1、激光原理與激光器件（2）Laser Principles and DevicesSchool of Physics, Shenzhen universityLong 激光原理與激光器件（2）第二章 開放式光腔和高斯光束The basic principle of lasers1.1、光腔理論的一般性問題1.2、共軸球面腔的穩(wěn)定性條件1.3、開腔模式的物理概念和衍射理論分析方法1.4、平行平面腔模的迭代解法1.5、一般穩(wěn)定球面腔的模式特征1.6、高斯光束的基本性質(zhì)及特征參數(shù)1.7、高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律1.8、高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直1.9、高斯光束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔第二章 開放式光腔和高斯

2、光束The basic princ光腔理論的一般性問題一、光腔（optical cavity）的構(gòu)成和分類最簡(jiǎn)單的光學(xué)諧振腔是在激活介質(zhì)兩端恰當(dāng)?shù)胤胖脙蓚€(gè)鍍有高反射率的反射鏡構(gòu)成。平行平面腔（法布里-泊羅干涉儀，F(xiàn)-P腔）最早提出激勵(lì)能源全反射鏡部分反射鏡激光光腔理論的一般性問題一、光腔（optical cavity）常用的基本概念： 光軸：光學(xué)諧振腔中間與鏡面垂直的軸線 孔徑：光學(xué)諧振腔中起著限制光束大小、形狀的元件，大多數(shù)情況下，孔徑是激活物質(zhì)的兩個(gè)端面，但一些激光器中會(huì)另外放置元件以限制光束為理想的形狀。常用的基本概念：光學(xué)諧振腔（resonator）的種類按諧振腔的開放程度非穩(wěn)定腔氣體

3、波導(dǎo)腔 開腔閉腔穩(wěn)定腔臨界腔 按反射鏡形狀：球面腔與非球面腔，端面反射腔與分 布反饋腔按反射鏡的多少：兩鏡腔與多鏡腔，簡(jiǎn)單腔與復(fù)合腔 光學(xué)諧振腔（resonator）的種類按諧振腔的開放程度非穩(wěn)開腔由兩塊具有公共軸線的球面鏡構(gòu)成的諧振腔。從理論上分析這些腔時(shí)，通常認(rèn)為側(cè)面沒有光學(xué)邊界，因此將這類諧振腔稱為開放式光學(xué)諧振腔，簡(jiǎn)稱開腔閉腔固體激光器的工作物質(zhì)通常具有比較高的折射率，因此在側(cè)壁上將發(fā)生大量的全反射。如果腔的反射鏡緊貼激光棒的兩端，則在理論上分析這類腔時(shí)，應(yīng)作為介質(zhì)腔來處理。半導(dǎo)體激光器是一種真正的介質(zhì)波導(dǎo)腔。這類光學(xué)諧振腔稱為閉腔 。開腔由兩塊具有公共軸線的球面鏡構(gòu)成的諧振腔。從理論

4、上分析這些氣體波導(dǎo)腔 （半封閉腔） 另一類光腔為氣體波導(dǎo)激光諧振腔，其典型結(jié)構(gòu)是一段空心介質(zhì)波導(dǎo)管兩端適當(dāng)位置放置反射鏡。這樣，在空心介質(zhì)波導(dǎo)管內(nèi)，場(chǎng)服從波導(dǎo)中的傳播規(guī)律，而在波導(dǎo)管與腔鏡之間的空間中，場(chǎng)按與開腔中類似的規(guī)律傳播。氣體波導(dǎo)腔 另一類光腔為氣體波導(dǎo)激光諧振腔，其典型結(jié)構(gòu)是一段由兩個(gè)以上的反射鏡構(gòu)成一般球面腔RL2RLmode volume V 簡(jiǎn)單的激光諧振腔由兩個(gè)以上的反射鏡構(gòu)成一般球面腔RL2RLmode 簡(jiǎn)單HRSP1P2OCAOMpump beamlaser rod實(shí)際的復(fù)雜激光諧振腔HRSP1P2OCAOMpump beamlaser rod二、模的概念腔與模(Lase

