1、第5講橢圓最新考綱考向預(yù)測1.了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).命題趨勢橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)通常以小題形式考查，直線與橢圓的位置關(guān)系主要出現(xiàn)在解答題中題型主要以選擇題、填空題為主，一般為中檔題，橢圓方程的求解經(jīng)常出現(xiàn)在解答題的第一問.核心素養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算1橢圓的定義條件結(jié)論1結(jié)論2平面內(nèi)的動點M與平面內(nèi)的兩個定點F1，F(xiàn)2M點的軌跡為橢圓F1，F(xiàn)2為橢圓的焦點|F1F2|為橢圓的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)

2、方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axa，bybbxb，aya對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：(0，0)頂點A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率eeq f(c,a)，e(0，1)a，b，c的關(guān)系c2a2b23.點與橢圓的位置關(guān)系已知點P(x0，y0)，橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，則(1)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)

3、eq f(xeq oal(2,0),a2)eq f(yeq oal(2,0),b2)1.常用結(jié)論橢圓的常用性質(zhì)(1)若點P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，則b|OP|a；ac|PF|ac.(2)焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmineq f(2b2,a).(3)與橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)有共焦點的橢圓方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(b2)(4)焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成的PF1F2叫做焦點三角形若r1|PF1|，r2|PF2|，F(xiàn)1PF2，PF1F2的面積為S，則在橢

4、圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)中：當(dāng)r1r2，即點P為短軸端點時，最大；Seq f(1,2)|PF1|PF2|sin c|y0|，當(dāng)|y0|b，即點P為短軸端點時，S取得最大值，最大值為bc；PF1F2的周長為2(ac)(5)若M(x0，y0)是橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的弦AB(AB不平行y軸)的中點，則有kABkOMeq f(b2,a2).常見誤區(qū)1若2a|F1F2|，則動點的軌跡是線段F1F2；若2ab0)與eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)的焦距相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知中心在原

5、點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率為eq f(1,2)，則C的方程是()A.eq f(x2,3)eq f(y2,4)1 B.eq f(x2,2)eq f(y4,4)1C.eq f(x2,4)eq f(y2,2)1 D.eq f(x2,4)eq f(y2,3)1解析：選D.右焦點為F(1，0)說明兩層含義：橢圓的焦點在x軸上；c1.又離心率為eq f(c,a)eq f(1,2)，故a2，b2a2c2413，故橢圓的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.3(多選)已知橢圓mx24y21的離心率為eq f(r(2),2)，則實數(shù)m的值可能為()A2 B.eq f(8,3) C6 D

6、8解析：選AD.若焦點在x軸上，則a2eq f(1,m)，b2eq f(1,4)，由eeq f(c,a)eq f(r(2),2)，得eq f(c2,a2)eq f(1,2)，即eq f(a2b2,a2)eq f(1,2)，所以eq f(b2,a2)eq f(1,2)，即eq f(m,4)eq f(1,2)，解得m2；若焦點在y軸上，則a2eq f(1,4)，b2eq f(1,m)，則eq f(4,m)eq f(1,2)，解得m8，所以m2或m8.故選AD.4(易錯題)平面內(nèi)一點M到兩定點F1(0，9)，F(xiàn)2(0，9)的距離之和等于18，則點M的軌跡是_解析：由題意知|MF1|MF2|18，但|

7、F1F2|18，即|MF1|MF2|F1F2|，所以點M的軌跡是一條線段答案：線段F1F25(易錯題)若方程eq f(x2,5k)eq f(y2,k3)1表示橢圓，則k的取值范圍是_解析：由已知得eq blc(avs4alco1(5k0，,k30，,5kk3.)解得3k0)的焦點為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，若F1AF2eq f(,3)，則m()A1 B.eq r(2) C.eq r(3) D2【解析】(1)記橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，則有|PF1|PF2|2a10，所以m|PF1|PF2|eq blc(rc)(avs4alco1(f(|PF1|PF2|,2)eq sup12(2)25，當(dāng)且

