1、專題36 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 【考點(diǎn)預(yù)測】一直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交二直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；直線與圓相切；直線與圓相離（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離三兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）設(shè)兩個(gè)圓

2、的半徑分別為，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)43210【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于圓的切線的幾個(gè)重要結(jié)論（1）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（2）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（3）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（4）求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：所求切線一定有兩條；設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值若求出的值有兩個(gè)，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個(gè)，則說明斜率不存在的情形符合題意【題型歸

3、納目錄】題型一：直線與圓的相交關(guān)系（含弦長、面積問題）題型二：直線與圓的相切關(guān)系、切點(diǎn)弦問題題型三：直線與圓的相離關(guān)系題型四：圓與圓的位置關(guān)系題型五：兩圓的公共弦問題【典例例題】題型一：直線與圓的相交關(guān)系（含弦長、面積問題）例1（2022青海玉樹高三階段練習(xí)（理）已知直線與圓C：相交于點(diǎn)A，B，若是正三角形，則實(shí)數(shù)（）A2B2CD【答案】D【解析】設(shè)圓的半徑為，由可得，因?yàn)槭钦切危渣c(diǎn)到直線的距離為即，兩邊平方得，故選：D例2（2022全國高三專題練習(xí)）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則k（）ABCD【答案】B【解析】圓的圓心，所以圓心到直線的距離為，則，而，所以，解得：.故選：B.例3（

4、多選題）（2022山東青島二模）已知，則下述正確的是（）A圓C的半徑B點(diǎn)在圓C的內(nèi)部C直線與圓C相切D圓與圓C相交【答案】ACD【解析】由，得，則圓心，半徑，所以A正確，對于B，因?yàn)辄c(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)在圓C的外部，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓C相切，所以C正確，對于D，圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋詧A與圓C相交，所以D正確，故選：ACD例4（多選題）（2022全國南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）已知圓：，直線：，則下列說法正確的是（）A當(dāng)時(shí)，直線與圓相離B若直線是圓的一條對稱軸，則C已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為D已知，為圓上不同于的一點(diǎn)，若，則

5、的最大值為【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，直線：，圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓心相離，故A正確；若直線是圓的一條對稱軸，則直線過圓的圓心，即，解得，故B正確；當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最大值，只需此時(shí)，即時(shí)，故圓心到直線的距離，解得，故C錯(cuò)誤；設(shè)的中點(diǎn)為，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)且點(diǎn)在點(diǎn)正上方時(shí)，等號成立，故D正確故選：ABD例5（多選題）（2022江蘇高二單元測試）設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（）A不論k如何變化，圓心始終在一條直線上B存在圓經(jīng)過點(diǎn)（3，0）C存在定直線始終與圓相切D若圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑為2，依次分析選項(xiàng)：對于A，圓

6、心為，其圓心在直線上，A正確；對于B，圓，將代入圓的方程可得，化簡得，方程無解，所以不存在圓經(jīng)過點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對于C，存在直線，即或，圓心到直線或的距離，這兩條直線始終與圓相切，C正確，對于D，若圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，圓心距為，則有，解可得：或，D正確故選：ACD例6（多選題）（2022河北滄州二模）已知直線，圓，則下列結(jié)論正確的有（）A若，則直線恒過定點(diǎn)B若，則圓可能過點(diǎn)C若，則圓關(guān)于直線對稱D若，則直線與圓相交所得的弦長為2【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恒在上，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入，得，該方程無解，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線恒過圓的圓心，故選項(xiàng)C正確；

7、當(dāng)時(shí)，與相交所得的弦長為2，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD例7（多選題）（2022河北高三階段練習(xí)）已知圓，直線，P為直線l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線，切點(diǎn)為A，B，則下列說法正確的是（）A四邊形面積的最小值為4B當(dāng)直線的方程為時(shí)，最小C已知圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線l的距離相等且為d，則D若動直線，且交圓M于C、D兩點(diǎn)，且弦長，則直線縱截距的取值范圍為【答案】ACD【解析】四邊形面積的最小值即為時(shí)，而，所以，A正確；當(dāng)直線的方程為時(shí)，此時(shí)最小，最大，且為，B錯(cuò)誤；圓上點(diǎn)到直線l的距離取值范圍為，除去最遠(yuǎn)以及最近距離外均有兩點(diǎn)到直線的距離相等，即為，C正確；設(shè)M到直線的距離為d，因?yàn)椋?，所以，則，

