1、數(shù)論知識包括數(shù)的奇偶性、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、數(shù)的整除、余數(shù)的性質(zhì)、數(shù)位的含義、平均數(shù)、分解因數(shù)、平方數(shù)、倍數(shù)與因數(shù)（1）數(shù)的奇偶性奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)個奇數(shù)相加奇數(shù) 偶數(shù)個奇數(shù)相加偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù) 偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)只要式子中含有偶數(shù)，那么相乘結(jié)果就是偶數(shù)（2）數(shù)的整除，常見的數(shù)的整除特征2：個位是偶數(shù)3：各個數(shù)位之和是 3 的倍數(shù)5：個位是 0 和 54、25：后兩位可以被 4（25）整除8、125：后三位可以被 8（125）整除9：各個數(shù)位之和是 9 的倍數(shù)7：一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的 2 倍，差是 7 的倍數(shù)。例如，判斷 133 是否 7 的

2、倍數(shù)的過程如下：13327，所以 133 是 7 6139 是否 7 的倍數(shù)的過程如下：61392595 ，5949，所以 6139 是 7 的倍數(shù)。11：奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差以大減小是 11 的倍數(shù)。13：一個多位數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差，可以被 13 整除即可被 13 整除。175 倍，如果差是 17 的倍數(shù)，則原數(shù)能被 17 整除。（3）余數(shù)的性質(zhì)1.余數(shù)的可加性：和的余數(shù)等于余數(shù)的和。2.余數(shù)的可減性：差的余數(shù)等于余數(shù)的差。3.余數(shù)的可乘性：積得余數(shù)等于余數(shù)的積。4.同余的性質(zhì)：整除。數(shù)整數(shù)。數(shù)的整除【例 1】（）將 4 個不同的數(shù)字排在一起，

3、可以組成 24 個不 24 個四位數(shù)按從小到大的順序 5 是不能被 4 3000-4000 之間。請求出這 24 個四位數(shù)中最大的一個?！窘狻浚翰环猎O(shè)這 4 個數(shù)字分別是 abcd那么從小到大的第 5 個就是 dacb,它是5 的倍數(shù)，因此 b=0 或 5，注意到 bcd,所以 b=5;從大到小排列的第 2 個是 abdc,它是不能被4 c 是偶數(shù)，cb=5，c=4 或 2從小到大的第二十個是 adbc,第五個是dacb,它們的差在3000-4000之間，所以 a=d+4；因為 ab,所以a 至少是6，那么d 最小是 2，所以c 就只能是 4。而如果 d=2，那么abdc 的末 2 位是 24

4、，它是 4 的倍數(shù)，和條件矛盾。因此 d=3,從而a=d+4=3+4=7。這 24 個四位數(shù)中最大的一個顯然是 abcd,我們求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以這 24 個四位數(shù)中最大的一個是 7543?！纠?2】（）一個 5 位數(shù)，它的各個位數(shù)字和為 43，且能被11 整除，求所有滿足條件的 5 位數(shù)？被 11 11 沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手 或 ） 1 3 4 5 7 811由 ， ， ， ， ， 整1+3+4+5+7+8=28148 2 7 14-8=6 ，35 5 1875413?！纠?4】（）一個學(xué)校參加興趣活動的學(xué)生不到100 人，其中男同學(xué)人數(shù)超過總數(shù)的 4/7 ，

5、女同學(xué)的人數(shù)超過總數(shù)的 2/5 。問男女生各多少人？之 質(zhì)數(shù)與合數(shù)（分解質(zhì)因數(shù)）【例 4 位都是0,請問里最小是幾?【解】：先分析 123410 的積的末尾共有多少個 0。由于分解出 2 的個數(shù)比 5 多少個 5 這個質(zhì)因數(shù)。而能分解出5 的一定是 5 的倍數(shù)能分解一個 5，25 的倍數(shù)分解出 2 個 5，125 的倍數(shù)能分解出 3個 5最終轉(zhuǎn)化成計數(shù)問題，如 5 的倍數(shù)有10/5=2 個。2005=5401684=22171375=3555 前三個數(shù)里有 2 個質(zhì)因子 2，4 個質(zhì)因子 5，要使得乘積的最后 4 位都是0應(yīng)該有 4 個質(zhì)因子 2 和 4 個質(zhì)因子5，還差2 個質(zhì)因子。因此里最

6、小是 4。約數(shù)和倍數(shù)【例 7】（）從一張長 2002 毫米，寬 847 毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，過程不斷的重復(fù)，最后剪得的正方形的邊長是多少毫米？【解】：邊長是 2002 和 847 的最大公約數(shù)，可用輾轉(zhuǎn)相除法求得（2002,847）=77所以最后剪得的正方形的邊長是 77 毫米。輾轉(zhuǎn)相除示例：2002847=2308求 2 個數(shù)的最大公約用上一個式子的除數(shù)數(shù)，就用大數(shù)除以小數(shù)847308=2231除以余數(shù)一直除到除盡為止308231=177用上一個式子的除數(shù)最后一個除盡的除以余數(shù)一直除到除盡為止23177=3式子的除數(shù)就是兩個數(shù)的最大公約

7、數(shù)【例 8】（）一根木棍長100 米，現(xiàn)從左往右每6 米畫一根標 5 距離相差 4 米？ 能被 5 整除，所以每5 米作標記線從左往右還是從右往左都是一樣的。這樣我們都以從左往右作，可見轉(zhuǎn)化成討論 5，6 的最小公倍數(shù)中的情況，畫圖可得有 2 根距離為 4 米，所以 30，60，90 里各有 2 條，但發(fā)現(xiàn)最后 96 和 100 也是距離 4 米，所以總共23+1=7。） 2 3 42008 這 2008 個數(shù)的最小公倍數(shù)等與多 、 、少個 2 與一個奇數(shù)的積？2中 個【例 10】（）有 15 位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是 1號到15 2整除”，3 號說“這個數(shù)能被 3 整除”，依次下去，

8、每位同學(xué)都說，這 號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1 號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程） 號的同學(xué)說的一 2 后所有編號也將說得不對，數(shù)能被 2，3，4，5，6，7 都整除。其次利用整除性質(zhì)可知，這個數(shù)也能被 25，34，27 都整除，即編號為 10，12，14 的同學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是 8 和 9。2）這個數(shù)是 的公倍數(shù)由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是 6006013數(shù)論的綜合題型）121 2 ,12. ， ，1269 13x+1,x+2,. 12第

9、 x+12x+i i(i=1,2,12) x 1 2 .12是 是 ， ，1,2,.12=27720 x=27720m27720m+9 13 27720是1344m+9 13是m=1,14,27.27720m+1m 14取27720*14+1=388081【例 12】（）有 15 位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是 1號到15 2整除”，3 號說“這個數(shù)能被 3 整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這 號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1 號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程） 號的同學(xué)說的一 2 后所有編號也將說得不對，數(shù)能被 2，3，4，5，6，7 都整除。其次利用整除性質(zhì)可知，這個數(shù)也能被 25，34，27 都整除，即編號為 10，12，14 的同學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是 8 和 9。2）這個數(shù)是 的公倍數(shù)由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是 600601作業(yè)題1 這9 3自然數(shù) N 是一個兩位數(shù)，它是一個質(zhì)數(shù)，而且 N 的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有_個。4.的最小值是多少？一個整數(shù)的三次方），這樣一組數(shù)中的最大數(shù)的最小值是多少？ 100 63 是多少？7、從左向右編號為 1