1、PAGE19思維點(diǎn)撥：三角形中的邊角關(guān)系如圖，三角形ABO的邊AO、BO分別是三角形DOC的邊CO、DO的延長線，則AB=CD解：在三角形ABO中，ABAOB=180，在三角形COD中，CDDOC=180，所以ABAOBCDDOC又因?yàn)锳OBDOC，所以AB=CD由此我們得到以下結(jié)論：如果兩個(gè)三角形有一個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)三角形的另外兩個(gè)角的和相等【例1】如圖，已知五角星ABCDE，求ABCDE的度數(shù)和【思考與分析】我們可以連結(jié)DE，在由三角形ACF和三角形DEF構(gòu)成的圖形中，AC=CEDEDA，從而把五角星ABCDE的五個(gè)內(nèi)角放到了三角形BED中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出ABCDE的

2、度數(shù)解：連結(jié)DE，由以上結(jié)論可知：AC=CEDEDA，又因?yàn)樵谌切蜝ED中，BBECBDACEDEDA=180，所以BBECBDAAC=180即ABCDE180【例2】如圖，求12345的度數(shù)和【思考與分析】我們按照例1的思路，連結(jié)CD，則在三角形AEF和三角形DCF所構(gòu)成的圖形中，34EDCDCA，這樣就把1、2、3、4、5同時(shí)放到了三角形BDC中，即可求出12345的度數(shù)和解：連結(jié)CD，則34EDCDCA，又因?yàn)樵谌切蜝DC中，152EDCDCA=180，所以15234=180，即12345=180【小結(jié)】按照這種思路，以上兩題還有多種解法，大家不妨試一試，看能找到多少種解法【例3】如

3、圖，三角形ABC中，AD平分BAC，EGAD，且分別交AB、AD、AC及BC的延長線于點(diǎn)E、H、F、G，下列四個(gè)式子中正確的是（）【思考與解】因?yàn)镋GAD，交點(diǎn)為H，AD平分BAC，所以在直角三角形AHE中，190在三角形ABC中，易知BAC180（23），所以190180（23）=（32）又因?yàn)?是三角形EBG的外角，所以12G所以G12（32）2（32）所以應(yīng)選C【例4】如圖，點(diǎn)D為三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，已知ABD20，ACD25，A35你能求出BDC的度數(shù)嗎？【思考與解】延長BD，與AC交于E點(diǎn)，因?yàn)镈EC是三角形ABE的外角，所以DEC=AABD3520=55又因?yàn)锽DC是三角形CDE

4、的外角，所以BDC=DECACD=5525=80【小結(jié)】記準(zhǔn)一些常用的結(jié)論，有助于我們快速地、正確地解題【例5】如圖，已知B10，C20，BOC110，你能求出A的度數(shù)嗎？【思考與分析】要求A的度數(shù)，我們可以設(shè)法讓，則A、B即為三角形ABD的兩個(gè)內(nèi)角根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，欲求A的度數(shù)，可先求ODC的度數(shù)，由BOC110，C20即可求出ODC的度數(shù)解：延長BO交AC于D因?yàn)锽OC是三角形ODC的外角，所以BOCODCC因?yàn)锽OC=110，C20，所以O(shè)DC1102090因?yàn)镺DC是三角形ABD的外角，所以O(shè)DCAB因?yàn)锽10，所以A901080【例6】如圖，點(diǎn)D是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)BD、C

5、D，試說明BDCBAC【思考與分析】BDC和BAC在兩個(gè)不同的三角形內(nèi)，而且不能直接比較它們的大小，或連結(jié)AD并延長交BC于Q，都可以利用三角形外角的性質(zhì)解題解：延長BD交AC于P，則BDCDPC，DPCBAC，所以BDCBAC【反思】我們還可以連結(jié)AD并延長交BC于Q，如圖，請(qǐng)大家試一試，看能不能得到相同的結(jié)論【例7】已知三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為40，且A=B，你能求出C的外角的度數(shù)嗎？【思考與分析】在三角形ABC中，A=B，因此三角形ABC是一個(gè)等腰三角形，我們必須要討論40的角是三角形ABC的頂角還是底角，應(yīng)分兩種情況解答解：（1）設(shè)40，當(dāng)是等腰三角形的頂角時(shí)，則的外角等于1804

6、0140，而C，所以C的外角的度數(shù)為140（2）設(shè)40，當(dāng)是等腰三角形的底角時(shí)，A=B40，此時(shí)C的外角AB80【例8】已知非直角三角形ABC中，A=45，高BD和CE所在的直線交于H，你能求出BHC的度數(shù)嗎？【思考與分析】三角形的形狀不同，高的交點(diǎn)的位置也就不同高的交點(diǎn)的位置可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，因此我們應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行討論解：當(dāng)三角形ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示因?yàn)锽D、CE是三角形ABC的高，A=45，所以ADB=BEH=90，ABD=904545所以BHC=ABHBEH=4590=135（2）當(dāng)三角形ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示因?yàn)镠是三角形的兩條高所在直