8、設(shè)，即，所以，D正確，故選：ACD例8（多選題）（2022全國高三專題練習(xí)）已知圓的方程為，則（）A若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，則該直線方程為B圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為C在圓上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為D圓上的任一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為【答案】BD【解析】圓的圓心為，半徑為.對于A選項(xiàng)，若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，則該直線的方程為，由勾股定理可知，圓心到直線的距離為，而圓心到直線的距離為，合乎題意.若所求直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離為，解得，此時(shí)直線的方程為.綜上所述，滿足條件的直線的方程為或，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，因此，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，B

9、對；對于C選項(xiàng)，記點(diǎn)，即點(diǎn)在圓內(nèi)，且，如下圖所示：當(dāng)、三點(diǎn)不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，即，當(dāng)、三點(diǎn)共線且當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)、三點(diǎn)共線且當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，.綜上所述，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，即，整理可得，即點(diǎn)的軌跡為圓，D對.故選：BD.例9（多選題）（2022全國模擬預(yù)測）（多選）已知圓，直線.則以下幾個(gè)命題正確的有（）A直線恒過定點(diǎn)B圓被軸截得的弦長為C直線與圓恒相交D直線被圓截得最長弦長時(shí)，直線的方程為【答案】ABC【解析】直線方程整理得，由，解得，直線過定點(diǎn)，A正確；在圓方程中令，得，軸上的弦長為，B正確；，在圓內(nèi)，直線與圓一定相交，C正確；直線被圓截得弦最長時(shí)，直線過圓心，則，

10、直線方程為，即D錯(cuò)故選：ABC例10（多選題）（2022遼寧一模）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦AE、BF則下列結(jié)論正確的是()A圓的方程為：B弦AE的長度的最大值為C四邊形ABEF面積的最大值為D該線段AE、BF的中點(diǎn)分別為M、N，直線MN恒過定點(diǎn)【答案】AD【解析】設(shè)圓心為C，圓的半徑為r，由題可知，圓的方程為：，故A正確；當(dāng)AE過圓心C時(shí)，AE長度最長為圓的直徑4，故B錯(cuò)誤；如圖，線段AE、BF的中點(diǎn)分別為M、N，設(shè)，則，時(shí)，四邊形ABEF面積有最大值，故C錯(cuò)誤；四邊形MDNC為矩形，則MN與CD互相平分，即MN過CD中點(diǎn)()，故D正確.故選：AD.例11

11、（2022全國高二專題練習(xí)）若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍_【答案】【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)不大于等于，即，整理得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例12（2022山東煙臺三模）已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的2倍，記點(diǎn)的軌跡為，直線交于，兩點(diǎn)，若的面積為2，則實(shí)數(shù)的值為_.【答案】或1【解析】設(shè)，則有整理得，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心以2為半徑的圓點(diǎn)到直線的距離直線交于，兩點(diǎn)，則則的面積解之得或故答案為：或1例13（2022河南高三階段練習(xí)（文）直線與圓C：相交于M，N兩點(diǎn)，則_【答案】4【

12、解析】圓C：，其圓心坐標(biāo)為，半徑為3圓心到直線2xy10的距離，則故答案為:4.例14（2022天津高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則_【答案】【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，因?yàn)?，解?故答案為：.例15（2022全國模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)的直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為_.【答案】【解析】由題意得，直線的斜率存在，設(shè)，直線MN的方程為，與聯(lián)立，得，得，.因?yàn)?，所以，則，于是，（由點(diǎn)A及C在y軸上可判斷出，同號）所以，兩式消去，得，滿足，所以.故答案為：例16（2022全國高三專題練習(xí)（文）已知曲線y=與直線kxy

13、+k1=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_【答案】【解析】由曲線可得為以為圓心，半徑為1的上半圓直線kxy+k1=0過點(diǎn)，如圖過和兩點(diǎn)的直線斜率；設(shè)過的直線與半圓相切，結(jié)合圖像可知，顯然斜率存在，故圓心到直線的距離等于半徑，即解得或（舍去，與下半圓相切）結(jié)合圖像，故要使曲線y=與直線kxy+k1=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是故答案為：例17（2022全國高三專題練習(xí)）已知直線：和圓：.（1）求圓的圓心、半徑（2）求證：無論為何值，直線總與圓有交點(diǎn)；（3）為何值時(shí)，直線被圓截得的弦最短？求出此時(shí)的弦長.【解析】（1）因?yàn)樗?，所以，所以半?（2）由得，由得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)

