1、醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)雙變量回歸與相關(guān)Bivariate Regression and Correlation前言大量的醫(yī)學(xué)科研與實踐中，經(jīng)常會遇到對兩個變量之間關(guān)系的研究。例如：糖尿病病人的血糖與胰島素水平的關(guān)系；健康人群年齡與收縮壓的關(guān)系；兒童身高與體重的關(guān)系；動物實驗中動物進(jìn)食量與增加體重的關(guān)系等。常用回歸與相關(guān)分析，屬雙變量分析范疇（bivariate analysis）。兩變量關(guān)系所謂確定性關(guān)系是指兩變量間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系。已知一個變量的值，另一個變量的值可以通過這種函數(shù)關(guān)系精確計算出來。非確定性關(guān)系是指兩變量在宏觀上存在關(guān)系，但并未精確到可以用函數(shù)關(guān)系來表達(dá)。第一節(jié) 直線回歸Simple Li

2、near Regression一、直線回歸的概念對于成年男性體重和舉重間的關(guān)系；即便具有相同的體重，舉重也不一定相同。 成年男性體重X與舉重Y的散點圖Y 舉重（kg)X 體重（kg）5560657075803040506070 一、直線回歸的概念對于成年女性的體重和肺活量間的關(guān)系即便具有相同的體重，肺活量也不一定相同；Y 肺活量(L)X 體重(kg)40602.04.03.02.53.5504555成年女性體重(X)與肺活量(Y)的散點圖折中的解釋成年男性體重影響舉重，但并非確定地決定它(determine it exactly) ；成年女性的體重雖然影響了肺活量；但并非確定地決定它；因此，雖

3、然它們之間有數(shù)量關(guān)系，但并非確定性的數(shù)量關(guān)系。是一種非確定性關(guān)系；一種宏觀的關(guān)系！問題：如何定量表達(dá)二者的關(guān)系？結(jié)果變量多大程度上由原因變量決定？直線回歸概念示意圖簡單線性回歸方程總體樣本“Y hat”表示估計值，給定x時y的條件均數(shù)的估計值。簡單線性回歸方程 Y 應(yīng)變量，響應(yīng)變量 (dependent variable, response variable) X 自變量，解釋變量 (independent variable, explanatory variable) b 回歸系數(shù) (regression coefficient, slope) a 截距 (constant，intercep

4、t)截距a 幾何意義a 0: 回歸線與縱軸交點在原點上方。a 0: 回歸線與縱軸交點在原點下方。a =0: 回歸線通過原點。統(tǒng)計學(xué)意義a 表示自變量X取值為0時相應(yīng)Y條件均數(shù)的估計值。a的單位與Y值相同當(dāng)X可能取0時，a才有實際意義?；貧w系數(shù)b的幾何意義XY回歸系數(shù)b的統(tǒng)計學(xué)意義b表示自變量X變化一個單位時應(yīng)變量Y的平均改變量。17歲兒童以年齡（歲）估計體重（kg）的回歸方程：糖尿病患者以胰島素水平（mU/L）估計血糖水平（mmol/L）的回歸方程：小插曲：關(guān)于F.Galton“回歸”這個詞是由英國統(tǒng)計學(xué)家F.Galton創(chuàng)立的。Galton（1822-1911）是一位人類學(xué)家，著名生物學(xué)家達(dá)

5、爾文的表兄弟，早年學(xué)醫(yī)，曾在劍橋大學(xué)念書。盡管他的數(shù)學(xué)不是很好，但在人類學(xué)和優(yōu)生學(xué)研究中萌發(fā)的統(tǒng)計學(xué)思想，對生物統(tǒng)計的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，如“回歸”、 雙變量正態(tài)分布的概念等。他沒有子女，但一生寫了9部書，發(fā)表了近200篇論文。1860年當(dāng)選英國皇家學(xué)會會員，1909年被封為爵士，1910年獲得英國皇家學(xué)會Copley獎。小插曲：為什么叫”回歸“？“回歸”這個詞是由英國統(tǒng)計學(xué)家F.Galton創(chuàng)立的。他在研究父子身高（1078對數(shù)據(jù)）關(guān)系時發(fā)現(xiàn)，高個子的父親常生高個子的兒子，但兒子身高超過父親的概率要小于低于父親的概率；同樣矮個子的父親常生矮個子的兒子，但兒子身高比父親更矮的概率要小于比父親高

