1、7機械振動習題思慮題要點7機械振動習題思慮題要點12/127機械振動習題思慮題要點習題7-1.原長為0.5m的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為0.1kg的物體，當物體靜止時，彈簧長為0.6m現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長，此后放手，以放手時開始計時，取豎直向下為正向，寫出振動式。（g取9.8）解：振動方程：xAcos(t),在本題中，kxmg，所以k9.8；k9.898m0.1振幅是物體走開平衡地址的最大距離，當彈簧升長為0.1m時為物體的平衡地址，以向下為正方向。所以若是使彈簧的初狀態(tài)為原長，那么：A=0.1，當t=0時，x=-A，那么就可以知道物體的初相位為。所以：x0.1cos（98t）即

2、x0.1cos(98t)7-2.有一單擺，擺長l1.0m，小球質(zhì)量m10g.t0時，小球正好經(jīng)過0.06rad處，并以角速度0.2rad/s向平衡地址運動。設(shè)小球的運動可看作簡諧振動，試求：（g取9.8）（1）角頻率、頻率、周期；（2）用余弦函數(shù)形式寫出小球的振動式。解：振動方程：xAcos(t)我們只要依照題意找到對應(yīng)的各項就行了。（1）角頻率：g，l頻率：1g9.80.5Hz，2l2周期：T2l22sg9.8（2）依照初始條件：cos0sin0可解得：A0.088，A0(1,2象限）A0(3,4象限）2.32所以獲取振動方程：0.088cos（3.13t2.32）7-3.一豎直懸掛的彈簧下

3、端掛一物體，最初用手將物體在彈簧原長處托住，此后放手，此系統(tǒng)便上下振動起來，已知物體最低地址是初始地址下方10.0cm處,求：（1）振動頻率；（2）物體在初始地址下方8.0cm處的速度大小。解：（1）由題知2A=10cm，所以A=5cm；Kg9.8196又=k19614,即mx5102m1k7m2）物體在初始地址下方8.0cm處，對應(yīng)著是x=3cm的地址，所以：cos0 x3A5那么此時的sin0v4A5那么速度的大小為v4A0.5657-4.一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為2s。當t0時,位移為6cm，且向x軸正方向運動。求：（1）振動表達式；（2）t0.5s時，質(zhì)點的地址、速

4、度和加速度；（3）若是在某時辰質(zhì)點位于x6cm，且向x軸負方向運動，求從該地址回到平衡地址所需要的時間。解：由題已知A=12-2m，T=2.0s=2/T=rads-1又，t=0時，x06cm，v00由旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知：故振動方程為x0.12cost）（3(2)將t=0.5s代入得x0.12cos（t3）0.12cos60.104mv0.12sin（t3）0.12cos0.188m/s6a0.122cos（t）0.122cos1.03m/s236方向指向坐標原點，即沿x軸負向(3)由題知，某時辰質(zhì)點位于x6cm，且向x軸負方向運動即x=-A/2，且v0，故t=2/3，它回到平衡地址需要走t=/=

5、(/3)()=1/3s03/3，所以：7-5.兩質(zhì)點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當質(zhì)點1在x1A/2處，且向左運動時，另一個質(zhì)點2在x2A/2處，且向右運動。求這兩個質(zhì)點的位相差。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：當質(zhì)點1在x1A/2處，且向左運動時，相位為/3，而質(zhì)點2在x2A/2處，且向右運動，相位為4/3。所以它們的相位差為。7-6.質(zhì)量為m的密度計，放在密度為的液體中。已知密度計圓管的直徑為d。試證明，密度計推動后，在豎直方向的振動為簡諧振動。并計算周期。解：平衡地址：當F浮=G時，平衡點為C處。設(shè)此時進入水中的深度為a：gSamg可知浸入水中為a處為平衡地址。以水面作為坐標原點O，以向

6、上為x軸，質(zhì)心的地址為x，則：剖析受力：無論它處在什么地址，其吞沒水中的部分都可以用a-x來表示，所以力Fg(ax)SgaSgSxkxFgSxd2x令2gSgd2amdt2m4mm可獲?。篸2x2x0可見它是一個簡諧振動。dt2周期為：T2/4mdg7-7.證明圖示系統(tǒng)的振動為簡諧振動。其頻率為：1k1k22(k1k2)m證明：兩根彈簧的串連此后等效于一根彈簧，所以仍為簡諧振動（證明略），其勁度系數(shù)滿足：K1x1K2x2Kx和x1x2x可得：111K1K2KK1所以：KK1K2K21k1k1k2代入頻率計算式，可得：2m2(k1k2)m7-8.當簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總

7、能量的多少？物體在什么地址時其動能和勢能各占總能量的一半？1211213EP=2kx2k（2A）4EM，EK4EM當物體的動能和勢能各占總能量的一半：1kx21121，2（2kA）EM22所以：x2A0.707A。27-9.兩個同方向的簡諧振動曲線(以以下列圖)1）求合振動的振幅。2）求合振動的振動表達式。解：經(jīng)過旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡單。先剖析兩個振動的狀態(tài)：1，2，A1A2：22兩者處于反相狀態(tài)，（反相21(2k1)，k0,1,2,）所以合成結(jié)果：振幅AA2A1振動相位判斷：當A1A2,1；當A1A2,2；所以本題中，2，2振動方程：x（A2）（2t）12T7-10.兩個同方向，同頻率的簡諧振