14、，因?yàn)椋远c(diǎn)在圓內(nèi)，所以無論為何值，直線總與圓有交點(diǎn).（3）設(shè)圓心到直線的距離為，直線被圓截得的弦為，則，則當(dāng)最大值時(shí)，弦長最小，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，取最小值，此時(shí)，所以.所以時(shí)，直線被圓截得的弦最短，弦長為.例18（2022全國模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線-1），動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡的方程為_，若的對稱中心為與交于兩點(diǎn)，則的方程為面積的最大值為_【答案】 【解析】設(shè)，由題意得，化簡得的方程為，；直線的方程可化為，由解得，所以直線過定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部；作直線，垂足為，設(shè)，易求，所以，所以，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，；故答案為：，.【方法技巧與總結(jié)】（1）研究直線與圓的

15、相交問題，應(yīng)牢牢記住三長關(guān)系，即半徑長、弦心距和半徑之間形成的數(shù)量關(guān)系（2）弦長問題 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點(diǎn)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：題型二：直線與圓的相切關(guān)系、切點(diǎn)弦問題例19（2022湖北模擬預(yù)測）已知圓：，為過的圓的切線，為上任一點(diǎn)，過作

16、圓：的切線，則切線長的最小值是_.【答案】【解析】由題，直線的斜率為，故直線的斜率為，故的方程為，即.又到的距離，故切線長的最小值是故答案為：例20（2022天津市第四十七中學(xué)模擬預(yù)測）過點(diǎn)與圓相切的直線是_【答案】【解析】由題意，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，所以過點(diǎn)與圓相切的直線的斜率，所以切線方程為，即，故答案為：.例21（2022全國高三專題練習(xí)）已知圓O：則，過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_.【答案】或.【解析】由題意：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，方程為：，滿足與圓相切，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為：，則：，解得，此時(shí)切線方程為：，即，故答案為：或例22（2022廣東高三開學(xué)考試）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切

17、點(diǎn)分別為、，則直線的方程為_【答案】【解析】方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設(shè)，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：例23（2022河南鄭州四中高三階段練習(xí)（文）已知圓，點(diǎn)P是直線上的動點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為_【答案】【解析】圓，即，由于PA，PB分別切圓C于點(diǎn)A，B，則，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，即，所以最短時(shí)，最短，點(diǎn)C到直線的距離即為的最小值，所以，所以的最小值為故答案為：例24（2022全國高三專題練習(xí)）已知直線，若P為l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線，切點(diǎn)為A

18、、B，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為_.【答案】【解析】的圓心，半徑，四邊形面積，要使最小，則需最小，當(dāng)與直線垂直時(shí)，最小，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立，解得，則以為直徑的圓的方程為，則兩圓方程相減可得直線的方程為故答案為：例25（2022全國高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)Q是直線：上的動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線恒過定點(diǎn)_.【答案】(1，1)【解析】由題意可設(shè)Q的坐標(biāo)為(m，n)，則mn40，即mn4，過點(diǎn)Q作圓O：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線方程為mxny40，又由mn4，則直線AB的方程變形可得nxny4x40，則有，解得，則直線AB恒過定點(diǎn)(1，1).故答

19、案為：(1，1).例26（多選題）（2022江蘇省贛榆高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，則下列說法正確的是（）A點(diǎn)到的最大距離為B若被圓所截得的弦長最大，則C若為圓的切線，則的取值范圍為D若點(diǎn)也在圓上，則到的距離的最大值為【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，由題意可知，直線過定點(diǎn)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為.當(dāng)時(shí)，當(dāng)與直線不垂直時(shí)，.綜上所述，所以，點(diǎn)到的最大距離為，A對；對于B選項(xiàng)，若被圓所截得的弦長最大，則直線過圓心，可得，所以，B對；對于C選項(xiàng)，若為圓的切線，則，解得，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若也在圓上，則直線與圓相切或相交，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，到的距離取最大值，D對.