6、的概率。也就是說不可能無限制的一代比一代高，或一代比一代矮。后代的高度有向平均高度回歸的趨勢；離開均值越遠(yuǎn)，所受到回歸的壓力也越大?！盎貧w”這個詞就由此而來。小插曲：為什么叫”回歸“？ F. Galton K.Pearson二、直線回歸方程的求法數(shù)據(jù)格式： 序號 x（年齡） y（尿肌酐） 1 13 3.54 2 11 3.01 3 9 3.09 7 12 3.18 8 7 2.65重要提示根據(jù)原始數(shù)據(jù)，首先繪制散點圖，觀察散點圖中點子的分布情況，只有當(dāng)點子分布呈直線趨勢時，才進(jìn)行直線回歸分析。 例9-1的散點圖見圖9-1。直線回歸方程的求解：最小二乘原理YX 直線回歸方程的求解最小二乘法（Le

7、ast Square Method）三、直線回歸中的統(tǒng)計推斷（一）回歸方程（回歸系數(shù)）的假設(shè)檢驗回歸系數(shù)也有抽樣誤差！總體0總體 0樣本b0兩變量有直線關(guān)系兩變量無直線關(guān)系？回歸方程（回歸系數(shù)）的假設(shè)檢驗H0：=0，即兩變量無直線關(guān)系H1：0，即兩變量有直線關(guān)系=0.05檢驗方法F檢驗t檢驗用同一份資料相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗代替，手工計算時最為簡便。統(tǒng)計結(jié)論1.方差分析：應(yīng)變量總變異的分解X P (X,Y)YY的總變異分解 體重舉重Y的總變異分解Y的總變異分解未引進(jìn)回歸時的總變異： (sum of squares of total)回歸的貢獻(xiàn)，回歸平方和： (sum of squares for

8、regression)引進(jìn)回歸以后的變異(殘差): (sum of squares for residuals)Y的總變異分解 總n1 回歸1 殘差n2 回歸方程的方差分析Y的總變異可以用回歸來解釋的部分即與X有關(guān)的部分決定系數(shù)R2不能用X來解釋的部分即與X無關(guān)的部分（隨機(jī)誤差）份額的大小可以用決定系數(shù)來衡量2.回歸系數(shù)的t檢驗Y的剩余標(biāo)準(zhǔn)差扣除X的影響（即回歸所能解釋的部分）后Y本身的變異程度直線回歸中三種假設(shè)檢驗間的關(guān)系在直線回歸中，回歸系數(shù)的t檢驗與方差分析結(jié)果等價。tb=4.579=F1/2=20.971/2（二）總體回歸系數(shù) 的可信區(qū)間總體樣本根據(jù) t 分布原理估計可信區(qū)間：總體樣本

9、b直線回歸分析（例9-1）直線回歸分析（例9-1）直線回歸分析（例9-1）直線回歸分析（例9-1）四、直線回歸分析應(yīng)用復(fù)習(xí)預(yù)測（容許）區(qū)間和可信區(qū)間個體的預(yù)測區(qū)間(參考值范圍): 均數(shù)界值標(biāo)準(zhǔn)差均數(shù)的可信區(qū)間： 均數(shù)界值標(biāo)準(zhǔn)誤 個體的預(yù)測區(qū)間(參考值范圍)容許區(qū)間與可信區(qū)間示意圖五、回歸分析的前提條件（LINE）線性(linear)獨立(independent)給定X時，Y正態(tài)分布(normal)等方差(equal variance)直線回歸應(yīng)用條件LINE示意圖年齡與尿肌酐關(guān)系研究尿肌酐與年齡關(guān)系呈直線還是曲線？如何定量描述二者的關(guān)系？年齡每增加1歲，尿肌酐平均增加多少？兩變量間線性依存關(guān)系

10、是否存在？如何由年齡預(yù)測尿肌酐？年齡可決定尿肌酐變異的百分比是多少？第二節(jié) 直線相關(guān)Linear Correlation一、直線相關(guān)的概念對兩變量關(guān)系的研究，有時并不要求由X估計Y，或者先不考慮這個問題，而關(guān)心的是兩個變量間是否確有直線相關(guān)關(guān)系，如兩個變量間有相關(guān)關(guān)系，那么相關(guān)的方向和相關(guān)的程度如何？可采用相關(guān)分析。相關(guān)分析的任務(wù)：兩變量間有無相關(guān)關(guān)系？兩變量間如有相關(guān)關(guān)系，相關(guān)的方向？相關(guān)的程度？相關(guān)分析時，兩變量不區(qū)分自變量和應(yīng)變量。直線相關(guān)的資料要求直線相關(guān)（linear correlation），又稱簡單相關(guān)，用于雙變量正態(tài)分布資料。例如，同性別成人的身高與體重的關(guān)系：對某一身高（如女

