1、2021-2022 學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共有 12 個(gè)小題，每小題 3 分，滿分 36 分）公理2：不在同一直線上的點(diǎn)確定一個(gè)平面直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面上的直線都垂直，么此直線與該平面垂直三垂線定理：平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜在垂直一個(gè)球的半徑為3，則它的體積是一個(gè)圓柱的底面半徑為3cm，高為4cm，則它的側(cè)面積為cm2已知斜線段的長(zhǎng)度是斜線段在這個(gè)平面內(nèi)射影的長(zhǎng)的兩倍，則這條斜線和這個(gè)平面所的角的大小為一個(gè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為1，高為2，則它的表面積是如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，下列

2、說(shuō)法中，正確的序號(hào)是直線 AF 與直線 DE 相交；直線 CH 與直線 DE 平行；直線 BG 與直線 DE 是異面直線；直線 CH 與直線 BG 成 60角若空間三條直線ac，bc，則a，b 的位置關(guān)系是在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，平面 A1BCD1 與平面 ABCD 所成的銳二面角的大小是在長(zhǎng)方體的12 條棱之中我們把兩條異面的棱稱“一對(duì)則12 條棱中共有對(duì)異面直線平面內(nèi)兩直線有三種位置關(guān)系：相交，平行與重合已知兩個(gè)相交平 與兩直l1，l2，又知l1，l2在 內(nèi)的射影為s1，s2，在 內(nèi)的射影為t1，t2試寫(xiě)出與t2滿足的條件，使之一定能成為l1，l2是異面直線的充分條件二、

3、單項(xiàng)選擇題（本題共有 4 個(gè)小題，每小題 3 分，滿分 12 分）兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)是兩條直線平行的（ ）條件A充分非必要C充要下列命題：B必有非充分D非充分非必要若空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；若空間有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；若空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面；若空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線其中正確的命題有（）個(gè)A0B1C2D3 15如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1FBCBB1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF相交的是（）A直線AA1B直線A1B1C直線A1D1D 直 線 B1C1 圓錐（其底面半徑和母線均為定值）底面的平面將圓錐分成上、下兩部分設(shè)圓錐所分的上下兩部分

4、的側(cè)面積分別為則函數(shù)的圖像大致（）ABCD三、解答題（本題共有 6 個(gè)大題，總分 52 分）6cm ，請(qǐng)?jiān)谄矫?并寫(xiě)出簡(jiǎn)要作法一張 A4 積（PABCDAB，PCPAD在三棱錐P ABC 中 分別是PA，BC 的中點(diǎn)，已知ACPB2，MN，異面直線AC，PB 所成角的大小1 111ABCDA B C D 中（如圖 1，AB2E 1 1111AD EC 所成角的大小；11DCDE1是否為鱉臑？并說(shuō)明理由某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圓錐形（如圖）徑為1cm的圓形蛋皮分成5（蛋皮厚度忽略不計(jì)，求該蛋筒冰淇淋的表面積和體積（精確到0.01）參考答案一、填空題（本題共有 12

5、個(gè)小題，每小題 3 分，滿分 36 分）公理2：不在同一直線上的三 點(diǎn)確定一個(gè)平面【分析】證明三個(gè)點(diǎn)不共線即可確定兩條相交直線，即可確定一個(gè)平面 解：取 A，B，C 三點(diǎn)，任兩點(diǎn)可以組成一條直線，例如直線 AB 和 BC 相交于 B 點(diǎn)， 兩條相交直線可以確定一個(gè)平面所以不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 故答案為：三直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面上的兩條相交 直線都垂直那么此直線與該平面垂直【分析】由直線與平面垂直的判定定理即可得解解：由直線與平面垂直的判定定理可知：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面故答案為：兩條相交三垂線定理：平

6、面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜在平面上的射影 垂直【分析】利用三垂線定理和三垂線定理的逆定理直接求解解：三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直， 那么它也和這條斜線垂直；三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直， 那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的射影垂直故答案為：平面上的射影一個(gè)球的半徑為3，則它的體積是36 【分析】直接利用球的體積公式求解即可解：球的半徑為3，則它的體積為V36故答案為：36一個(gè)圓柱的底面半徑為3cm，高為4c