20、故選：ABD.例27（2022河南溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理）設(shè)P為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為（）ABCD2【答案】B【解析】圓的方程為：，圓心、半徑.根據(jù)對稱性可知，四邊形PACB的面積為，要使四邊形面積最小，則最需最小，即最小時(shí)為圓心到直線，所以四邊形PACB的面積的最小值為.故選：B.例28（2022全國高三專題練習(xí)）已知是半徑為1的動圓上一點(diǎn)，為圓上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則當(dāng)取最大值時(shí)，的外接圓的方程為（）ABCD【答案】A【解析】由，則動圓心的軌跡方程為.為圓上的動點(diǎn)，又，當(dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)最大時(shí)，最大

21、.當(dāng)時(shí)，取最大值，的外接圓以線段為直徑，而中點(diǎn)，即中點(diǎn)為，外接圓方程為，即.故選：A例29（多選題）（2022全國模擬預(yù)測）已知直線，過直線上任意一點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則有（）A四邊形MACB面積的最小值為B最大度數(shù)為60C直線AB過定點(diǎn)D的最小值為【答案】AD【解析】對于A選項(xiàng)，由題意可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，此時(shí)，所以四邊形MACB面積的最小值為，故選項(xiàng)A正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，易知在點(diǎn)A、B處的切線方程分別為，將點(diǎn)分別代入兩切線方程得，所以直線方程為，整理得，代入，得，解方程組得所以直線AB過定點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于

22、D選項(xiàng)，設(shè)直線AB所過定點(diǎn)為P，則，當(dāng)時(shí)，弦長最小，此時(shí)，則的最小值為，故選項(xiàng)D正確，故選：AD.【方法技巧與總結(jié)】（1）圓的切線方程的求法 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 點(diǎn)在圓上，法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于，即法二：圓心到直線的距離等于半徑 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上（2）常見圓的切線方程過圓上一點(diǎn)的切線方程是；

23、過圓上一點(diǎn)的切線方程是過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論題型三：直線與圓的相離關(guān)系例30（2022荔灣區(qū)校級模擬）由直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為ABCD【解析】要使切線長最小，需直線上的點(diǎn)和圓心之間的距離最短，此最小值即為圓心到直線的距離，故切線長的最小值為，故選：例31已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為【解析】圓心到直線的距離等于，故圓上的動點(diǎn)到直線的距離的最小值為故答案為例32（2022洛陽二模）已知點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，、是圓的兩條切線，、是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是2

24、，則的值為2【解析】圓的圓心，半徑是，由圓的性質(zhì)知：，四邊形的最小面積是2，的最小值是切線長）圓心到直線的距離就是的最小值，故答案為：2例33（2022春個(gè)舊市校級期末）已知圓和定點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，且滿足（1）求實(shí)數(shù)、間滿足的等量關(guān)系；（2）求線段長的最小值【解析】（1）連，為切點(diǎn)，由勾股定理有又由已知，故：化簡得實(shí)數(shù)、間滿足的等量關(guān)系為：（2）由（1）知，點(diǎn)在直線上，即求點(diǎn)到直線的距離例34（多選題）（2022全國模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則（）A點(diǎn)到直線的距離最大值為B滿足的點(diǎn)有3個(gè)C過點(diǎn)作圓的兩切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為D的最小值是【答案】ACD【解析】對A，則圓

25、心到直線的距離，所以點(diǎn)P到該直線距離的最大值為A正確；對B，設(shè)點(diǎn)，則，且，由題意，兩圓的圓心距為，半徑和與半徑差分別為，于是，即兩圓相交，滿足這樣條件的點(diǎn)P有2個(gè)B錯(cuò)誤；對C，設(shè)，則直線MB，NB分別為，因?yàn)辄c(diǎn)B在兩條直線上，所以，于是都滿足直線方程，即直線MN的方程為C正確；對D，即求的最小值，設(shè)存在定點(diǎn)，使得點(diǎn)在圓上任意移動時(shí)均有，設(shè)，則有，化簡得，則有，即，則，所以，所以D正確故選：ACD【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于直線與圓的相離問題的題目大多是最值問題，即直線上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最近或最遠(yuǎn)距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與圓心距離的最近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長的問題題型四：圓與圓的位置

26、關(guān)系例35（2022全國高三專題練習(xí)）已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為_.【答案】【解析】根據(jù)題意作出如下圖形：AB為兩圓的公切線，切點(diǎn)分別為A,B.當(dāng)公切線AB與直線平行時(shí)，公切線AB斜率不為7，即不妨設(shè)過作AB的平行線交于點(diǎn)E，則：，且,直線的斜率為：，所以直線AB與直線的夾角正切為：.在直角三角形中，所以，又,整理得：，解得：，又，解得：，所以=.例36（2022全國高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程_【答案】或或【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的

