1、2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家，他在九章算術中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青方，

2、令出入相補，各從其類，因就其余不移動也.合成弦方之冪，開方除之，即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，其中“正方形為朱方，正方形為青方”，則在五邊形內(nèi)隨機取一個點，此點取自朱方的概率為（ ）ABCD2如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（ ）.ABCD3正項等比數(shù)列中，且與的等差中項為4，則的公比是 ( )A1B2CD4已知函數(shù)，若關于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的最大值為（ ）A2B3C5D85已知向量，則向量在向量上的投影是（ ）ABCD6函數(shù)的大致圖象是ABCD7已知雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線與雙曲線有相

3、同的焦點.設為拋物線與雙曲線的一個交點，且，則雙曲線的離心率為（ ）A或B或C或D或8已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）AB64CD329費馬素數(shù)是法國大數(shù)學家費馬命名的,形如的素數(shù)(如：)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()ABCD10已知邊長為4的菱形，為的中點，為平面內(nèi)一點，若，則（ ）A16B14C12D811已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（ ）A-2B-1C1D212 若x,y滿足約束條件的取值范圍是A0,6B0,4C6, D4, 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13某高中

4、共有1800人，其中高一、高二、高三年級的人數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人，那么高二年級被抽取的人數(shù)為_14如圖，在菱形ABCD中，AB=3，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，若線段EF上存在一點M，使得，則_，_（本題第1空2分，第2空3分）15已知函數(shù)，若，則的取值范圍是_16等邊的邊長為2，則在方向上的投影為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：.18（12分）設直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，設直線（為坐標原點）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過定點，并求出該定點的坐標；（

5、2）是否存在常數(shù)，滿足？并說明理由.19（12分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形，在上，且面. （1）求證: 是的中點；（2）在上是否存在點，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.20（12分）已知函數(shù)（1）若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；（2）函數(shù)的最小值為，若正實數(shù)，滿足，證明：21（12分）某商場以分期付款方式銷售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為：2340.4其中，（）求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得利潤l00元，若顧客選擇分3

6、期付款，則商場獲得利潤150元，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得利潤200元.商場銷售兩件該商品所獲的利潤記為（單位：元）（）求的分布列；（）若，求的數(shù)學期望的最大值.22（10分）已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)；（2）記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為、，求證：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】首先明確這是一個幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.【詳解】因為正方形為朱方，其面積為9，五邊形的面積為，所以此點取自朱方的概率為.故選：C【點睛】本題主要考

7、查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.2C【解析】易得，又，平方計算即可得到答案.【詳解】設雙曲線C的左焦點為E，易得為平行四邊形，所以，又，故，所以，即，故離心率為.故選：C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題，關鍵是建立的方程或不等關系，是一道中檔題.3D【解析】設等比數(shù)列的公比為q，運用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，以及等差數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得公比q【詳解】由題意，正項等比數(shù)列中，可得，即，與的等差中項為4，即，設公比為q，則，則負的舍去，故選D【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項公式，合

8、理利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了方程思想和運算能力，屬于基礎題4D【解析】畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當時，由于關于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又，則當時，則不滿足題意；當時，當時，沒有整數(shù)解當時，至少有兩個整數(shù)解綜上，實數(shù)的最大值為故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.5A【解析】先利用向量坐標運算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故選：A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標運算和向量投影的概念，考查了學生概念理解，

9、數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.6A【解析】利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B選項；當時，可排除D選項；當時，當時，即，可排除C選項，故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對稱性的應用，屬于中檔題7D【解析】設，根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出，最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關系，從而可得出離心率【詳解】過分別向軸和拋物線的準線作垂線，垂足分別為、，不妨設，則，為雙曲線上的點，則，即，得，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，解得或.故選：D.【點睛】本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，

10、屬于中檔題8A【解析】根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4，故.故選：A【點睛】本題考查了三視圖的簡單應用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎題.9B【解析】基本事件總數(shù)，能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有，共有個，根據(jù)古典概型求出概率【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù)，基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有，共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎題10B

11、【解析】取中點，可確定；根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的運算法則可求得，利用可求得結果.【詳解】取中點，連接，即.，則.故選：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題，涉及到平面向量的線性運算，關鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M行拆解，進而利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解.11B【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線方程通過f（0），求解即可；【詳解】f （x）的定義域為（1，+），因為f（x）a，曲線yf（x）在點（0，f（0）處的切線方程為y2x，可得1a2，解得a1，故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力12D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標函