11、性160cm），體重為正態(tài)分布；對某一體重（如女性50kg），身高為正態(tài)分布。二、相關(guān)系數(shù)的意義與計算用以說明具有直線關(guān)系的兩個變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度和相關(guān)方向的指標(biāo)，稱為相關(guān)系數(shù)（correlation coefficient），又稱為Pearson積差相關(guān)系數(shù)（coefficient of product-moment correlation）?？傮w相關(guān)系數(shù)用希臘字母表示，而樣本相關(guān)系數(shù)用r表示，取值范圍均為-1,1。直線相關(guān)的概念相關(guān)的方向若兩個變量同時增加或減少，變化趨勢是同向的，則兩變量之間的關(guān)系為正相關(guān)(positive correlation)；若一個變量增加時，另一個變量減少

12、，變化趨勢是反向的，則稱為負(fù)相關(guān)(negative correlation)。 r=0r=0r-1r1完全正相關(guān)完全負(fù)相關(guān)零相關(guān)零相關(guān)0r1-1r0：正相關(guān)r0：負(fù)相關(guān)r=0：零相關(guān)相關(guān)的密切程度：樣本含量n足夠大時，r絕對值越接近1。相關(guān)越密切。010.40.7低度相關(guān)中度相關(guān)高度相關(guān)三、相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計推斷（一）相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗H0：0，兩變量間無直線相關(guān)關(guān)系H1：0，兩變量間有直線相關(guān)關(guān)系方法：t檢驗：查表法：按自由度（n2）查r界值表得P值。Pearson相關(guān)分析（例9-5）Pearson相關(guān)分析（例9-5）（二）總體相關(guān)系數(shù)的可信區(qū)間從相關(guān)系數(shù)不等于0的總體中抽樣，樣本相關(guān)系數(shù)的分布

13、是偏態(tài)的。 相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間估計 Fishers 變換 r z 正態(tài)近似 Fishers 反變換 的95CI z的95CI 四、回歸與相關(guān)的應(yīng)用注意事項根據(jù)分析目的選擇變量及其統(tǒng)計方法進(jìn)行直線回歸與相關(guān)分析前應(yīng)繪制散點圖用殘差圖考察回歸分析的前提條件結(jié)果的解釋及正確應(yīng)用第三節(jié) Spearman秩相關(guān)Spearman秩相關(guān)的資料類型將各變量X,Y分別編秩RX, RY；計算RX與RY的Pearson相關(guān)；所得結(jié)果即為Spearman秩相關(guān)rs 。rs的統(tǒng)計學(xué)意義同r。當(dāng)n50時，查“rs界值表”。當(dāng)n50時，用 t 檢驗。Summary兩變量區(qū)分自變量和應(yīng)變量，目的是由自變量估計應(yīng)變量直線回歸兩

14、變量不區(qū)分自變量和應(yīng)變量，目的是分析兩變量的共變關(guān)系相關(guān)雙變量正態(tài)分布資料Pearson直線相關(guān)其它類型資料Spearman秩相關(guān)回歸與相關(guān)分析的步驟散點圖直線回歸方程/相關(guān)系數(shù)的計算直線回歸方程/相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗區(qū)間估計(optional)Summary 簡單線性回歸 Pearson相關(guān) Spearman秩相關(guān) 應(yīng)用 兩變量依存關(guān)系 兩變量相關(guān)關(guān)系 預(yù)測區(qū)間數(shù)據(jù) Y正態(tài)隨機(jī)變量 雙變量正態(tài)分布 非雙變量正態(tài)分布 X人為設(shè)定 分布未知 X正態(tài)隨機(jī)變量 等級數(shù)據(jù)描述 回歸方程 Pearson相關(guān)系數(shù) Spearman秩相關(guān)系數(shù) 檢驗 F檢驗 查表法 查表法 t檢驗 t檢驗 t檢驗回歸的擴(kuò)展多重線性回歸:Y定量變量;多個自變量Logistic回歸:Y兩分類變量;多個自變量Cox回歸:Y兩分類變量+生存時間;多個自變量Review Bivariate analysisLin