1、創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日第一篇、復(fù)合函數(shù)問(wèn)題之老陽(yáng)三干創(chuàng)作創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)锳，u=g(x)的值域?yàn)锽，若AB，則y對(duì)于x函數(shù)的y=fg(x)叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.二、復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題：（一）例題解析：、已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域例1.設(shè)函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)開(kāi)。解析：函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?，1）即u(0，1)，因此f的作用范圍為（0，1）又f對(duì)lnx作用，作用范圍不變，因此0lnx1解得x(1，e)，故函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)椋?，e）f(x)1例2

2、.若函數(shù)x1，則函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)開(kāi)。f(x)1解析：先求f的作用范圍，由x1，知x1即f的作用范圍為xR|x1，又f對(duì)f(x)作用x1因此f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x應(yīng)知足f(x)1x1111且x2即x1，解得x故函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)閤R|x1且x2（2）、已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日例3.已知f(32x)的定義域?yàn)閤1，2，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)。解析：f(32x)的定義域?yàn)?，2，即x1，2，由此得32x1，5因此f的作用范圍為1，5，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，因此x1，5即函數(shù)f(

3、x)的定義域?yàn)?，5例4.f(x24)lgx28，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)橐阎獂2_。f(x2x2x24)lg8，知x0解析：先求f的作用范圍，由x228解得x244，f的作用范圍為(4，)，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，因此x(4，)，即f(x)的定義域?yàn)?4，)（3）、已知fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域思路：設(shè)fg(x)的定義域?yàn)镈，即xD，由此得g(x)E，f的作用范圍為E，又f對(duì)h(x)作用，作用范圍不變，因此h(x)E，解得xF，F(xiàn)為fh(x)的定義域。例5.若函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?，1，則f(log2x)的定義域?yàn)開(kāi)。解析：f(2x)的定義域?yàn)?，1，即x1，1，由此得

4、2x1，22創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日，2f的作用范圍為2log2x1，22，4又f對(duì)log2x作用，因此2，解得x即f(log2x)的定義域?yàn)?，4三、復(fù)合函數(shù)單一性問(wèn)題（1）引理證明已知函數(shù)yf(g(x).若ug(x)在區(qū)間(a,b）上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)yf(g(x)在區(qū)間(a,b）上是增函數(shù).證明：在區(qū)間(a,b）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2，使ax1x2b由于ug(x)在區(qū)間(a,b）上是減函數(shù)，因此g(x1)g(x2),記u1g(x1),u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,

5、d)由于函數(shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，因此f(u1)f(u2),即f(g(x1)f(g(x2)，故函數(shù)yf(g(x)在區(qū)間(a,b）上是增函數(shù).（2）復(fù)合函數(shù)單一性的判斷復(fù)合函數(shù)的單一性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個(gè)圖表：yf(u)增減ug(x)增減增減yf(g(x)增減減增以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.3）、復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的單一性判斷步伐：確立函數(shù)的定義域；創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：yf(u)與ug(x)。分別確立分解成的兩個(gè)函數(shù)的單一性；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單一性同樣（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x)為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單一性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)（4）例題操練yf(g(x)為減函數(shù)。ylog1(x22x3)例1、求函數(shù)2的單一區(qū)間，并用單一定義給予證明解：定義域x22x30 x3或x1單一減區(qū)間是(3,)設(shè)x1,x2(3,)且x1x2則(x122x13)(x222x23)=(x2x1)(x2x12)x2x13x2x10 x2x120(x1