27、距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.例37（2022黑龍江雙鴨山一中高三開學(xué)考試（文）若圓與圓外切，則實(shí)數(shù)的值是（）ABC24D16【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為兩個(gè)圓的圓心距為.由于兩個(gè)圓外切，所以，解得.故選：D例38（2022廣西桂林模擬預(yù)測（文）圓與圓的位置關(guān)系為（）A相交B內(nèi)切C外切D相離【答案】A【解析】由與圓，可得圓心，半徑，則，且，所以，所以兩圓相交.故選：A.例39（2022陜西西安中學(xué)一模（理）在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與圓：，則兩圓的公切線的條數(shù)是（）A4條B3條

28、C2條D1條【答案】A【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，顯然，即圓與圓外離，所以兩圓的公切線的條數(shù)是4.故選：A例40（2022全國高三專題練習(xí)）圓與圓至少有三條公切線，則m的取值范圍是（）ABCD【答案】D【解析】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即圓心為半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓至少有三條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切或相離，所以，即，解得.故選：D例41（2022云南師大附中高三階段練習(xí)（文）已知圓：，圓：（且），則圓與圓的公切線有（）A4條B1條C2條D3條【答案】C【解析】解法一：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，圓心之間的距離，因?yàn)椋蕛蓤A相交，有兩條公切線；解

29、法二：兩圓有，兩個(gè)公共點(diǎn)，故兩圓相交，有兩條公切.故選:C例42（2022山東聊城二模）已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A3B2C1D0【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，則，且，由，得，即，故點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓心為、半徑為的圓，則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，有，所以兩圓相交，滿足這樣的點(diǎn)P有2個(gè).故選：B.例43（2022云南省下關(guān)第一中學(xué)高三開學(xué)考試）若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【答案】A【解析】到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)在圓上，所以問題等價(jià)于圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)也在圓上，即兩圓相交，故，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：A例44（2022福建三明一中模擬

30、預(yù)測）已知圓，圓，若圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】D【解析】由題可知圓O的半徑為，圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得，則，在中，所以點(diǎn)在圓上，由于點(diǎn)P也在圓M上，故兩圓有公共點(diǎn).又圓M的半徑等于1，圓心坐標(biāo)，.故選：D.例45（2022全國高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2y24ax4a240和圓C2：x2y22byb210只有一條公切線，若a，bR且ab0，則的最小值為（）A3B8C4D9【答案】D【解析】因?yàn)閳AC1：x2y24ax4a240和圓C2：x2y22byb210只有一條公切線，所以兩圓

31、相內(nèi)切，其中C1(2a，0)，r12；C2(0，b)，r21，故|C1C2|，由題設(shè)可知，當(dāng)且僅當(dāng)a22b2時(shí)等號成立故選：D.例46（2022河南模擬預(yù)測（文）下列方程中，圓與圓的公切線方程是（）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，如圖，設(shè)公切線l與圓，圓分別相切于第一象限的A，B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)P，由幾何關(guān)系可知，所以，l的斜率為，則l的方程為，即，根據(jù)對稱可得出另一條公切線方程為.故選：B【方法技巧與總結(jié)】已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：（1）兩圓外離；（2）兩圓外切；（3）兩圓相交；（4）兩圓內(nèi)切；（5）兩圓內(nèi)含；題型五：兩圓的公共弦問題例47（2022全國高三專題練習(xí)

32、）設(shè)點(diǎn)P為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形PACB的面積取得最小值時(shí)，此時(shí)直線AB的方程為（）ABCD【答案】B【解析】由于PA，PB是圓C：的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，所以，當(dāng)最小時(shí)，四邊形PACB的面積取得最小，此時(shí)PC：，即，聯(lián)立得所以，PC的中點(diǎn)為，以PC為直徑的圓的方程為，即，與圓C：兩圓方程相減可得直線AB的方程故選：B例48（2022河南二模（文）已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）ABCD【答案】A【解析】由，兩式相減得公共弦所在直線方程為：，分別取，得，解得，即故選：A例49（2022浙江省普陀中學(xué)高三階段練習(xí)）圓與的公共弦長為

33、（）ABCD【答案】D【解析】已知圓，圓，兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：，而圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以，所以.故選：D.例50（2022全國高三專題練習(xí)）圓與圓公共弦所在直線的方程為（）ABCD【答案】D【解析】將兩圓的方程相減得到兩個(gè)圓公共弦所在直線方程為故選：D.例51（2022全國高三專題練習(xí)）已知圓與圓交于不同的，兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）ABCD【答案】D【解析】兩圓方程相減可得直線的方程為，即，故C不正確；連立可得中點(diǎn)，易知A、B錯(cuò)誤.，兩式相減可得，故D正確.故選：D例52（2022全國高三專題練習(xí)）已知圓與圓相交于點(diǎn)，則四邊形的面積是（）A1B2C3D4【答案】

