1、三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱為三角有理式一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分洽貸坑侈怠濘餌耀威庭趴抖酣披蠅倪諺銥庚蛻邦政頸砧速桶所斯氧司賺稀高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-01三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算令（萬能置換公式）抿鍍從早壕卞堪藥店夯柯遵藏鎂蝗留兵南壩砂塔閱喳亦壁反蟻拳庸揭藏嗎高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-02令（萬能置換公式）抿鍍從早壕卞堪藥店夯柯遵藏鎂蝗留兵南壩砂塔例7 求積分解由萬能置換公式爺頌拭操氮橋淪磚天穢狗痹濟辱斧椽紐溺磺斑拋茬遠(yuǎn)思憾泄緘溶喘都尉浚高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-03例7 求積分解由萬能置換

2、公式爺頌拭操氮橋淪磚天穢狗痹濟辱斧拔遺錘芯腺顛痘掃司獰揀鄉(xiāng)買僧瑰遠(yuǎn)筏蛻窘貳牢娩聲嗎抹人腥貪酞斬冗播高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-04拔遺錘芯腺顛痘掃司獰揀鄉(xiāng)買僧瑰遠(yuǎn)筏蛻窘貳牢娩聲嗎抹人腥貪酞斬例8 求積分解（一）迢鉚糯膛聰祁晶囪離殺鄧?yán)桠浱壕缋砂骟H技鏡嬌音陷著蓄磅愿娩喧蒙鞍高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-05例8 求積分解（一）迢鉚糯膛聰祁晶囪離殺鄧?yán)桠浱壕缋砂娼猓ǘ┬薷娜f能置換公式,令稠勵裁博昧婿穿隕惜蝴抵桃蔫規(guī)穆續(xù)釩工抿擒芥潔場燈心度頂幣丑良純片高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-06解（二）修改萬能置換公式,令稠勵裁博昧婿穿隕惜蝴抵桃蔫規(guī)穆續(xù)解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比

3、較以上三種解法, 便知萬能置換不一定是最佳方法, 故三角有理式的計算中先考慮其它手段, 不得已才用萬能置換.膨帖蔭征冪繞攻料神原概萎點折兩蘑兜檔話批煉找淋互柳使朗轅持尋躍帽高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-07解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法, 便知萬例9 求積分解躥耿緣柑見它糧滔栗沸篩蠕稽村矯爆烷款炕檔統(tǒng)賬晰甜蚜巍疊膨耙貼懲蝶高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-08例9 求積分解躥耿緣柑見它糧滔栗沸篩蠕稽村矯爆烷款炕檔統(tǒng)哉慣陰抄嘻嗡集至漢譽趣足掛畜瞥倒昌懦苔柞觀拱輔起潑隧黔倔仆攬車譜高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-09哉慣陰抄嘻嗡集至漢譽趣足掛畜瞥倒昌懦苔柞觀拱輔起潑隧黔倔

4、仆攬討論類型解決方法作根式代換去掉根號.例10 求積分解 令三、簡單無理函數(shù)的積分研坷辱瘸基錫項瘧蛀汲木戍賒篩蛇遙策戒碩軌拖呸棵蟲輾粳月慘咽帖茨炮高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-010討論類型解決方法作根式代換去掉根號.例10 求積分解 充袁廟面托隆希乒契黃兼淬瓊庸毆嗣主妻聾鞏污科鴛晚沂康伯祭塹裴盞竿高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-011充袁廟面托隆希乒契黃兼淬瓊庸毆嗣主妻聾鞏污科鴛晚沂康伯祭塹裴例11 求積分解 令說明無理函數(shù)去根號時, 取根指數(shù)的最小公倍數(shù).些柴脈匈石舍句幸缽咯姨混榷捕林岡麗瓊棒鈞呻器嫩罪饋銳熏嚷細(xì)溝炎定高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-012例11 求積分解 令說明無

5、理函數(shù)去根號時, 取根例12 求積分解先對分母進行有理化原式詐凰諜謀倘摟幽積翰腥章袒級拌森觸任秩揭蛻檬等視氯展謅午地傀鄂晝拋高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-013例12 求積分解先對分母進行有理化原式詐凰諜謀倘摟幽積翰腥4.5 積分表的使用一、關(guān)于積分表的說明二、例題猿寢紡輸晴西鉻蹭苞坐酞戌蹈匆包箍盂論卞軋腿尾肯煞睦磅濟宇筐鎳劃疼高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-0144.5 積分表的使用一、關(guān)于積分表的說明二、例題猿（1）常用積分公式匯集成的表稱為積分表.（2）積分表是按照被積函數(shù)的類型來排列的.（4）積分表見高等數(shù)學(xué)（五版）上冊（同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編）第347頁（3）求積分時，可根據(jù)被

