1、一、怎么樣求解向量的有關(guān)概念問題掌握并理解向量的基本概念 .判斷下列各命題是否正確(1)若 ab, b c,則 a c ；(2)兩向量 a、 b 相等的充要條件是 ab 且 a、 b共線 ；(3)ab 是向量 a b 的必要不充分條件；(1)若 A、 B、C、D 是不共線的四點(diǎn)，則ABD C 是四邊形ABCD 為平行四邊形的充要條件；(2) ABCD 的充要條件是A 與 C 重合， B與D 重合。二、向量運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算的求解方法兩個(gè)不共線的向量，加法的三角形法則和平行四邊形法則是一致的。兩個(gè)有相同起點(diǎn)的向量的差是連結(jié)兩向量的終點(diǎn)，方向指向被減向量的向量，若起點(diǎn)不同， 要平移到同一起點(diǎn)；重要結(jié)論

2、： a 與 b不共線，則 ab與 ab 是以 a 與 b 為鄰邊的平行四邊形兩條對角線所表示的向量。在求解向量的坐標(biāo) 運(yùn) 算 問 題 時(shí) ， 注 意 向 量 坐 標(biāo) 等 終 點(diǎn) 坐 標(biāo) 減 起 點(diǎn) 坐 標(biāo) ， 即 若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ， 則AB OB OA ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) (x2x1 , y2y1 ) 。例 1若向量 a(3,2), b(0, 1),則 2ba的坐標(biāo)是 _例 2若向量 a(1,1),b(1,1), c(1,2)則 c_1313C.3131A. abB.ababD.ab22222222例 3在平面直角坐標(biāo)系中，

3、O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn) A(3,1),B( 1,3), 若點(diǎn)C滿足 OCOAOB ，其中,R 且1 ，則點(diǎn) C 的軌跡為（）A.3x2 y110B.( x1) 2( y2) 20C.2xy0D.x2y50例 4O 是平面上一定點(diǎn)， A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn) P 滿足OP OA( ABAC)， 0,) ，則 P 的軌跡一定過ABC 的（）ABACA. 外心B. 內(nèi)心C. 重心D. 垂心例 5設(shè) G 是ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，試證明 :(1)若 G 是為ABC 重心，則 GAGBBC 0；1(2)若 GAGBBC0 ，則 G 是為ABC 重心。三、三點(diǎn)共線問題的證法證明 A,B,C三點(diǎn)共

4、線，由共線定理( AB與 AC共線 )，只需證明存在實(shí)數(shù)，使 ABAC ，其中必須有公共點(diǎn)。共線的坐標(biāo)表示的充要條件，若a (x1, y1 ),b (x2 , y2 ) ，則a / babx1 y2 x2 y10( x1 y2 x2 y1)例 1已知 A 、B 兩點(diǎn)， P 為一動點(diǎn)，且 OP OA tAB ，其中 t 為一變量。證明： 1.P 必在直線 AB 上； 2.t 取何值時(shí)， P 為 A 點(diǎn)、 B 點(diǎn)？例 2證明：始點(diǎn)在同一點(diǎn)的向量a、 b 、3a 2b 的終點(diǎn)在同一直線上例 3 對于非零向量四、求解平行問題a、 b, 求證：ababab兩向量平行，即共線，往往通過“點(diǎn)的坐標(biāo)”來實(shí)現(xiàn)；

5、兩向量是否共線與它們模長的大小無關(guān)，只由它們的方向決定；兩向量是否相等起點(diǎn)無關(guān)，只由模長和方向決定。例 1 已知 M (1,0), N ( 0,1), P( 2,1), Q(1, y) 且 MN / PQ ，求 y 的值。例 2已知點(diǎn) A(1,2) ，若向量 AB與a(2,3)同向，AB2 13, 則 B 點(diǎn)的坐標(biāo)是 _.例 3平面內(nèi)給定三向量a (3,2), b( 1,2), c (4,1) ，則：(1)求 3ab 2c;(2)求滿足 a mbnc的實(shí)數(shù) m、 n(3)若 (akb) /( 2ba),求實(shí)數(shù) k ;(4)設(shè) d( x, y)滿足 (dc) /( a b )且 dc 1, 求

6、d.例 4已知點(diǎn) A( 4,0), B(4,4), C(2,6) ，求 AC與 DB的交點(diǎn)， P的坐標(biāo) 。(2) 若平行四邊形ABCD 的頂點(diǎn) A( 1, 2), B(3, 1), C (5,6), 求頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)。五、向量的數(shù)量積的求法求數(shù)量積：定義法： abab cos坐標(biāo)法： abx1 x2y1 y2當(dāng) a / b時(shí)，0 和180 兩種可能。故abab2一些重要的結(jié)論： a 2a a22a 22a b b 2 ； (a b)( a b) a2b 2a ； (a b )例 1,）設(shè) ab c 是任意的非零的向量，且相互不共線，則（ (ab)c(ca)b 0; a bab ; (bc)a