5、r Modes)的一般聯(lián)系在具有一定邊界條件的腔內(nèi)，電磁場(chǎng)只能存在于一系列分立的本征態(tài)之中，場(chǎng)的每種本征態(tài)將具有一定的振蕩頻率和空間分布。 光學(xué)諧振腔的模式(或稱波型): 諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場(chǎng)本征態(tài)。 從光子的觀點(diǎn)看，激光模式就是腔內(nèi)可能區(qū)分的光子狀態(tài)。二、模的概念腔與模(Laser Modes)的一般聯(lián)系在光學(xué)諧振腔的模式分為：縱模和橫模模式與腔的結(jié)構(gòu)之間具有依賴關(guān)系：給定了腔的具體結(jié)構(gòu)，則其中振蕩模的特征就隨之確定。 光學(xué)諧振腔的模式分為：縱模和橫模模式與腔的結(jié)構(gòu)之間具有依賴關(guān)駐波條件平行平面腔中平面波的往返傳播在腔內(nèi)要形成穩(wěn)定的振蕩，要求光波要因干涉而得到加強(qiáng)。相長(zhǎng)干涉條件：考查具有

6、平行平面鏡的Fabry-Perot 諧振腔駐波條件平行平面腔中平面波的往返傳播在腔內(nèi)要形成穩(wěn)定的振蕩，光腔的駐波條件:諧振頻率:光腔中的駐波光腔的駐波條件:諧振頻率:光腔中的駐波激光的縱模(軸向模)：由整數(shù)q所表征的腔內(nèi)縱向穩(wěn)定場(chǎng)分布 。整數(shù)q稱為縱模的序數(shù)，駐波系統(tǒng)在腔的軸線上零場(chǎng)強(qiáng)度的數(shù)目 q階縱模頻率可以表達(dá)為：基縱模的頻率可以表達(dá)為：縱模(Longitudinal modes，縱向的穩(wěn)定場(chǎng)分布)q=4q=3q=2q=1諧振腔內(nèi)q階縱模的頻率為基縱模頻率的整數(shù)倍(q倍）激光的縱模(軸向模)：由整數(shù)q所表征的腔內(nèi)縱向穩(wěn)定場(chǎng)分布 。激光縱模分布示意圖 激光縱模分布示意圖 腔的縱模在頻率尺度上

7、是等距離排列的 激光器諧振腔內(nèi)可能存在的縱模示意圖縱模的頻率間隔：nqdnnq+1nq-1腔的縱模在頻率尺度上是等距離排列的 激光器諧振腔內(nèi)可能存在的模式的空間分布（Spatial profile of modes）諧振 （Resonances）nmdnnm+1nm-1模式的空間分布諧振 （Resonances）nmdnnm+1激光模式（Laser Modes）激光的頻率通常被稱為“縱?！庇晒鈱W(xué)諧振腔的諧振條件決定的諧振頻率有無數(shù)個(gè)，但只有落在原子（或分子、離子）的熒光譜線寬度內(nèi)，并滿足閾值條件的那些頻率才能形成激光。（Which modes lasing depends on the gai

8、n profile.）激光模式（Laser Modes）激光的頻率通常被稱為“縱模形成激光振蕩的條件：滿足諧振條件 滿足閾值條件落在工作物質(zhì)原子熒光線寬范圍內(nèi)的頻率成分形成激光振蕩的條件：滿足諧振條件 滿足閾值條件落在工作物質(zhì)原工作原子自發(fā)輻射的熒光線寬越大，可能出現(xiàn)的縱模數(shù)越多。 激光器腔長(zhǎng)越大，相鄰縱模的頻率間隔越小，同樣的熒光譜線線寬內(nèi)可以容納的縱模數(shù)越多。激光器中出現(xiàn)的縱模數(shù)工作原子自發(fā)輻射的熒光線寬越大，可能出現(xiàn)的縱模數(shù)越多。 激光腔內(nèi)電磁場(chǎng)在垂直于其傳播方向的橫向X-Y面內(nèi)也存在穩(wěn)定的場(chǎng)分布，通常稱為橫模。也叫TEM 模（Transverse Electro-magnetic mo