8、僅當(dāng)|PF1|PF2|5，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，等號成立所以點P的坐標(biāo)為(4，0)或(4，0)，故選BD.(2)由題可知，a2m21，b2m2.因為F1AF2eq f(,3)，所以F2AO30，所以cosF2AOeq f(b,a)，即cos 30eq r(f(m2,m21)，解得meq r(3)或meq r(3)(舍去)故選C.【答案】(1)BD(2)Ceq avs4al()橢圓定義的應(yīng)用技巧橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是明確平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可

9、求|PF1|PF2|，通過整體代入可求其面積等 1設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,5)1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則eq f(|PF2|,|PF1|)的值為()A.eq f(5,14) B.eq f(5,9)C.eq f(4,9) D.eq f(5,13)解析：選D.如圖，設(shè)線段PF1的中點為M，因為O是F1F2的中點，所以O(shè)MPF2，可得PF2x軸，可求得|PF2|eq f(5,3)，|PF1|2a|PF2|eq f(13,3)，eq f(|PF2|,|PF1|)eq f(5,13).故選D.2已知點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq f(x2,4

10、)eq f(y2,3)1的左、右焦點，若點P在橢圓C上，且F1PF260，則SF1PF2_解析：由|PF1|PF2|4，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，得3|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|4，則SF1PF2eq f(1,2)|PF1|PF2|sinF1PF2eq f(1,2)4sin 60eq r(3).答案：eq r(3)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)(多選)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，焦點F1，F(xiàn)2在y軸上，短軸長等于2，離心率為eq f(r(6),3)，過焦點F1作y軸的垂線交橢圓C于P，Q兩點，則下列說法正確的是()A橢圓C的方程為eq f

11、(y2,3)x21B橢圓C的方程為eq f(x2,3)y21C|PQ|eq f(2r(3),3)DPF2Q的周長為4eq r(3)(2)(一題多解)過點(eq r(3)，eq r(5)，且與橢圓eq f(y2,25)eq f(x2,9)1有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq f(x2,20)eq f(y2,4)1 B.eq f(x2,2r(5)eq f(y2,4)1C.eq f(y2,20)eq f(x2,4)1 D.eq f(x2,4)eq f(y2,2r(5)1【解析】(1)由已知得，2b2，b1，eq f(c,a)eq f(r(6),3)，又a2b2c2，解得a23.所以橢圓方程為x

12、2eq f(y2,3)1.如圖所以|PQ|eq f(2b2,a)eq f(2,r(3)eq f(2r(3),3)，PF2Q的周長為4a4eq r(3).故選ACD.(2)方法一(定義法)：橢圓eq f(y2,25)eq f(x2,9)1的焦點為(0，4)，(0，4)，即c4.由橢圓的定義知，2aeq r(（r(3)0）2（r(5)4）2)eq r(（r(3)0）2（r(5)4）2)，解得a2eq r(5).由c2a2b2，可得b24.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(y2,20)eq f(x2,4)1.方法二(待定系數(shù)法)：設(shè)所求橢圓方程為eq f(y2,25k)eq f(x2,9k)1(kb

13、0)由題意得eq blc(avs4alco1(f(5,a2)f(3,b2)1，,a2b216，)解得eq blc(avs4alco1(a220，,b24.)所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(y2,20)eq f(x2,4)1.【答案】(1)ACD(2)C eq avs4al()(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程先根據(jù)橢圓的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置求出橢圓的方程其中常用的關(guān)系有：b2a2c2；橢圓上任意一點到橢圓兩焦點的距離之和等于2a；橢圓上一短軸頂點到一焦點的距離等于長半軸長a.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟提醒當(dāng)橢圓焦點位置不明確時，可設(shè)為eq f(x2,m)eq f(

14、y2,n)1(m0，n0，mn)，也可設(shè)為Ax2By21(A0，B0，且AB) 1已知動點M到兩個定點A(2，0)，B(2，0)的距離之和為6，則動點M的軌跡方程為()A.eq f(x2,9)y21 B.eq f(y2,9)eq f(x2,5)1C.eq f(y2,9)x21 D.eq f(x2,9)eq f(y2,5)1解析：選D.由題意有6224，故點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，則2a6，c2，故a29，所以b2a2c25，故橢圓的方程為eq f(x2,9)eq f(y2,5)1.故選D.2設(shè)橢圓eq f(x2,m2)eq f(y2,n2)1(m0，n0)的右焦點為(2，0)，離心率為e

