信度構(gòu)造該地區(qū)平均每戶(hù)家庭每年用于服裝的消費(fèi)支

7、出的置信區(qū)間（3 （3） 從以上兩個(gè)置信區(qū)間找出置信度與置信區(qū)間寬度的定性關(guān)系（1 1）s（x t (n (780.9147,50.05n（2）（x st (n (774.9137,50.025n（3）置信度越高，區(qū)間寬度越寬。置信度越低，區(qū)間寬度越窄。3. 隨機(jī)抽取 1600 名中國(guó)成年男性，測(cè)量他們的身高數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)顯示，平均身高為 170 厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為 10 厘米。請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1） 可以認(rèn)為“隨機(jī)抽取的 1600 名中國(guó)成年男性的平均身高近似服從正態(tài)分定理的名稱(chēng)（1 （2） 1）中結(jié)論，用0.05 的顯著性水平檢驗(yàn)“中國(guó)成年男性的平均身高是 171 6 分）1）中心極限定理。第

8、 3 頁(yè) 共 5 頁(yè)（2）H :中國(guó)成年男性的平均身高等于 171 厘米0H :中國(guó)成年男性的平均身高不等于 171 厘米.2 分x 1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 4.2 分s/ n 10/ 1600由于t z，且-4遠(yuǎn)小于-1.96，所以拒絕原假設(shè)。2 分三、 閱讀下列材料并解答問(wèn)題（共 10 分）拋硬幣成了許多學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)生的一大樂(lè)趣。A 同學(xué)曾經(jīng)在計(jì)算機(jī)上模擬了一萬(wàn)次的拋硬幣過(guò)程，且看到了連續(xù)出現(xiàn) 10 次天安門(mén)朝上的事件。B同學(xué)曾經(jīng)模擬過(guò) 100 萬(wàn)次的拋硬幣過(guò)程，發(fā)現(xiàn)天安門(mén)朝上 502003 次。材料二：正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中非常重要的一類(lèi)分布。正態(tài)分布的“3 原理”又叫“68-95-997 1

9、倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占全體數(shù)據(jù)的比例約為 68.3%，偏離中心不超過(guò) 2 倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占全體數(shù)據(jù)的比例約為95.4%，偏離中心不超過(guò)3倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占全體數(shù)據(jù)的比例約為99.7%質(zhì)量管理中的“6 管理”正是來(lái)源于正態(tài)分布的“ 在服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù) 4倍、5 倍和 6 倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占全體數(shù)據(jù)的比例分別約為十萬(wàn)分之六、千萬(wàn)分之六和十億分之二。3材料三：樣本均值是重要而常用的統(tǒng)計(jì)量。.樣本比例定義為P X X X /n12nX ,X X 是相互獨(dú)立且服從相同的 0-1 分布的隨機(jī)變量。可見(jiàn)樣本比例是特12n殊的樣本均值。樣本比例在各種民意調(diào)查的統(tǒng)計(jì)分析中非常常用。材料四：下面是大樣本條件下總體均值的置

10、信區(qū)間：X Z。/2n由于比例是一種特殊的均值，所以用樣本比例 P 代替樣本均值 X 可以得到總體第 4 頁(yè) 共 5 頁(yè)比例的置信區(qū)間。當(dāng)然需要把 具體寫(xiě)成 0-1 分布的標(biāo)準(zhǔn)差即 PP) 。這里的總體比例 代替 P PP總體比例的置信區(qū)間可以寫(xiě)成PP)P Z。/2n問(wèn)題：（1）根據(jù)材料一和二，估算出“B 同學(xué)的 100 萬(wàn)次拋硬幣模擬中天安門(mén)朝上的次數(shù)不低于 502003 次”這一隨機(jī)事件發(fā)生的概率（6 （2 2500 名選民有1500 名投票支持現(xiàn)任總統(tǒng)繼任，剩余的1000 名則把票投給了另一位候選人。請(qǐng)根據(jù)材料三和四以 95%的置信度給出現(xiàn)任總統(tǒng)的得票率的置信區(qū)間（4 1）假設(shè)在 B 同學(xué)的 100 萬(wàn)次拋硬幣模擬中天安門(mén)朝上的次數(shù)為 次，則XX B，.2 分根據(jù)中心極限定理， 250000)近似成立，且誤差很?。ㄒ驋伒拇蝀 N2 分故天安門(mén)朝上在 50