9、des）橫模(Transverse modes，橫向X-Y面內(nèi)的穩(wěn)定場(chǎng)分布)m,n 為橫模的序數(shù) ，基模(橫向單模)：m=n=0, 其它的橫模稱為高階橫模腔內(nèi)電磁場(chǎng)在垂直于其傳播方向的橫向X-Y面內(nèi)也存在穩(wěn)定的場(chǎng)分基模高階橫模軸對(duì)稱分布旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分布基模高階橫模軸對(duì)稱分布旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分布節(jié)數(shù)：振幅為零的位置對(duì)于方形鏡，m表示X方向的節(jié)線數(shù)， n表示Y方向的節(jié)線數(shù)； 對(duì)于圓形鏡， p 表示徑向節(jié)線數(shù)，即暗環(huán)數(shù)，l表示角向節(jié)線數(shù)，即暗直徑數(shù)節(jié)數(shù)：振幅為零的位置對(duì)于方形鏡，m表示X方向的節(jié)線數(shù)， n表方形反射鏡的橫模圖像方形反射鏡的橫模圖像（第二章）(c) TEM02(d) TEM03(a) TEM00(

10、b) TEM10球形反射鏡的橫模圖像（第二章）(c) TEM02(d) TEM03(a) TEM (a) TEM00 (b) TEM10 (c) TEM20橫模電場(chǎng)分布及強(qiáng)度示意圖 (a) TEM00 (b) TEM10 (c三、光腔的損耗包括選擇損耗3 腔鏡反射不完全引起的損耗 2 衍射損耗1 幾何偏折損耗4 穩(wěn)定腔材料中的非激活吸收、散射、腔內(nèi)插入物非選擇損耗 損耗的大小是評(píng)價(jià)諧振腔的一個(gè)重要指標(biāo)，在激光振蕩中，光腔的損耗決定了振蕩的閾值和激光的輸出能量，也是腔模理論的重要研究課題三、光腔的損耗包括選擇損耗3 腔鏡反射不完全引起的損耗 2 （1）幾何損耗： 光線在腔內(nèi)往返傳播時(shí)，可能從腔的

11、側(cè)面偏折出 去而引起損耗。 決定其大小的因素：腔的類型和幾何尺寸； 橫模的高低階次 （2）衍射損耗： 腔鏡邊緣、插入光學(xué)元件的邊緣、孔徑及光闌 的衍射效應(yīng)產(chǎn)生的損耗。 決定其大小的因素：腔的菲涅耳數(shù)有關(guān)、腔的幾何參 數(shù)有關(guān)、橫模的階數(shù)有關(guān)。(模的 階次越高，衍射損耗越大，基模 的衍射損耗最小。) （1）幾何損耗： （3）腔鏡不完全反射引起的損耗 包括反射鏡的吸收、散射以及鏡的透射損耗。 鏡的透射損耗與輸出鏡的透射率T有關(guān)。 （4）材料中非激活吸收、散射，腔內(nèi)插入物引起的損耗。 激光通過腔內(nèi)光學(xué)元件和反射鏡發(fā)生非激活吸收、散射引起的損耗（3）腔鏡不完全反射引起的損耗 引入平均單程損耗因子定義1：