15、q f(r(2),2)，則此橢圓的方程為_解析：橢圓的右焦點為(2，0)，所以m2n24，eeq f(r(2),2)eq f(2,m)，所以m2eq r(2)，代入m2n24，得n24，所以橢圓方程為eq f(x2,8)eq f(y2,4)1.答案：eq f(x2,8)eq f(y2,4)13已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(5,2)，(eq r(3)，eq r(5)，則橢圓方程為_解析：設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m，n0，mn)由eq blc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)su

16、p12(2)mblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)sup12(2)n1，,3m5n1，)解得meq f(1,6)，neq f(1,10).所以橢圓方程為eq f(y2,10)eq f(x2,6)1.答案：eq f(y2,10)eq f(x2,6)1橢圓的幾何性質(zhì)角度一求橢圓離心率的值(范圍) (1)(2020四川資陽二診)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左頂點為A，上頂點為B，且|OA|eq r(3)|OB|(O為坐標(biāo)原點)，則該橢圓的離心率為()A.eq f(2r(3),3) B.eq f(r(6),3) C.eq f(r(2),2) D.eq

17、f(r(3),3)(2)(2020東北三校第一次聯(lián)考)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右焦點為F(c，0)，上頂點為A(0，b)，直線xeq f(a2,c)上存在一點P滿足(eq o(FP,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AP,sup6()0，則橢圓的離心率的取值范圍為()A.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，1) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1)C.eq blcrc)(avs4alco1(f(r(5)1,2)，1) D.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(r(2),2)【解

18、析】(1)依題意可知，aeq r(3)b，即beq f(r(3),3)a.又ceq r(a2b2)eq r(a2blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)a)sup12(2)eq f(r(6),3)a，所以該橢圓的離心率eeq f(c,a)eq f(r(6),3).故選B.(2)取AP的中點Q，則eq o(FQ,sup6()eq f(1,2)(eq o(FP,sup6()eq o(FA,sup6()，所以(eq o(FP,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AP,sup6()2eq o(FQ,sup6()eq o(AP,sup6()0.所以FQAP，所以AFP為等腰三

19、角形，即|FA|FP|，且|FA|eq r(b2c2)a.因為點P在直線xeq f(a2,c)上，所以|FP|eq f(a2,c)c，即aeq f(a2,c)c，所以eq f(a,c)eq f(a2,c2)1，所以e2e10，解得eeq f(r(5)1,2)或eeq f(r(5)1,2).又0e1，故eq f(r(5)1,2)e1)上兩點A，B滿足eq o(AP,sup6()2eq o(PB,sup6()，則當(dāng)m_時，點B橫坐標(biāo)的絕對值最大【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq o(AP,sup6()2eq o(PB,sup6()，得eq blc(avs4alco1(x12x2，

20、,1y12（y21），)即x12x2，y132y2，因為點A，B在橢圓上，所以eq blc(avs4alco1(f(4xeq oal(2,2),4)（32y2）2m，,f(xeq oal(2,2),4)yeq oal(2,2)m，)得y2eq f(1,4)meq f(3,4)，所以xeq oal(2,2)m(32y2)2eq f(1,4)m2eq f(5,2)meq f(9,4)eq f(1,4)(m5)244，所以當(dāng)m5時，點B橫坐標(biāo)的絕對值最大，最大值為2.【答案】5eq avs4al()求解最值、取值范圍問題的技巧(1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也

21、要聯(lián)想到一個圖形(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0eb0)的一個焦點是圓x2y26x80的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為()A(3，0) B(4，0)C(10，0) D(5，0)解析：選D.因為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y21，所以圓心坐標(biāo)為(3，0)，所以c3.又b4，所以aeq r(b2c2)5.因為橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的左頂點為(5，0)2(多選)(2020山東4月全真模擬)已知P是橢圓C：eq f(x2,6)y21上的動點，Q是圓D：(x1)2y2eq f(1,5)上的動點，則()AC的焦距為eq r(5) BC的離心率為eq f(r(30