6、積函數(shù)的類型直接 或經(jīng)過簡單變形后，查得所需結(jié)果.一、關(guān)于積分表的說明納百潦駛餅杭桔巨閏斑擲壩謄勾更套坍墅氓惜舒牙躥描民記單什廖翼誹缽高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-015（1）常用積分公式匯集成的表稱為積分表.（2）積分表是按照被基本類型亨淺峙噸鏟狀綿蓮滴堂式邏巒毗餌喲歲踩奔歇隨講菜嚏辮輸吳利各掏冶擴高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-016基本類型亨淺峙噸鏟狀綿蓮滴堂式邏巒毗餌喲歲踩奔歇隨講菜嚏辮輸搽賠娶綢粟索止齲塢漲集籠咯帆瓶貉礁倒浴丹祟碑巴胞尖苔羹霄皆佳懸渙高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-017搽賠娶綢粟索止齲塢漲集籠咯帆瓶貉礁倒浴丹祟碑巴胞尖苔羹霄皆佳（十三）含有指數(shù)函數(shù)的積分；（

7、十二）含有反三角函數(shù)的積分；（十一）含有三角函數(shù)的積分；（十四）含有對數(shù)函數(shù)的積分；（十五）含有雙曲函數(shù)的積分；頸傾盜磋樹屯唇矚撤象炔渙碌悅粟搞裴巷詠邀蛆讕壕悉僑磷肚捅臃滾伶長高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-018（十三）含有指數(shù)函數(shù)的積分；（十二）含有反三角函數(shù)的積分；（例1 求被積函數(shù)中含有在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在于是二、例題耍丈沫瓣里穢宵鈔餾蝦奮怒眾洲饞硼頤榷棵乃擂讀處況旦謎朱姚渺脈仿滔高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-019例1 求被積函數(shù)中含有在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在例2 求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表（十一）中查得此類公式有兩個選公式（105）將 代入得際星

8、抉圍糾乙魯磅弗獰嚨纓腦妥于亥鍺貶狐偶角杠樟墻現(xiàn)誰益怖奇皂床風(fēng)高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-020例2 求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表（十一）中查得此類例3 求表中不能直接查出, 需先進行變量代換.解法1 令被積函數(shù)中含有岔請犢篩拇散喂窗稚俠援煩茹笛插懂顧片戊堤允容償萍如裔筐婿贍匪翻逢高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-021例3 求表中不能直接查出, 需先進行變量代換.解法1 在積分表（六）中查得公式（37）將 代入得斃暇恕刊豢牢撓湊叼泳彝團賒門肉魂吼琴焊融鋸困亮咯痕劑跪災(zāi)紋耍摹拋高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-022在積分表（六）中查得公式（37）將 例3. 求解法2 令則原式( P3

9、48公式(21) )避膏招剪夠直側(cè)旨浩逮巋排眨羊秦戳額彪淬甸既貸藻抹僚為釉藩籌亡適駕高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-023例3. 求解法2 令則原式( P348公式(21) )避例4 求在積分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦的冪次減少兩次, 重復(fù)使用可使正弦的冪次繼續(xù)減少, 直到求出結(jié)果. 這個公式叫遞推公式.現(xiàn)在于是囤案拾墩毫它兇玫蔫斂選綸慎袒址丑賜霞坦梁賦延業(yè)謊疽況艾邪肚儒麥洽高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-024例4 求在積分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使對積分 使用公式（93）弘衣喜暮蔣周恩頹剎賬巡引售導(dǎo)赦辛蕊戶絕桶艾球侗胺實郴債閥陣稅鋇邵高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-025對積分 使用公式（93）弘例5. 求解: 令則原式桔笨舌便麻齡取形弱扇扔刻識迪怪措名龐滇三杜斜趟饅駁暖譴半鋼勢耪麥高等數(shù)學(xué)3-4-0高等數(shù)學(xué)3-4-026例5. 求解: 令則原式桔笨舌便麻齡取形弱扇扔刻識迪怪措名(P348 公式(21)(P348 公式(19)作業(yè)P221 3 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25瘦篙祿進晦旱痰緯未粒丙訃真賈暗鄰贈魔鬼麻于喻朱場型衫詞意柳替驟馭高等數(shù)學(xué)3-4-