12、 由定義2： 腔內(nèi)總損耗因子： 引入平均單程損耗因子定義1： 由定義2： 腔內(nèi)總損耗因子： 1、光子在腔內(nèi)的平均壽命Rt時(shí)刻腔內(nèi)光強(qiáng)為：時(shí)間常數(shù)： 當(dāng)t=R時(shí)， 經(jīng)過R時(shí)間，腔內(nèi)光腔衰減為初始值的1/e R越小，腔內(nèi)損耗越大，光腔衰減越快定義：腔內(nèi)光強(qiáng)衰減為初始值的1/e所需要的時(shí)間1、光子在腔內(nèi)的平均壽命Rt時(shí)刻腔內(nèi)光強(qiáng)為：時(shí)間常數(shù)： 當(dāng)2、無源諧振腔的Q值定義：腔內(nèi)損耗越小，Q值越高2、無源諧振腔的Q值定義：腔內(nèi)損耗越小，Q值越高3、損耗舉例（1）、由鏡反射不完全所引起的損耗（2）、腔鏡傾斜時(shí)的幾何損耗（3）、衍射損耗 （ 菲涅爾數(shù)N）3、損耗舉例（1）、由鏡反射不完全所引起的損耗（2）、

13、腔鏡傾共軸球面腔的穩(wěn)定性條件“共軸球面”將兩個(gè)反射鏡的球心連線作為光軸三個(gè)重要參數(shù)：兩個(gè)球面反射鏡 的曲率半徑R1、R2；腔長(zhǎng)L共軸球面腔的穩(wěn)定性條件“共軸球面”將兩個(gè)反射鏡的球心連線作為平行平面腔共焦腔共心腔平凹腔* 常見的諧振腔形式平行平面腔共焦腔共心腔平凹腔* 常見的諧振腔形式Laser ResonatorsMirror curvatures play a big role in lasers.Laser ResonatorsMirror curvatu一、腔內(nèi)光線往返傳播的矩陣表示一條光線可以用兩個(gè)坐標(biāo)(r,)表示：光軸 （Optical axis）光線（optical ray）rq

14、r光線離軸位置q光線與軸線的夾角 用一個(gè)列矩陣 描述任一光線的坐標(biāo)（光線矢量）r1, q1L = 0r2 q2 L光線在軸上方，r為正，光線初射方向在腔軸線上方為正，反之為負(fù)。一、腔內(nèi)光線往返傳播的矩陣表示一條光線可以用兩個(gè)坐標(biāo)(r,r1, q1L = 0r2 q2 L由幾何關(guān)系：上述方程可以表示為下列矩陣形式：光線的傳輸可以用變換矩陣描述設(shè)光線從L=0面上發(fā)出，初始坐標(biāo)為 ，到達(dá)L面時(shí)坐標(biāo)為r1, q1L = 0r2 q2 L由幾何關(guān)系：上述方程r1, q1L = 0r2 q2 LTL表示光線在自由空間中行進(jìn)距離L 時(shí)所引起的坐標(biāo)變換，稱為變換矩陣。r1, q1L = 0r2 q2 LTL表

15、示光線在自由空在球面上發(fā)射反射時(shí)，根據(jù)球面鏡對(duì)傍軸光線的反射規(guī)律有：變換矩陣為：riir00r55R0i將上式寫成矩陣形式：也稱為球面鏡的反射矩陣在球面上發(fā)射反射時(shí)，根據(jù)球面鏡對(duì)傍軸光線的反射規(guī)律有：變換矩經(jīng)過薄透鏡的光線 （Rays at a lens）rout = rinqout = (1/f) rin + qinrin, qinz = zinrout qoutz = zoutf如果透鏡很薄，則只有光線的傾角發(fā)生變化，將上式寫成矩陣形式：Rewriting this expression in matrix notation:經(jīng)過薄透鏡的光線 （Rays at a lens）rour11r