7、線的交點(diǎn)，A=45，所以ABD904545所以在直角三角形EBH中，BHC=90ABD904545由（1）、（2）可知，BHC的度數(shù)為135或45【小結(jié)】我們?cè)诮忸}中，經(jīng)常遇到題目中某些條件交代不清，此時(shí)，我們一定要注意分情況考慮，用分類討論的方法使解完整【例9】如圖，已知三角形ABC中，B=C2A，你能求出A的度數(shù)嗎？【思考與分析】我們由三角形內(nèi)角和可知，ABC=180，又因?yàn)锽=C2A，可得ABC=A2A2A180，即可求出A的度數(shù)我們還可以用方程來解這道題，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與B=C2A這兩個(gè)已知條件求未知量A的度數(shù)用方程解決問題，我們必須在弄清題中已知數(shù)量和未知數(shù)量的關(guān)系的基礎(chǔ)上，要

8、抓住題中的不變量，建立等量關(guān)系題中的不變量是三角形內(nèi)角和等于180，其等量關(guān)系是ABC=180，然后我們用數(shù)學(xué)語言把這個(gè)等量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為方程設(shè)A的度數(shù)為，則可以用2分別表示B、C的度數(shù)，將這個(gè)等式轉(zhuǎn)化為方程22180，即可求出A的度數(shù)解法一：因?yàn)锽=C2A，ABC=180，所以ABC=A2A2A180，即A36解法二：設(shè)A的度數(shù)為，則B、C的度數(shù)都為2，列方程得22180，解得36，即A36【例10】判斷適合下列條件的三角形ABC是銳角三角形、鈍角三角形還是直角三角形（1）A=80，B=25；（2）AB=30，BC=36；【思考與分析】根據(jù)角判斷三角形的形狀，我們只需求出三角形中各角的度數(shù)就可

9、以了，本題判斷三角形是否是銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度數(shù)即可（1）題通過直接計(jì)算就可以求出C的度數(shù)，（2）（3）題不便于直接計(jì)算，可以運(yùn)用方程思想抓住等量關(guān)系，列方程進(jìn)行求解解：（1）因?yàn)锳80，B=25，所以C=180-80-25=75，所以三角形ABC是銳角三角形（2）設(shè)B，則A（30），C（-36），所以（30）（-36）180，解得62，所以最大角A92，所以三角形ABC是鈍角三角形（3）設(shè)A，B2，C6，則26180，解得20，所以C120，所以三角形ABC是鈍角三角形【小結(jié)】利用方程求角度是我們常用的方法之一在三角形中，給出的條件不能直接求出結(jié)果，

10、且各角之間有相互關(guān)系，我們可以設(shè)其中一個(gè)角為未知數(shù)，再把其它角用此未知數(shù)表示，然后列方程即可求解利用高線與邊垂直的性質(zhì)求度數(shù)【例11】已知ABC的高為AD，BAD=70，CAD=20，求BAC的度數(shù)【思考與分析】由于AD為底邊BC上的高，過A做底邊BC的垂線時(shí)，垂足D可能落在底邊BC上，也有可能落在BC的延長上因此，我們需要分情況討論解：（1）當(dāng)垂足D落在BC邊上時(shí)，如圖，因?yàn)锽AD=70，CAD=20，所以BAC=BADCAD=7020=90（2）當(dāng)垂足D落在BC的延長線上時(shí)，如圖，因?yàn)锽AD=70，CAD=20，所以BAC=BAD-CAD=70-20=50所以BAC為90或50【小結(jié)】由于

11、三角形可以分為銳角三角形、直角三角形與鈍角三角形，在題目所給條件中如果沒有確切說明三角形的具體類型時(shí)，我們就要分類討論，以防遺漏2利用三角形面積公式求線段的長度【例12】如圖，ABC中，AD，CE是ABC的兩條高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的長嗎？【思考與分析】由于三角形面積等于底與高乘積的一半因此，三角形的面積就有三種不同的表達(dá)方式我們?nèi)粼O(shè)ABC的三邊長分別為a，b，c，對(duì)應(yīng)邊上的高分別為ha，hb，hc，那么三角形的面積S=aha=bhb=chc本題中已知三角形的兩條高與其中一條高所對(duì)應(yīng)的邊，求另一條邊，利用三角形面積SABC=BCAD=ABCE，解決十分方便解

12、：SABC=BCAD=ABCE53=AB4，解得AB=（cm）【小結(jié)】用同一個(gè)三角形不同的面積表達(dá)式建立等式求線段的長度，是一種很重要的方法，在今后的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)注意這種方法的運(yùn)用【例13】如圖，已知AD、AE分別是三角形ABC的中線、高，且AB5cm，AC3cm，則三角形ABD與三角形ACD的周長之差為，三角形ABD與三角形ACD的面積之間的關(guān)系為【思考與解】（1）三角形ABD與三角形ACD的周長之差（ABBDAD）（ADCDAC）=AB=CD，所以上式AB-AC=5-3=2（cm）（2）因?yàn)镾三角形ABDBDAE，S三角形ACDCDAE，而BD=CD，所以S三角形ABDS三角形ACD【例