7、m，則它的側(cè)面積為24cm2【分析】利用圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，求解即可 解：因?yàn)閳A柱的底面半徑為 3cm，高為 4cm，所以它的側(cè)面積為 23424 故答案為：24已知斜線段的長(zhǎng)度是斜線段在這個(gè)平面內(nèi)射影的長(zhǎng)的兩倍，則這條斜線和這個(gè)平面所的角的大小為【分析】根據(jù)線面角的定義，可得AB 與平面 所成的角的余弦值為 ，從而可求AB 平面 所成的角解：根據(jù)線面角的定義，可得 AB 與平面 所成的角的余弦值為 ，0，故答案為：一個(gè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為1，高為2，則它的表面積是10【分析】利用正四棱柱的表面積公式求解即可 解：因?yàn)檎睦庵酌孢呴L(zhǎng)為 1，高為 2，故答案為：10如圖是一個(gè)正方體的平面

8、展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，下列說(shuō)法中，正確的序號(hào)是 直線 AF 與直線 DE 相交；直線 CH 與直線 DE 平行；直線 BG 與直線 DE 是異面直線；直線 CH 與直線 BG 成 60角【分析】將正方體的展開(kāi)圖還原為正方體后，即可得到所求正確結(jié)論 解：如圖所示，原正方體為：在這個(gè)正方體中：直線 AF 與直線 DE 異面直線，因此不正確；CHDE異面直線，因此不正確；BGDE是異面直線，因此正確；BE，EGBECH，BEG BG 60CH與 BG 成 60角，因此正確；以上四個(gè)命題中，正確的是 故答案為：若空間三條直線ac，bc，則a，b 的位置關(guān)系是平行或相交或異面 【分析】畫(huà)出圖形，在直三

9、棱柱 ABCDEF 中，列舉對(duì)應(yīng)情況，可得出結(jié)論解：如圖，直三棱柱 ABCDEF 中，側(cè)棱 BE底面 DEF，BEBC，BEEF，BCEF， BEDE，BEEF，DE EFE， 所以，空間中的三條直線ac bc，則直線a b 行或相交或異面故答案為：平行或相交或異面1 1111在正方體ABCD A B C D中，平面A BCD與平面1 1111【分析】畫(huà)出圖形，找出二面角的平面角，求解即可 解：由題意正方體的圖形如圖：111 11 因?yàn)锳 B平面AA B B，BC平面AA B 所以A111 11 1可得A BA故答案為：1在長(zhǎng)方體的12條棱之中我們把兩條異面的棱稱“一對(duì)則12條棱中共有24對(duì)異

10、面直線4 再乘以得答案解：如圖，1 111 11111111ABCDA B C D AB CC ，DD ，B C ，A D 4 對(duì)， 1 111 11111111異面直線共有 124 24 對(duì) 故答案為：24 與兩直線l ，l l ，l s ，s t ，t s ，s t ，12121212121212121t 滿足的條件，使之一定能成為 l ，l 是異面直線的充分條件 s s ，并且 t 與 t 212121（t t ，并且 s 與 s 相交） 1212相交直線時(shí)，這兩條直線一定是異面直線解：兩個(gè)相交平面，當(dāng)兩直線在平面 內(nèi)的射影是兩條平行線，在平面 是兩條相交直線時(shí)，這兩直線是異面直線當(dāng)兩直

11、線在平面 內(nèi)的射影是兩條相交直線，在平面 直線也是異面直線11212121l ，l s t t t s s11212121故答案為：s s ，并且 t 與 t 相交，或 t t ，并且 s 與 s 相交12121212二、單項(xiàng)選擇題（本題共有 4 個(gè)小題，每小題 3 分，滿分 12 分）兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)是兩條直線平行的（）條件C充要必有非充分D【分析】根據(jù)充分必要條件的定義以及兩直線的位置關(guān)系判斷即可解：由兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，得兩條直線為異面直線或兩直線平行，不是充分條件，由兩條直線平行，得兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，是必要條件， 故選：B下列命題：若空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；若空間有三點(diǎn)共