8、動，其合振動的振幅為20cm，與第一個振動的位相差為6。若第一個振動的振幅為103cm。則（1）第二個振動的振幅為多少？（2）兩簡諧振動的位相差為多少？解：由題意可做出旋轉(zhuǎn)矢量圖以下由圖知A22A12A22A1Acos30=(0.173)+(0.2)-20.173.3=0.01A=0.1m設(shè)角AAO為，則A=A+A-2AAcosA12A22A2(0.173)2(0.1)2(0.02)2即cos=2A1A220.1730.1=0即=/2，這說明A與A間夾角為/2，即二振動的位相差為/27-11.一擺在空中作阻尼振動，某時辰振幅為A03cm，經(jīng)過t110s后，振幅變?yōu)锳11cm。問：由振幅為A0時

9、起，經(jīng)多長時間其振幅減為A20.3cm？解：依照阻尼振動的特色，xA0etcos(t0)振幅為AA0et若已知A03cm，經(jīng)過t110s后，振幅變?yōu)锳11cm，可得：13e10那么當振幅減為A2t可求得t=21s。7-12.某彈簧振子在真空中自由振動的周期為T0，現(xiàn)將該彈簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，經(jīng)過每個周期振幅降為原來的90%，求:（1）求振子在水中的振動周期T（2）若是開始時振幅A010厘米，阻尼振動從開始到振子靜止求振子經(jīng)過的路程為多少？2T02解：（1）有阻尼時T2200AA0et0.9A0A0eTln0.9TTT042(ln0.9)21.00014T02（2）7-13.試畫出

10、xAcos(2t)和yBcost的李薩如圖形。4略，可參照書上的圖形。7-14.質(zhì)點分別參加以下三組互相垂直的諧振動：x4cos8t61）y4cos8t6x4cos8tx4cos8t（2）6（3）652y4cos8yt4cos8t63試鑒識質(zhì)點運動的軌跡。解：質(zhì)點參加的運動是頻率相同，振幅相同的垂直運動的疊加。x2y2A2A21）則方程化為：2）則方程化為：3）則方程化為：2xy2cos(21)sin2(21)A213x2y2xy12，軌跡為一般的橢圓。21(xy)20yA2x軌跡為素來線。A1A2A1212x2y2A12A221軌跡為一圓。7-15.在示波器的水平和垂直輸入端分別加上余弦式交

11、變電壓，熒光屏上出現(xiàn)以以下列圖的李薩如圖形。已知水平方向振動頻率為2.7104Hz，求垂直方向的振動頻率。解：經(jīng)過和書上的李薩如圖形想比較，可發(fā)現(xiàn)它滿足兩方向的振動頻率比3：2。由水平方向振動頻率為2.7104Hz，可得垂直方向的振動頻率為1.8104Hz。思慮題7-1.試說明以下運動可否是簡諧振動：1）小球在地面上作圓滿彈性的上下跳動；2）小球在半徑很大的圓滑凹球面底部作小幅度的搖動。答：要使一個系統(tǒng)作諧振動，必定同時滿足以下三個條件：一，描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、擺長等等在運動中保持為常量；二，系統(tǒng)是在自己的牢固平衡地址周邊作來往運動；三，在運動中系統(tǒng)只碰到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作

12、用也許說，若一個系統(tǒng)的運動微分方程能用d2dt2+=0描述時，其所作的運動就是諧振動拍皮球時球的運動不是諧振動第一，球的運動軌道中其實不存在一個牢固的平衡地址；第二，球在運動中所受的三個力：重力，地面恩賜的彈力，擊球者恩賜的拍擊力，都不是線性回復(fù)力小球在圖所示的情況中所作的小弧度的運動，是諧振動顯然，小球在運動過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的牢固平衡地址即凹槽最低點，即系統(tǒng)勢能最小值地址點O；而小球在運動中的回復(fù)力為-mgsin，如題4-1圖(b)所示題中所述，SR，故=S/R0，所以回復(fù)力為-mg式中負號，表示回復(fù)力的方向素來與角位移的方向相反即小球在O點周邊的來往

13、運動中所受回復(fù)力為線性的若以小球為對象，則小球在以O(shè)為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運動，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有d2=g/R,則有d2mR=-mg令dt2=0dt27-2.簡諧振動的速度和加速度在什么情況下是同號的?在什么情況下是異號的?加速度為正當時，振動質(zhì)點的速率可否必定在增加？反之，加速度為負值時，速率可否必定在減小?答：簡諧振動的速度：v=-Asin（）；2要使它們同號，必定使質(zhì)點的振動相位在第一象限。其他象限的相位兩者就是異號的。加速度為正當時，振動質(zhì)點的速率不用然在增加，反之，加速度為負值時，速率也不用然在減小。只有當速度和加速度是同號時，加速度才能使速率增加；反之，兩者異號時

14、，加速度使速率減小。7-3.剖析以下表述可否正確，為什么?1）若物體碰到一個總是指向平衡地址的合力，則物體必定作振動，但不用然是簡諧振動；2）簡諧振動過程是能量守恒的過程，凡是能量守恒的過程就是簡諧振動。答：（1）的表述是正確的，原因參照7-1；（2）的表述不正確，比方自由落體運動中能量守恒，但不是簡諧振動。7-4.用兩種方法使某一彈簧振子作簡諧振動。方法1：使其從平衡地址壓縮方法2：使其從平衡地址壓縮l，由靜止開始釋放。2l，由靜止開始釋放。若兩次振動的周期和總能量分別用T1、T2和E1、E2表示，則它們滿足下面那個關(guān)系？(A)T1T2E1E2(B)T1T2E1E2(C)T1T2E1E2(D)T1T2E1E2答：依照題意，這兩次彈簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不一樣樣。選擇B。7-5.一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，周期為T，振幅為A，質(zhì)點從x1A運動到2x2A地方需要的最