1、實(shí)驗(yàn)十二 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)會(huì)MATLAB軟件中利用給定數(shù)據(jù)進(jìn)行插值運(yùn)算的方法。二、相關(guān)知識(shí)在生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，自變量 與因變量 間的函數(shù)關(guān)系 有時(shí)不能寫(xiě)出解析表達(dá)式，而只能得到函數(shù)在若干點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值，或者表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜需要較大的計(jì)算量而只能計(jì)算函數(shù)在若干點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值，當(dāng)要求知道其它點(diǎn)的函數(shù)值時(shí)，需要估計(jì)函數(shù)值在該點(diǎn)的值。為了完成這樣的任務(wù)，需要構(gòu)造一個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù) ，使函數(shù)在觀測(cè)點(diǎn)的值等于已知的值，或使函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于或者接近已知的值，尋找這樣的函數(shù) 有很多方法。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的類(lèi)型有以下兩類(lèi)處理觀測(cè)數(shù)據(jù)的方法。 二、相關(guān)知識(shí)（1）測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較小并且數(shù)據(jù)值

2、是準(zhǔn)確的，或者基本沒(méi)有誤差，這時(shí)我們一般用插值的方法來(lái)解決問(wèn)題。（2）測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較大或者測(cè)量值與真實(shí)值有誤差，這時(shí)一般用曲線擬合的方法來(lái)解決問(wèn)題。為了完成這樣的任務(wù)，需要構(gòu)造一個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù) ，使函數(shù)在觀測(cè)點(diǎn)的值等于已知的值，或使函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于或者接近已知的值，尋找這樣的函數(shù) 有很多方法。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的類(lèi)型有以下兩類(lèi)處理觀測(cè)數(shù)據(jù)的方法。 （1）測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較小并且數(shù)據(jù)值是準(zhǔn)確的，或者基本沒(méi)有誤差，這時(shí)我們一般用插值的方法來(lái)解決問(wèn)題。（2）測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較大或者測(cè)量值與真實(shí)值有誤差，這時(shí)一般用曲線擬合的方法來(lái)解決問(wèn)題。在MATLAB中，無(wú)論是插值還是擬合，都有相應(yīng)的命令來(lái)處

3、理。本實(shí)驗(yàn)討論插值。 一維插值已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集 ，即已知在點(diǎn)集 上的函數(shù)值 ，構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)（其圖形為一曲線）通過(guò)這些點(diǎn)，并能夠求出這些點(diǎn)之間的值，這一過(guò)程稱(chēng)為一維插值。完成這一過(guò)程可以有多種方法，我們現(xiàn)在在MATLAB中，無(wú)論是插值還是擬合，都有相應(yīng)的命令來(lái)處理。本實(shí)驗(yàn)討論插值。 一維插值已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集 ，即已知在點(diǎn)集 上的函數(shù)值 ，構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)（其圖形為一曲線）通過(guò)這些點(diǎn)，并能夠求出這些點(diǎn)之間的值，這一過(guò)程稱(chēng)為一維插值。完成這一過(guò)程可以有多種方法，我們現(xiàn)在利用MATLAB提供的函數(shù)interp1，這個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式為：yi=interp1(X,Y,xi,method) 該命

4、令用指定的算法找出一個(gè)一元函數(shù) ，然后以 給出 處的值。 xi 可以是一個(gè)標(biāo)量，也可以是一個(gè)向量，是向量時(shí)，必須單調(diào)，method可以下列方法之一： nearest：最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算； spline：三次樣條函數(shù)插值；linear：線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算利用MATLAB提供的函數(shù)interp1，這個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式為：yi=interp1(X,Y,xi,method) 該命令用指定的算法找出一個(gè)一元函數(shù) ，然后以 給出 處的值。 xi 可以是一個(gè)標(biāo)量，也可以是一個(gè)向量，是向量時(shí)，必須單調(diào)，method可以下列方法之一： nearest：最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算； spli

5、ne：三次樣條函數(shù)插值；linear：線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算 cubic：三次函數(shù)插值；對(duì)于minxi,maxxi外的值，MATLAB使用外推的方法計(jì)算數(shù)值。例1：已知某產(chǎn)品從1900年到2010年每隔10年的產(chǎn)量為：75.995, 91.972, 105.711,123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893，計(jì)算出1995年的產(chǎn)量，用三次樣條插值的方法，畫(huà)出每隔一年的插值曲線圖形，同時(shí)將原始的數(shù)據(jù)畫(huà)在同一圖上。 cubic：三次函數(shù)插值；對(duì)于minxi,maxxi外的

6、值，MATLAB使用外推的方法計(jì)算數(shù)值。例1：已知某產(chǎn)品從1900年到2010年每隔10年的產(chǎn)量為：75.995, 91.972, 105.711,123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893，計(jì)算出1995年的產(chǎn)量，用三次樣條插值的方法，畫(huà)出每隔一年的插值曲線圖形，同時(shí)將原始的數(shù)據(jù)畫(huà)在同一圖上。解：程序如下year=1900:10:2010;product=75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,

7、226.505,249.633,256.344,267.893p1995=interp1(year,product,1995,spline)x=1900:2010;y=interp1(year,product,x,spline);plot(year,product,o,x,y);計(jì)算結(jié)果為：p1995=253.2278 如果用線性插值，則程序的后四行改為：解：程序如下year=1900:10:2010;product=75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267