12、線，則此四點(diǎn)必共面；若空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面；若空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線其中正確的命題有（）個(gè)A0B1C2D3【分析】對(duì)四個(gè)命題利用空間四個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系分別分析解答解：對(duì)于（1），空間四點(diǎn)共面，如平面四邊形，其中任何三點(diǎn)不共線；故錯(cuò)誤； 對(duì)于面；故正確；對(duì)于（3），空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)可能共面，如平面四邊形；故（3） 錯(cuò)誤；對(duì)于（4），空間四點(diǎn)不共面，如果任意三點(diǎn)有共線的，那么此四個(gè)點(diǎn)就共面，與已知矛盾故（4）正確；故（2）（4）正確， 故選：C1 111如圖，在正方體ABCDA B C D 中F分別為BCBB 的中點(diǎn)，則下列直線中與直線1 111直

13、線AA1B直線A1B1C直線A1D1D直線B1C1【分析】根據(jù)異面直線的定義便可判斷選項(xiàng) A，B，C 的直線都和直線 EF 異面，而由圖形即可看出直線 B1C1 和直線相交，從而便可得出正確選項(xiàng)解：根據(jù)異面直線的概念可看出直線 AA1，A1B1，A1D1 都和直線 EF 為異面直線；B1C1 和 EF 在同一平面內(nèi)，且這兩直線不平行；B1C1 EF D 一個(gè)平行于圓錐（其底面半徑和母線均為定值）底面的平面將圓錐分成上、下兩部分設(shè)圓錐所分的上下兩部分的側(cè)面積分別為 則函數(shù) 的圖像大致（）BCD【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面積為 S，由題意可得 x+yS，即可得到 yf（x）的解析式，由此判斷函數(shù)的圖像即可

14、解：由題意，一個(gè)平行于圓錐（其底面半徑和母線均為定值）底面的平面將圓錐分成上、下兩部分，因?yàn)閳A錐所分的上、下兩部分的側(cè)面積分別為x，y， 設(shè)圓錐的側(cè)面積為 S，則 x+yS，所以 yx+S，即 f（x）x+S， 則 f（x）為單調(diào)遞減的直線故選：B三、解答題（本題共有 6 個(gè)大題，總分 52 分）6cm并寫(xiě)出簡(jiǎn)要作法【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則作出圖形即可 解：作圖如圖所示：作法：在平面 xOy，使得xOy45， AB6cmAB的中點(diǎn)， OCAC，BC， 為ABC 的直觀圖一張 A4 積（0.0001cm3）【分析】分別以 21cm 的邊為高和以 29.7cm 的邊為高卷成圓柱體，由底面周長(zhǎng)求

15、出底面半徑，利用圓柱的體積公式求解即可解：21cm r，則2r29.7，解得，所以圓柱的體積為29.7cm R，則2R21，解得，1474.0843（cm3）；所以圓柱體的體積為1042.2818（cm3）綜上所述，卷成的圓柱體的體積為 1474.0843（cm3）或 1042.2818（cm3）PABCDAB，PCPAD【分析】由線面平行的判定定理可得【解答】證明：取 DC 中點(diǎn) H，聯(lián)結(jié) HM，HN，H DC 中點(diǎn)，N PC HNDP，同理，得 HMDA，故平面 HNM平面 PAD，MNHNM，MNPAD在三棱錐P ABC 中 分別是PA，BC 的中點(diǎn)，已知ACPB2，MN，異面直線AC，

16、PB 所成角的大小AB QACPB 角，通過(guò)解三角形求解即可解：取 AB（或 PC）中點(diǎn) Q，連接 QMQN，Q AB BC 中點(diǎn)， QNAC，QN三 QMBP，QM PB1，所以MQN 就是異面直線 AC、PB 所成的角或其補(bǔ)角，在MQN 中，QMQN1，MN，cosMQN，MQN120，異面直線 AC，PB 所成的角的大小為 60ABCDA1B1C1D1中（如圖），ADAA11，AB2E AB 的中點(diǎn)AD1 EC 所成角的大?。皇欠駷轺M臑？并說(shuō)明理由11【分析】CD FAFAFEC，即D1AF AD EC F 為等邊三角形，從而得到異面直線AD EC 111（2）DECED ECED CDE 解：（1）CD FAFAFEC11D AF AD EC 11 111在長(zhǎng)方體ABCDA B C D 中，由ADAA 1 1111AD F為等邊三角形，則11異面直線AD 與EC所成角的大小為；1（2）連接DE，E為AB的中點(diǎn)，DEEC又CD2，DE2+CE2DC2，得DECE1