16、11r22r33r44r55LM1M2光線在曲率半徑為R3的鏡M2上反射時(shí)，有r11r11r22r33r44r55LM1M2光r11r11r22r33r44r55LM1M2光線從M2行進(jìn)到M1鏡面時(shí)，有r11r11r22r33r44r55LM1M2光r11r11r22r33r44r55LM1M2光線又在M1鏡面上發(fā)生反射時(shí)，有r11r11r22r33r44r55LM1M2光光線在腔內(nèi)完成一次往返傳播時(shí)，其總的坐標(biāo)變換為：其中T為傍軸光線在光腔內(nèi)往返一次的總變換矩陣，稱為往返矩陣r11r11r22r33r44r55LM1M2光線在腔內(nèi)完成一次往返傳播時(shí)，其總的坐標(biāo)變換為：其中T為傍軸往返矩陣T

17、：往返矩陣T 中，矩陣元A、B、C、D分別為：往返矩陣T與光線的初始坐標(biāo)參數(shù)r1和 無關(guān)，因而它可以描述任意近軸光線在腔內(nèi)往返傳播的行為往返矩陣T ：往返矩陣T 中，矩陣元A、B、C、D分別為：往光線在腔內(nèi)經(jīng)n次往返時(shí)其參數(shù)的變換關(guān)系是：n次往返變換矩陣Tn的矩陣元An、Bn、Cn、Dn分別為（利用sylvester定理）：其中：光線在腔內(nèi)經(jīng)n次往返時(shí)其參數(shù)的變換關(guān)系是：n次往返變換矩陣T對(duì)任何光學(xué)元件，可以定義2x2 “光線矩陣.該元件對(duì)光線的作用由光線矩陣乘以光線矢量決定光線矩陣可以描述簡(jiǎn)單的和復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)這種矩陣通常稱為“ABCD 矩陣.光學(xué)系統(tǒng) 2x2 光線矩陣rin, qinrou

18、t, qout對(duì)任何光學(xué)元件，可以定義2x2 “光線矩陣.光線矩陣可以描經(jīng)過多個(gè)光學(xué)元件注意矩陣下標(biāo)的順序與實(shí)際傳輸?shù)捻樞蛳喾碩1T3T2經(jīng)過多個(gè)光學(xué)元件注意矩陣下標(biāo)的順序與實(shí)際傳輸?shù)捻樞蛳喾碩1T一些光學(xué)元件的傳播矩陣距離為L(zhǎng)的 自由空間 n1界面折射（折射率分別為n1，n2）折射率n、長(zhǎng)L均勻介質(zhì)薄透鏡 （焦距f）球面折射球面反射鏡（曲率半徑R）一些光學(xué)元件的傳播矩陣距離為L(zhǎng)的 界面折射（折射率分別為n1光線在腔內(nèi)經(jīng)過多次往返后，其位置仍“緊靠”光軸，不會(huì)橫向逸出腔外，則該光腔是穩(wěn)定的。二、共軸球面腔的穩(wěn)定性條件這要求往返矩陣Tn中的矩陣元An、Bn、Cn、Dn對(duì)任意的n值保持有限，從而使rn、n為有限值。這要求 為實(shí)數(shù)，且不等于k其中：光線在腔內(nèi)經(jīng)過多次往返后，其位置仍“緊靠”光軸，不會(huì)橫向逸出帶入A、D得：引入g參數(shù)：共軸球面腔的穩(wěn)定條件要求為實(shí)數(shù)，即要求當(dāng)幾何參數(shù)滿足上式時(shí)，諧振腔處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，為穩(wěn)定諧振腔帶入A、D得：引入g參數(shù)：共軸球面腔的穩(wěn)定條件要求為實(shí)數(shù)，第二章開放式光腔和高斯光束21教材課件非穩(wěn)腔滿足的條件是：臨界腔（介穩(wěn)腔，其穩(wěn)定性視不同的腔而不同）例如對(duì)稱共焦腔、平行平面腔和共心腔。非穩(wěn)定腔：腔中光線除去極少量特殊光線外，不管其初始條件如何，都要逸出腔外。臨界腔滿足的條件是：非穩(wěn)腔滿足的條件是：臨界腔（介穩(wěn)腔，其穩(wěn)定性視不同的腔