8、.893p1995=interp1(year,product,1995,spline)x=1900:2010;y=interp1(year,product,x,spline);plot(year,product,o,x,y);計(jì)算結(jié)果為：p1995=253.2278 如果用線性插值，則程序的后四行改為：p1995=interp1(year,product,1995,linear) x=1900:2010;y=interp1(year,product,x,linear);plot(year,product,o,x,y);計(jì)算結(jié)果為：p1995=252.9885 這兩種計(jì)算方法得到的數(shù)據(jù)有微小的差

9、異，這種差異我們從兩個(gè)圖形上也能夠看到，主要表現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)（那些繪制成圓點(diǎn)的點(diǎn)）的附近。前者是光滑的，后者有角點(diǎn)出現(xiàn)。p1995=interp1(year,product,1995,linear) x=1900:2010;y=interp1(year,product,x,linear);plot(year,product,o,x,y);計(jì)算結(jié)果為：p1995=252.9885 這兩種計(jì)算方法得到的數(shù)據(jù)有微小的差異，這種差異我們從兩個(gè)圖形上也能夠看到，主要表現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)（那些繪制成圓點(diǎn)的點(diǎn)）的附近。前者是光滑的，后者有角點(diǎn)出現(xiàn)。二維插值已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集 即已知在點(diǎn)集 上的函數(shù)值 ，構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)

10、（其圖形為一曲面）通過(guò)這些點(diǎn)，并能夠求出這些已知點(diǎn)以外的點(diǎn)的函數(shù)值，這一過(guò)程稱(chēng)為二維插值。MATLAB命令：Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method)該命令用指定的算法找出一個(gè)二元函數(shù) ，然后以 給出 處的值。返回?cái)?shù)據(jù)矩陣Zi，Xi，Yi是向量，且必須單調(diào)，Zi和meshgrid(Xi,Yi)是同類(lèi)型的。 method可以下列方法之一：nearest：最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算； spline：三次樣條函數(shù)插值；linear：線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算 cubic：三次函數(shù)插值； MATLAB命令：Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method)該命令用指

11、定的算法找出一個(gè)二元函數(shù) ，然后以 給出 處的值。返回?cái)?shù)據(jù)矩陣Zi，Xi，Yi是向量，且必須單調(diào)，Zi和meshgrid(Xi,Yi)是同類(lèi)型的。 method可以下列方法之一：nearest：最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算； spline：三次樣條函數(shù)插值；linear：線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算 cubic：三次函數(shù)插值； 例2：已知1950年到1990年間每隔10年，服務(wù)年限從10年到30年每隔10年的勞動(dòng)報(bào)酬表如下：某企業(yè)工作人員的月平均工資（元）試計(jì)算1975年時(shí)，15年工齡的工作人員平均工資。服務(wù)年限年份1020301950150.697169.592187.652196017

12、9.323195.072250.2871970203.212239.092322.7671980226.505273.706426.7301990249.633370.281598.243解：程序如下：years=1950:10:1990;service=10:10:30;wage=150.697 169.592 187.652 179.323 195.072 250.287試計(jì)算1975年時(shí)，15年工齡的工作人員平均工資。1960179.323195.072250.2871970203.212239.092322.7671980226.505273.706426.7301990249.633

13、370.281598.243解：程序如下：years=1950:10:1990;service=10:10:30;wage=150.697 169.592 187.652 179.323 195.072 250.287 203.212 239.092 322.767 226.505 273.706 426.730 249.633 370.281 598.243w=interp2(service,years,wage,15,1975)計(jì)算結(jié)果為：235.6288例3：設(shè)有數(shù)據(jù)x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由x，y構(gòu)成的網(wǎng)格上，數(shù)據(jù)為：12,10,11,11,13,1516,2

14、2,28,35,27,2018,21,26,32,28,25 203.212 239.092 322.767 226.505 273.706 426.730 249.633 370.281 598.243w=interp2(service,years,wage,15,1975)計(jì)算結(jié)果為：235.6288例3：設(shè)有數(shù)據(jù)x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由x，y構(gòu)成的網(wǎng)格上，數(shù)據(jù)為：12,10,11,11,13,1516,22,28,35,27,2018,21,26,32,28,2520,25,30,33,32,20畫(huà)出原始網(wǎng)格圖和將網(wǎng)格細(xì)化為間隔為0.1后的插值網(wǎng)格圖。解：程序

15、為：x=1:6;y=1:4;t=12,10,11,11,13,1516,22,28,35,27,20 18,21,26,32,28,25; 20,25,30,33,32,20subplot(1,2,1)mesh(x,y,t)20,25,30,33,32,20畫(huà)出原始網(wǎng)格圖和將網(wǎng)格細(xì)化為間隔為0.1后的插值網(wǎng)格圖。解：程序?yàn)椋簒=1:6;y=1:4;t=12,10,11,11,13,1516,22,28,35,27,20 18,21,26,32,28,25; 20,25,30,33,32,20subplot(1,2,1)mesh(x,y,t)x1=1:0.1:6;y1=1:0.1:4;x2,y2=meshgrid(x1,y1);t1=interp2(x,y,t,x2,y2,cubic);subplot(1,2,2)mesh(x1,y1,t1);結(jié)果如圖。左圖是給定的網(wǎng)格處的數(shù)據(jù)，右圖