1、專題之4、創(chuàng)新與綜合題一、選擇題。1(2011年復(fù)旦大學(xué))設(shè)正整數(shù)n可以等于4個(gè)不同的正整數(shù)的倒數(shù)之和,則這樣的n的個(gè)數(shù)是A.1B.2C.3D.42(2011年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考)設(shè)是坐標(biāo)平面按順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)做角度為 QUOTE 的旋轉(zhuǎn),表示坐標(biāo)平面關(guān)于y軸的鏡面反射,用表示變換的復(fù)合,先做,再做,用k表示連續(xù)做k次的變換,則234是A.4B.5C.2D.2二、解答題。3(2009年南京大學(xué))求所有滿足tan A+tan B+tan Ctan A+tan B+tan C的非直角三角形.4(2010年浙江大學(xué))如圖,一條公路兩邊有六個(gè)村莊,要建一個(gè)車(chē)站,要求到六個(gè)村莊的距離之和最小,應(yīng)該建在哪

2、里最合適?如果再在邊上增加一個(gè)村莊呢?5(2009年清華大學(xué))A、B兩人玩一個(gè)游戲,A選擇n枚硬幣,B根據(jù)自己的策略將這些硬幣全部擺放在位點(diǎn)上,之后A選取一個(gè)至少有2枚硬幣的位點(diǎn),取走一枚硬幣,再將另一枚硬幣移動(dòng)到相鄰位點(diǎn),A若在有限步內(nèi)根據(jù)規(guī)則在指定點(diǎn)P處放上一個(gè)硬幣則獲勝.問(wèn)在一條有5個(gè)位點(diǎn)的線段和7個(gè)位點(diǎn)的圓環(huán)上,A分別至少選擇多少枚硬幣時(shí),無(wú)論點(diǎn)P的位置如何均可保證獲勝?6(2009年清華大學(xué))有64匹馬,每匹馬的速度保持不變且各不相同,現(xiàn)通過(guò)比賽來(lái)完成排名,若每場(chǎng)比賽最多只能有8匹馬參賽,問(wèn)理想狀態(tài)下能否在50場(chǎng)比賽內(nèi)完成排名?7(2009年清華大學(xué))有100個(gè)集裝箱,每個(gè)集裝箱裝有

3、兩件貨物.在取出來(lái)的過(guò)程中貨物的順序被打亂了,現(xiàn)在按一定的規(guī)則將貨物依次放入集裝箱中.集裝箱的體積都是1,且每個(gè)集裝箱最多放兩件貨物,若裝了一件貨物后裝不下第二件貨物,那么就將這個(gè)集裝箱密封,把第二件貨物裝到下一個(gè)集裝箱中.問(wèn)在最壞情況下需要多少個(gè)集裝箱?8(2009年清華大學(xué))請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式f(x),使得 QUOTE + QUOTE 是其一根.9(2010年清華大學(xué))將長(zhǎng)為n的棒鋸開(kāi),要求鋸成的每段長(zhǎng)都是整數(shù),且任意時(shí)刻,鋸成的所有棒中最長(zhǎng)的一根嚴(yán)格小于最短的一根的2倍,如6只能鋸一次,6=3+3,而7能鋸2次,7=4+3,4又能鋸為2+2,問(wèn)長(zhǎng)為30的棒最多能鋸成幾段?若a,b,c

4、中沒(méi)有1,則a2,b2,c2,a+b+c=abc化為 QUOTE + QUOTE + QUOTE =1,而1= QUOTE + QUOTE + QUOTE QUOTE + QUOTE + QUOTE = QUOTE ,顯然不成立.三角形三內(nèi)角的正切值分別為1,2,3.即滿足三內(nèi)角的正切值分別為1,2,3的三角形,即為所求.【解析】無(wú)4.1.首先設(shè)六個(gè)村莊到達(dá)公路的距離之和為S0,車(chē)站P到六個(gè)村莊的距離之和為S,下面我們根據(jù)車(chē)站所建的位置來(lái)討論它到六個(gè)村莊的距離之和.(1)建在A、B之間(包括端點(diǎn)A),則S=AP+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+4PB.(2)建在B、C之

5、間(包括兩端點(diǎn)B、C),則S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0.(3)建在C、D之間(包括端點(diǎn)D),則S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC.(4)建在D、E之間(包括端點(diǎn)E),則S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC+2PD.(5)建在A的左側(cè)或E的右側(cè),則S均比情況(2)中的大.綜合以上各種情況,我們可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)車(chē)站建在B、C之間(包括端點(diǎn)B、C)時(shí)最合適.幣.于是由結(jié)論可知A可獲勝.對(duì)于4個(gè)位點(diǎn)線段的情況,A只要選擇8枚硬幣,不妨設(shè)點(diǎn)P為P1,P2,P3三點(diǎn)中的一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)P4處有硬幣S枚,則

6、點(diǎn)P4處的硬幣盡可能移到點(diǎn)P3處后,點(diǎn)P1,P2與P3處共有:8S+ QUOTE 4左半環(huán)內(nèi)有7枚硬幣.a.若這7枚硬幣全在點(diǎn)P7處,則看右半環(huán)內(nèi)的4枚硬幣,若點(diǎn)P1處有2枚,則將其移動(dòng)到點(diǎn)P7處后,點(diǎn)P7處就有8枚硬幣,就能保證通過(guò)左半環(huán)的通路移動(dòng)硬幣,最終讓點(diǎn)P處有硬幣;若點(diǎn)P1處僅有1枚或沒(méi)有硬幣,則可將點(diǎn)P7處的硬幣移動(dòng)3枚到點(diǎn)P1處,再將點(diǎn)P1處的硬幣移動(dòng)到點(diǎn)P2處后,點(diǎn)P2與點(diǎn)P3處的硬幣就不少于4枚.這樣,通過(guò)右半環(huán)的通路,最終可將至少1枚硬幣移動(dòng)到點(diǎn)P4處.b.若這7枚硬幣不全在點(diǎn)P7處,則將點(diǎn)P7處的硬幣移到點(diǎn)P6處后,在點(diǎn)P5與點(diǎn)P6兩處的硬幣就不少于4枚.于是通過(guò)左半環(huán)的