7、(ac） b不與 c垂直 (3a2b)(3a 2b)229 a 4b其中是真命題的為（）A.B.C.D.例 2已知平面上三點(diǎn)A 、B 、C，滿足 AB3, BC4, CA5,則 ABBCBC CA CA AB的值等于 _。例 3已知向量 a和 b 的夾角為 120 ，且 a2, b5, 則(2ab )a_ .六、如何求向量的長度形如ab 的模長求法： 先平方轉(zhuǎn)化為含數(shù)量積運(yùn)算開方 ，即：ab22a22ab2b 2例 1已知向量 a,b , ab4, a與 b 的夾角為 60 ,則 ab_,ab_, 其中a b 與 a方向的夾角為 _, ab 與 a方向夾角為 _ .例 2設(shè)向量 a, b 滿足

8、 ab 1, 3a2b3, 求 3ab 的值。七、如何求兩向量的夾角夾角公式： cosa bx1 x2y1 y2a b2222x1y1x2y2例 1已知 a10, b12, 且(3a)(1b )36, 求a,b的夾角 _.5例 2若與是夾角為60的單位向量，且aee,bee,求 ab及 a與 b的夾角 。e1 e22 123 122八、垂直問題的求解向量垂直的充要條件：a bab0 x1x2y1 y20例 1 若向量 a,b 滿足 aba b ,則 a與 b所成的角。例 2 在ABC中 AB(2,3), AC(1, k ), 且 ABC 的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k 的值。3例 3 已知 a ba2

9、,b且。 ab 與 ab垂直，求,3.32例 4 已知 O(0,0), A(0,5), B(6,3), ADOB于點(diǎn) D, 求D點(diǎn)的坐標(biāo)。九、向量的數(shù)量積的逆向應(yīng)用求解有關(guān)向量的問題，可設(shè)出該向量的坐標(biāo)，列出方程或方程組求之。例 1 已知 a ( 4, 3), b1,且 ab 5,則 b ?例 2求與向量 a(3,1)和 b(1,的夾角相等，且模長為的向量 c的坐標(biāo)3)例 3若平面向量 b 與向量 a(1,2)的夾角是 180 ，且 b35,則 b ( )A.( 3,6)B.(3,6)C.(6, 3)D.( 6,3)例 4已知 向量 b 與向量 a(3,4)垂直，且 b15, 則 b_ .十、

10、線段定比分點(diǎn)公式的運(yùn)用技巧求解定比分點(diǎn)問題，要注意結(jié)合圖形，分清是內(nèi)分點(diǎn)是外分點(diǎn)，不能混淆起點(diǎn)和終點(diǎn)，xx1x2xx1x212定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：y2中點(diǎn)坐標(biāo)公式：y1，yy1yy212xx1x2x33重心坐標(biāo)公式：y1y3yy23例 1 設(shè)點(diǎn) P 分有向線段P P3 ，則P P所成的比為 _。1224P例 2 已知兩點(diǎn) P(4,9), Q(2,3),則 PQ 與 y 軸的交點(diǎn)分有向線段 PQ所成的比為 _.十一、利用平移公式解題點(diǎn) A(x, y) 按 向 量 a(h, k )平移，得到點(diǎn) (xh, yk)，而函數(shù) yf ( x)的圖像按 向 量a (h, k) 平移得到的函數(shù)的解析式為 yf

11、( xh)k ，解題時(shí)要注意理解圖像平移前后的關(guān)系。例 1 已知兩個(gè)點(diǎn) P(1,2), P(2,14),向量 a(3,12),則：(1)把 P 按向量 a 平移得 _.(2)某點(diǎn)按 a ,得到 P ，求這個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)。(3)P 按某向量平移得到P ,求這個(gè)向量坐標(biāo)。例 2 將函數(shù) y log 3 ( 2x1)4 的圖像按向量 a 平移后得到的是函數(shù) ylog 3 ( 2x) 的圖像，那么a 的坐標(biāo)是 _.4例 3將函數(shù) y2sin 2x的圖像按向量 a平移，2sin(2x) 1的圖像，則向量 a的坐標(biāo)3是（）A.(,1)B.(,1)C( ,1)D (,1)3636十二、怎樣利用正、余弦定理求三角形

12、的邊與角主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角變換，誘導(dǎo)公式。正弦定理：abc2R ； a2Rsin A ， b2R sin B ， c2Rsin Csin Bsin Asin C三角形面積公式：S ABC1 ab sin C1 bcsin A1 acsin B 。222余弦定理： a2b2c22bc cos A; cos Ab2c2a 22bc下面關(guān)系式需熟記：在ABC 中sin( AB)sin Ccos( AB)cosCsin( AB )cos Ccos(AB )sin C222例 1在ABC 中， sin A : sin B : sin C2:3:4,則 ABC?例 2已知ABC 中的最大角A 是最小角 C 的二倍，且 a、b、c 成等差數(shù)列，則a : b : c_例 3已知 a、b、c 是ABC 中A,B, C 的對邊， a、b、c 成等差數(shù)列，B30，ABC 的面積為3 ，那么 b_ 。2例 4 在 Rt ABC 中， C, ab6 c, 求 A B的值 。22十三、如何判定三角形的形狀原則上是將角化成邊或?qū)⑦吇山?，主要工具是正余弦定理和三角恒等變形及代?shù)變形。注意： 做等式變形過程中因式不可直接約分！例 1 在ABC 中，若 2cos Bsin Asin