22、),6)C圓D在C的內(nèi)部 D|PQ|的最小值為eq f(2r(5),5)解析：選BC.依題意可得ceq r(61)eq r(5)，則C的焦距為2eq r(5)，eeq f(r(5),r(6)eq f(r(30),6).設(shè)P(x，y)(eq r(6)xeq r(6)，由題意知D(1，0)，則|PD|2(x1)2y2(x1)21eq f(x2,6)eq f(5,6)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(6,5)eq sup12(2)eq f(4,5)eq f(4,5)eq f(1,5)，所以圓D在C的內(nèi)部，且|PQ|的最小值為eq r(f(4,5)eq r(f(1,5)eq f(r(5)

23、,5).故選BC.3(2020福建龍巖質(zhì)量檢查)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左焦點為F，上頂點為A，右頂點為B，若AFB是直角三角形，則橢圓C的離心率為()A.eq f(r(2),2) B.eq f(r(3),2)C.eq f(r(3)1,2) D.eq f(r(5)1,2)解析：選D.如圖所示，F(xiàn)(c，0)，A(0，b)，B(a，0)因為ABF是直角三角形，所以AFAB，所以eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()0，又因為eq o(AF,sup6()(c，b)，eq o(AB,sup6()(a，b)，所以acb20，又因為b2a2c

24、2，所以a2acc20，又因為eeq f(c,a)，所以e2e10，所以eeq f(1r(5),2)，又因為0e1，所以eeq f(1r(5),2)，故選D.A級基礎(chǔ)練1(2020河北唐山一中月考)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1的一個焦點為點(1，0)，則橢圓C的離心率為()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2)C.eq f(r(2),2) D.eq f(2r(2),3)解析：選B.由橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1的一個焦點的坐標(biāo)為(1，0)，得a231，解得a2(負(fù)值已舍去)所以橢圓C的離心率為eeq f(c,a)eq f(1,2).故

25、選B.2曲線eq f(x2,169)eq f(y2,144)1與曲線eq f(x2,169k)eq f(y2,144k)1(kb0)的左、右焦點，B為C的短軸的一個端點，直線BF1與C的另一個交點為A，若BAF2為等腰三角形，則eq f(|AF1|,|AF2|)()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2)C.eq f(2,3) D3解析：選A.如圖，不妨設(shè)點B在y軸的正半軸上，根據(jù)橢圓的定義，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由題意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|eq f(a,2)，|AF2|eq f(3a,2).所以eq f(|AF1|,|AF2

26、|)eq f(1,3).故選A.5(多選)(2020海南模擬)設(shè)橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,3)1的右焦點為F，直線ym(0mb0)的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為_解析：由題意可得bc，則b2a2c2c2，aeq r(2)c，故橢圓的離心率eeq f(c,a)eq f(r(2),2).答案：eq f(r(2),2)7已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_解析：設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，|C1C2|8，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a

27、16，2c8，故所求的軌跡方程為eq f(x2,64)eq f(y2,48)1.答案：eq f(x2,64)eq f(y2,48)18(2020昆明市三診一模)已知橢圓M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左頂點為A，O為坐標(biāo)原點，B，C兩點在M上，若四邊形OABC為平行四邊形，且OAB45，則橢圓M的離心率為_解析：由題意，知A(a，0)因為四邊形OABC為平行四邊形，所以O(shè)ABC，且|OA|BC|a，又OAB45，所以Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，代入橢圓方程，得eq f(1,4)eq f(a2,4b2)1，所以eq f(b

28、2,a2)eq f(1,3)，所以eeq f(c,a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)sup12(2)eq f(r(6),3).答案：eq f(r(6),3)9已知橢圓的長軸長為10，兩焦點F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(3，0)和(3，0)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為短軸的一個端點，求F1PF2的面積解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，依題意得eq blc(avs4alco1(2a10，,c3，)因此a5，b4，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,25)eq f(y2,16)1.(2)易知|yP|4，又c3，所以S