7、通路,最終也可保證有硬幣移動(dòng)到點(diǎn)P4處.左半環(huán)有6枚硬幣,則右半環(huán)就有5枚硬幣.a.左半環(huán)內(nèi)的6枚硬幣全在點(diǎn)P7處,將它們移動(dòng)到點(diǎn)P1處后,右半環(huán)內(nèi)就有了8枚硬幣,則通過(guò)右半環(huán)的通路,可最終保證至少移動(dòng)1枚硬幣到點(diǎn)P4處.b.左半環(huán)內(nèi)的6枚硬幣,點(diǎn)P7處有5枚,則再看點(diǎn)P1處,若點(diǎn)P1處的硬幣數(shù)不足2枚,則在點(diǎn)P2與點(diǎn)P3處就有4枚硬幣,則從右半環(huán)的通路,就能移動(dòng)硬幣到點(diǎn)P4;若點(diǎn)P1處的硬幣數(shù)有2枚或2枚以上,則至少可從點(diǎn)P1處移動(dòng)1枚硬幣到點(diǎn)P7處.這樣,點(diǎn)P7處就有6枚硬幣,于是可移3枚到點(diǎn)P6處.這樣點(diǎn)P5與點(diǎn)P6處就有4枚硬幣,通過(guò)左半環(huán)可移動(dòng)硬幣到點(diǎn)P4處.c.左半環(huán)內(nèi)的6枚硬幣,

8、點(diǎn)P7處有4枚或不足4枚,則在點(diǎn)P6與點(diǎn)P5處就有2枚或2枚以上,則將點(diǎn)P7處的硬幣移動(dòng)到點(diǎn)P6處以后,在點(diǎn)P6與點(diǎn)P5處的硬幣數(shù)就不少于4枚,于是通過(guò)左半環(huán)可移動(dòng)硬幣到點(diǎn)P4處.若左半環(huán)內(nèi)的硬幣數(shù)不足6枚,則右半環(huán)內(nèi)的硬幣就在6枚或6枚以上,則對(duì)右半環(huán)內(nèi)硬幣的分布情況進(jìn)行相同的討論,亦可發(fā)現(xiàn)必可將硬幣移動(dòng)到點(diǎn)P4處.各自的前4名,共8匹馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽.這8匹馬中的前4名,就是A組與B組32匹馬中的前4名;接下來(lái),又在A組與B組中分別扣除32匹馬中的前4名后,再分別按照A組與B組中的排名,再各取4匹馬,這8匹馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽,它們中的前4名,就是A組與B組32匹馬中的第5名到第8名;重復(fù)上述過(guò)程

9、,又可分別確定第9名到第12名;最后留下的8匹馬,只需進(jìn)行一場(chǎng)比賽,就能確定第25名到第32名的排名.這樣進(jìn)行了7場(chǎng)比賽,就將A組與B組中的32匹馬進(jìn)行了排名.同理進(jìn)行7場(chǎng)比賽,又可將C組與D組中的32匹馬進(jìn)行排名.這樣第三步共進(jìn)行14場(chǎng)比賽.第四步:要來(lái)完成AB組的32匹馬與CD組的32匹馬(它們各自內(nèi)部的排名已經(jīng)完成)共計(jì)64匹馬的排名.采用第三步中的方法,每次分別選擇AB組與CD組中留下的前4名進(jìn)行一場(chǎng)比賽,都能確定其中4匹馬在總體中的排名,這樣14場(chǎng)比賽后,就確定了前56匹馬的排名,最后留下的8匹馬,只需進(jìn)行一場(chǎng)比賽,就確定了第57名到第64名的排名.因此,只需15場(chǎng)比賽就能完成這兩大

10、組64匹馬的排名.綜觀以上四個(gè)步驟,一共進(jìn)行:8+12+14+15=49(場(chǎng)).所以,可以在50場(chǎng)比賽內(nèi)完成排名.【解析】無(wú)7.由題意知共有200件貨物.設(shè)a1a2a99a100,b1b2b99b100,令ai+bi=1,aibi,則將它們按如下順序排列:a1,a2,b1,a3,b2,a4,b3,a99,b98,a100,b99,b100,則a1+a21,a2+b11,b1+a31,a100+b991, QUOTE + QUOTE 1,a1到a100,b1到b98各在一個(gè)箱中,b99,b100在一個(gè)箱子中,則在最壞情況下需要199個(gè)箱子.換個(gè)角度考慮,無(wú)論200件貨物如何排列,體積最小的貨物總能與它前面的或后面的貨物合裝進(jìn)一個(gè)集裝箱的,故有199個(gè)集裝箱就一定能將200件貨物全部裝下.【解析】無(wú)8.設(shè)x= QUOTE + QUOTE ,則(x QUOTE )3=3,即x33x2 QUOTE +3x22 QUOTE =3,x3+6x3=(3x2+2) QUOTE ,(x3+6x3)2=2(3x2+2)2,整理得:x66x46x3+12x236x+1=0,則f(x)=x66x46x3+12x236x+1即為所求的一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式.【解析】無(wú)9.首先,由題意可知:當(dāng)我們鋸了若干次之后,產(chǎn)生若干根