13、14】如圖，在三角形ABC中，12，G為AD的中點(diǎn)，延長BG交AC于為AB上的一點(diǎn)，CFAD于H下列判斷正確的有（）（1）AD是三角形ABE的角平分線（2）BE是三角形ABD邊AD上的中線（3）CH為三角形ACD邊AD上的高個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)【思考與解】由12，知AD平分BAE，但AD不是三角形ABE內(nèi)的線段，所以（1）不正確；同理，BE雖然經(jīng)過三角形ABD邊AD的中點(diǎn)G，但BE不是三角形ABD內(nèi)的線段，故（2）不正確；由于CHAD于H，故CH是三角形ACD邊AD上的高，（3）【例15】如圖，在直角三角形ABC中，ACB90，CD是AB邊上的高，AB13cm，BC=12cm，AC=5cm（1）求三角形A

14、BC的面積（2）求CD的長【思考與分析】求直角三角形的面積，有兩種方法：S=ab（a、b為兩條直角邊的長）；S=ch（c為直角三角形斜邊的長，h為斜邊上的高）由此可知abch，在a、b、c、h四個(gè)量中，已知其中三個(gè)量，就可以求出第四個(gè)量解：（1）在直角三角形ABC中，ACB90，BC=12cm，AC=5cm，所以SABCACBC30（cm2）（2）因?yàn)镃D是AB邊上的高，所以SABCABCD，即13CDcm【例16】如圖1所示，你能求出ABCDEF的度數(shù)嗎？【思考與解】我們可以連結(jié)EF，把ABCDEF的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求四邊形BCEF的內(nèi)角和如圖2所示因?yàn)锳DAOD=OFEEOFOEF=180，所以

15、ABCDEFOFEOEFCBEF360【例17】如圖3，凸六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120，邊長AB2cm，BC=8cm，CD11cm，DE6cm，你能求出這個(gè)六邊形的周長嗎？【思考與分析】要求六邊形的周長，的六個(gè)角都是120，可知六邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60，如圖4，如果延長BA，得到的PAF=60，延長EF，得到的PFA=60，兩條直線相交形成三角形APF，在三角形APF中，P的度數(shù)為180606060，因此三角形APF是等邊三角形同樣的道理，我們分別延長AB、DC，交于點(diǎn)G，、CD交于點(diǎn)H，則三角形DHE也是等邊三角形所以P=G=H=60、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP

16、四個(gè)等邊三角形于是就把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為和等邊三角形有關(guān)的問題利用等邊三角形的三邊相等的性質(zhì)，可以輕松的求出AF和EF的長，從而求出六邊形ABCDEF的周長解：如圖4，分別作直線AB、CD、EF的延長線使它們交于點(diǎn)G、H、P因?yàn)榱呅蜛BCDEF的六個(gè)角都是120，所以六邊形ABCDEF的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等邊三角形所以GC=BC=8cm，DH=DE6cm所以GH=811625cm，F(xiàn)A=PA=PG-AB-BG=25-2-815cm，EF=PH-PF-EH=25-15-64cm所以六邊形的周長為2811641546cm【反思】

17、本題解題的關(guān)鍵是利用多邊形和三角形的關(guān)系，通過添加輔助線，利用六邊形構(gòu)造出等邊三角形，從而利用轉(zhuǎn)化的思想，把多邊形問題轉(zhuǎn)化為和三角形有關(guān)的問題，利用三角形的性質(zhì)、定理來解答多邊形的問題方程思想是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一用方程思想求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)從題中的已知量與未知量的關(guān)系入手，找出相等關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，再通過解方程，使問題得到解決方程思想應(yīng)用非常廣泛我們不但能用方程思想解決代數(shù)問題，而且還能夠解決有關(guān)的幾何問題【例18】已知三角形的第一個(gè)內(nèi)角是第二個(gè)內(nèi)角的倍，第三個(gè)內(nèi)角比這兩個(gè)內(nèi)角的和大30，求這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)【思考與分析】題中的已知量是“第一個(gè)內(nèi)角是第二個(gè)內(nèi)

18、角的倍，第三個(gè)內(nèi)角比這兩個(gè)內(nèi)角的和大30”，未知量是這三個(gè)角的度數(shù)題中沒有給出三角形內(nèi)角的度數(shù)但第一個(gè)內(nèi)角和第三個(gè)內(nèi)角與第二個(gè)內(nèi)角的度數(shù)相關(guān)聯(lián)，所以解這道題的關(guān)鍵是求出第二個(gè)內(nèi)角的度數(shù)要想解決這個(gè)問題，不妨設(shè)第二個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，利用方程思想來解根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180，由此我們可以得到這樣的等式關(guān)系：第一個(gè)內(nèi)角第二個(gè)內(nèi)角第三個(gè)內(nèi)角180當(dāng)我們用數(shù)學(xué)語言表示第二個(gè)內(nèi)角為，第一個(gè)內(nèi)角為，第三個(gè)內(nèi)角為30，利用代換法，將上述的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程：（30）180通過解這個(gè)方程就能使問題得到解決解：設(shè)這個(gè)三角形的第二個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，則第一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（30），列方程可得（30）180，解得30所以三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為45，30，105【例19】如圖，已知在三角形ABC中，CABC2A，BD是AC邊上