1、基本初等函數(shù)求導公式(1)(C)0(2)(x)x1(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinx(5)(ax)axlna(6)(ex)ex1(lnx)1(7)(logax)(8)x，xlna函數(shù)的和、差、積、商的求導法規(guī)設uu(x)，vv(x)都可導，則（1）(uv)uv（2）（3）(uv)uvuv（4）反函數(shù)求導法規(guī)(Cu)Cu（C是常數(shù)）uvuvv2若函數(shù)x(y)在某區(qū)間Iy內可導、單調且(y)0，則它的反函數(shù)yf(x)在對應區(qū)間Ix內也可導，且dy11dxdxf(x)dy(y)或復合函數(shù)求導法規(guī)設yf(u)，而u(x)且f(u)與(x)都可導，則復合函數(shù)yf(x)的導數(shù)為dydyd

2、udxdudx或1/6常用積分公式表例題和議論kdxkxc(k為常數(shù))xdx(1)11cx131dx2xc特別，11c,xdx2x2c,x2dxx3x1dxln|x|cxaxdxaxc,特別，exdxexclnasinxdxcosxccosxdxsinxc1dxcsc2xdxcotxcsin2x1dxsec2xdxtanxccos2x1x2dxarcsinxc(a0),特別，11dxarcsinxca2ax211x,特別，1a2x2dxaarctanac(a0)x2dxarctanxc111axa2x2dx2alnaxc(a0)或11xax2a2dx2alnxac(a0)2/6tanxdxln

3、cosxccotxdxlnsinxc1lncscxcotxccscxdxxdxlntancsinx21lnsecxtanxcsecxdxxdxccosxlntan421(a0)x2a2a2dxlnxcx2a2x2(a0)a2xxa2x2cdxarcsin22ax22(a0)x22a2lnx22cadx2xa2xaeaxsinbxdxasinbxbcosbxeaxca2b2bsinbxacosbxeaxcosbxdxeaxca2b21dxnx2n3n1c（遞推公式）(a2x2)n2(n1)a2(a2x2)n12(n1)a2跟我做練習(一般狀況下，都是先做恒等變換或用某一個積分法，最后套用某一個積

4、分公式)例24含根式ax2bxc的積分x24x5dx(x2)21d(x2)套用公式x2(x2)211ln(x2)(x2)2122xx24x5dx1(2x4)4x24x5dx21x24x5d(x24x5)2x24x5dx2(請你寫出答案)x215dx11d(x2)ln(x2)(x2)214x(x2)2套用公式3/6x1(2x4)41d(x24x5)21dx2x24x5dxx24x5dxx24x52x24x5(請你寫出答案)54xx2dx32(x2)2d(x32x2x2(x2)22)arcsin32232套用公式x54xx2dx1(42x)454xx2dx2154xx2d(54xx2)254xx2

5、dx2(請你寫出答案)dxd(x2)套用公式arcsinx254xx232(x2)23xdx1(42x)4dx1d(54xx2)dx4xx2254xx22x22554x54xx2(請你寫出答案)例25求原函數(shù)1dx.1x4解因為1x4(12x2x4)2x2(1x2)2(2x)2(12xx2)(12xx2)因此令1AxBCxD(A,B,C,D為待定常數(shù)）1x4x22x1x22x1(AxB)(x22x1)(CxD)(x22x1)x22x1x22x1從恒等式(AxB)(x22x1)(CxD)(x22x1)1(兩端分子相等)，可得方程組BD1(常數(shù)項)A2BC2D0（一次項系數(shù)）2AB2CD0（二次項

6、系數(shù)）AC0（三次項系數(shù)）解這個方程組(在草紙上做)，得A1,B1,C12,D1.因此，2222211x11x1dx222dx222dx1x4x22x1x22x1右端的第一個積分為4/612x11(2x2)21(2x2)dx1122dxdxx242x2dx42x22x14x22x12x12x11d(x22x1)11dx(套用積分公式)24242x2x112x2221ln(x22x1)1arctan(2x1)4222近似地，右端的第二個積分為21x11122dx22x1)2x1)x22x14ln(x2arctan(22因此1dx1lnx22x11arctan(2x1)1arctan(2x1)1x

7、442x22x122221x22x112x42lnx22x122arctan1x2（見下注）注依照tan()tantan,則1tantantanarctan(2x1)arctan(2x1)(2x1)(2x1)22x2x1(2x1)(2x1)2(1x2)1x2因此,arctan(2x1)arctan(2x1)arctan2xx21例26求dx(01).關于dx(01)，見例1711cosxcosx解令ttanx(半角代替)，則21t22xsin2x2cos2x1212cosxcos222xx1t22121sec2tan22dxd(2arctant)1dtt2于是，dx12dt2dt2dt1cos

8、x11t21t2(1)(1)t211t21t212arctan1tc2arctan1tanx22c1111225/6議論求初等函數(shù)的原函數(shù)的方法誠然也有必然的規(guī)律，但不像求它們的微分或導數(shù)那樣規(guī)范化.這是因為從根本上說，函數(shù)yy(x)的導數(shù)或微分能夠用一個“構造性”的公式y(tǒng)(xh)y(x)y(x)dxy(x)lim或dyh0h確定下來，可是在原函數(shù)的定義中并沒有給出求原函數(shù)的方法.積分法作為微分法的逆運算，其運算結果有可能越出被積函數(shù)所屬的函數(shù)類.比方，有理函數(shù)的原函數(shù)可能不再是有理函數(shù)，初等函數(shù)的原函數(shù)可能是非初等函數(shù)(這就像正數(shù)的差有可能是負數(shù)、整數(shù)的商有可能是分數(shù)相同).有的初等函數(shù)盡管很簡單，可是它的原函數(shù)不能夠表示成初等函數(shù)，比方ex21dx,exsinxdx,dx,dx等lnxxx都不能夠表示成初等函數(shù).因此，一般說來求初等函數(shù)