12、數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點時，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標函數(shù)的最小值為：4目標函數(shù)的范圍是4，+）故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由三個年級人數(shù)成等差數(shù)列和總人數(shù)可求得高二年級共有人，根據(jù)抽樣比可求得結果.【詳解】設高一、高二、高三人數(shù)分別為，則且，解得：，用分層抽樣的方法抽取人，那么高二年級被抽取的人數(shù)為人故答案為：.【點睛】本題考查分層抽樣問題的求解，涉及到等差數(shù)列的相關知識，屬于基礎題.14 【解析】根據(jù)題意，設，則，所以，解得，所以，從而有 .15【解析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的取值范圍.【詳解】當時， ，當時，所以，故的取值范圍是.故

13、答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，已知分段函數(shù)解析式求參數(shù)范圍，還涉及對數(shù)和指數(shù)的運算，屬于基礎題.16【解析】建立直角坐標系，結合向量的坐標運算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可知：，則：，且，據(jù)此可知在方向上的投影為.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，向量投影的定義與計算等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）求導得，分類討論和，利用導數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中求得的的單調(diào)性，得出在處取得最大值為，構造函數(shù)

14、，利用導數(shù)，推出，即可證明不等式.【詳解】解：（1）由于，得，當時，此時在上遞增；當時，由，解得，若，則，若，此時在遞增，在上遞減.（2）由（1）知在處取得最大值為：，設，則，令，則，則在單調(diào)遞減，即，則在單調(diào)遞減，.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論和構造新函數(shù)，通過導數(shù)證明不等式，考查轉化思想和計算能力.18（1）證明見解析（0，2）；（2）存在，理由見解析【解析】（1）設直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OAOB，求出b，即可知直線過定點（2）由斜率公式分別求出，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關系得，代入，化簡即可求解.【詳解】（1）證明：

15、由題知，直線l的斜率存在且不過原點，故設由可得，.，故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.（2）由（1）知設由可得，即存在常數(shù)滿足題意.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關系，直線過定點問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題19 (1) 見解析;(2).【解析】試題分析：(1)連交于可得是中點，再根據(jù)面可得進而根據(jù)中位線定理可得結果；(2)取中點，由（1）知兩兩垂直. 以為原點，所在直線分別為軸,軸，軸建立空間直角坐標系，求出面的一個法向量，用表示面的一個法向量，由可得結果.試題解析：(1)證明：連交于，連是矩形，是中點.又面，且是面與面的交線，是的中點.(2)取中點，由（1

16、）知兩兩垂直. 以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖），則各點坐標為.設存在滿足要求，且，則由得：，面的一個法向量為，面的一個法向量為，由，得，解得，故存在，使二面角為直角，此時.20（1）（2）見解析【解析】(1)分離得到，求的最小值即可求得的取值范圍；（2）先求出，得到，利用乘變化即可證明不等式.【詳解】解：（1）設，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故有解，即的取值范圍為（2），當且僅當時等號成立，即當且僅當，時等號成立，即成立【點睛】此題考查不等式的證明，注意定值乘變化的靈活應用，屬于較易題目.21（）0.288（）（）見解析（）數(shù)學期望的最大值為280【解析】（）根據(jù)題

17、意，設購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，由獨立重復事件的特點得出，利用二項分布的概率公式，即可求出結果；（）（）依題意，的取值為200，250，300，350，400，根據(jù)離散型分布求出概率和的分布列；（）由題意知，解得，根據(jù)的分布列，得出的數(shù)學期望，結合，即可算出的最大值.【詳解】解：（）設購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，則，則，故購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.（）（）依題意，的取值為200，250，300，350，400，的分布列為：2002503003504000.16（），由題意知，又，即，解得，當時，的最大值為280，所以的數(shù)學期望的最大值為280.【點睛】本題考查獨立重復事件和二項分布的應用，以及離散型分布列和數(shù)學期望，考查計算能力.22（1）；（2）見解析.【解析】（1）利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值，結合零點存在定理可得出結論；（2）設函數(shù)的極大值點和極小值點分別為、，由（1