29、F1PF2eq f(1,2)|yP|2ceq f(1,2)4612.10如圖所示，已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若F1AB90，求橢圓的離心率；(2)若橢圓的焦距為2，且eq o(AF2,sup6()2eq o(F2B,sup6()，求橢圓的方程解：(1)若F1AB90，則AOF2為等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以aeq r(2)c，eeq f(c,a)eq f(r(2),2).(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)B(x，y)，由eq o(AF2,

30、sup6()2eq o(F2B,sup6()，解得xeq f(3,2)，yeq f(b,2).代入eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，得eq f(f(9,4),a2)eq f(f(b2,4),b2)1.即eq f(9,4a2)eq f(1,4)1，解得a23，所以b22，所以橢圓方程為eq f(x2,3)eq f(y2,2)1.B級綜合練11(綜合型)設(shè)橢圓：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右頂點為A，右焦點為F，B為橢圓在第二象限內(nèi)的點，直線BO交橢圓于點C，O為原點，若直線BF平分線段AC，則橢圓的離心率為()A.eq f(1,2) B.eq f(1,

31、3) C.eq f(1,4) D.eq f(1,5)解析：選B.如圖，設(shè)點M為AC的中點，連接OM，則OM為ABC的中位線，于是OFMAFB，且eq f(|OF|,|FA|)eq f(|OM|,|AB|)eq f(1,2)，即eq f(c,ac)eq f(1,2)，解得eeq f(c,a)eq f(1,3).故選B.12(多選)(2020山東濰坊期末)已知P是橢圓E：eq f(x2,8)eq f(y2,4)1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，且F1PF2的面積為3，則下列說法正確的是()AP點的縱坐標(biāo)為3BF1PF2eq f(,2)CF1PF2的周長為4(eq r(2)1)DF1PF2的內(nèi)切圓

32、半徑為eq f(3,2)(eq r(2)1)解析：選CD.由已知條件得a2eq r(2)，b2，c2.不妨設(shè)P(m，n)，m0，n0，則SF1PF2eq f(1,2)2cn3，解得neq f(3,2)，所以A錯誤由neq f(3,2)，得eq f(m2,8)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)sup12(2),4)1，解得meq f(r(14),2)(負(fù)值已舍去)，所以Peq blc(rc)(avs4alco1(f(r(14),2)，f(3,2).所以|PF1|2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(14),2)2)eq sup12(2)eq f(9,4)eq

33、 f(39,4)2eq r(14)，|PF2|2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(14),2)2)eq sup12(2)eq f(9,4)eq f(39,4)2eq r(14)，所以|PF1|2|PF2|2(2c)2eq f(39,4)216eq f(7,2)0，所以cosF1PF2eq f(|PF1|2|PF2|2（2c）2,2|PF1|PF2|)0，所以F1PF2b0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|eq f(4,3)|AB|.(1)求C1的離心率；(2)若C1的四個頂點到C

34、2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)由已知可設(shè)C2的方程為y24cx，其中ceq r(a2b2).不妨設(shè)A，C在第一象限，由題設(shè)得A，B的縱坐標(biāo)分別為eq f(b2,a)，eq f(b2,a)；C，D的縱坐標(biāo)分別為2c，2c，故|AB|eq f(2b2,a)，|CD|4c.由|CD|eq f(4,3)|AB|得4ceq f(8b2,3a)，即3eq f(c,a)22eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a)eq sup12(2).解得eq f(c,a)2(舍去)，eq f(c,a)eq f(1,2).所以C1的離心率為eq f(1,2).(2)由(1)知a2c，beq r(3)c，故C1：eq f(x2,4c2)eq f(y2,3c2)1.所以C1的四個頂點坐標(biāo)分別為(2c，0)，(2c，0)，(0，eq r(3)c)，(0，eq r(3)c)，C2的準(zhǔn)線為xc.由已知得3cccc12，即c2.所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,16)eq f(y2,12)1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x.14已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標(biāo)原點(1)若POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點P，使得PF1PF2，且F1PF2的面