34、B【解析】根據(jù)條件易知，所以，圓的半徑為2，圓與圓相交于點(diǎn)，的方程為：.即，圓到的距離為：于是，因?yàn)?，所以四邊形的面積為：.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得【過關(guān)測試】一、單選題1不論k為何值，直線都與圓相交，則該圓的方程可以是（）ABCD【答案】B【解析】，直線恒過點(diǎn)P（4，1） ，對于A，圓心為（2，-1），半徑為5，P到圓心的距離為：，即P點(diǎn)不在該圓內(nèi)；對于B，圓心為（-1，-2），半徑為5，P到圓心的距離為 ，故點(diǎn)P在該圓內(nèi)；對于C，圓心為（3，-4），半徑為5，P點(diǎn)到圓心的距離為 ，故點(diǎn)P不在該圓內(nèi)；對于D，圓心為（-1，-3），半徑為5，點(diǎn)P到圓心的距

35、離為 ，點(diǎn)P該在圓上，可能相切也可能相交；故選：B.2已知圓O：，已知直線l：與圓O的交點(diǎn)分別M，N，當(dāng)直線l被圓O截得的弦長最小時(shí)，（）ABCD【答案】C【解析】直線l：，即，所以直線過定點(diǎn)，圓半徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)直線與垂直的時(shí)候，最短， 此時(shí)故選：C3過點(diǎn)的直線與圓：交于，兩點(diǎn)，當(dāng)弦取最大值時(shí)，直線的方程為（）ABCD【答案】A【解析】圓：化為 所以圓心坐標(biāo) 要使過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦取最大值時(shí)，則直線過圓心由直線方程的兩點(diǎn)式得： ，即 故選：A4若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，則（）ABCD【答案】A【解析】設(shè)圓心O到直線l的距離為d，則以為鄰邊的平行四邊為菱形，即由，即，則又由

36、垂徑定理可知，即解得則，解得故選：A5若點(diǎn)到直線的距離分別為1和4，則這樣的直線共有（）條A4B3C2D1【答案】C【解析】到點(diǎn)距離為1的直線，可看作以為圓心1為半徑的圓的切線，同理到點(diǎn)距離為的直線，可看作以為圓心為半徑的圓的切線，故所求直線為兩圓的公切線，又，所以，故兩圓相交，公切線有條，故選：C6已知圓截直線所得的弦長為，則圓C與圓的位置關(guān)系是（）A相離B外切C相交D內(nèi)切【答案】C【解析】圓C的圓心為，半徑為a，其圓心到直線的距離為，所截得的弦長為，解得所以，C的圓心為，半徑為2；又的圓心為，半徑為1，故可得，則兩圓的位置關(guān)系是相交故選：7設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，

37、則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）ABCD【答案】B【解析】設(shè)，即點(diǎn)P的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓面若直線上存在點(diǎn)Q使得，則PQ為圓的切線時(shí)最大，如圖，即圓心到直線的距離，或故選：B8點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓O：的切線MP，MQ，切點(diǎn)分別為P，Q，當(dāng)四邊形MPOQ的面積最小時(shí)，直線PQ的方程為（）Axy20BCxy10Dxy10【答案】A【解析】因?yàn)橹本€MP，MQ與圓O：相切，切點(diǎn)為，所以，所以四邊形MPOQ的面積，又，所以，所以當(dāng)取最小值時(shí)，四邊形MPOQ的面積最小，又當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，所以當(dāng)與直線垂直時(shí)，四邊形MPOQ的面積最小，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因

38、為，所以四點(diǎn)共圓，圓的直徑為,該圓的圓心為，半徑為，所以該圓的方程為：，又在圓上，所以為兩圓的公共弦，所以的方程為：故選：A.二、多選題9已知圓和直線，則（）A直線與圓的位置關(guān)系無法判定B當(dāng)時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為C當(dāng)圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1時(shí)， D如果直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓【答案】BCD【解析】由題知，圓的圓心為，半徑為，直線，故直線過定點(diǎn)，對于A選項(xiàng)，由于點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交，A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，故圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為，B正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1時(shí)，圓心到直線的距離為，解得，C

39、正確；對于D選項(xiàng)，由于直線過定點(diǎn)，設(shè)弦的中點(diǎn)為，則，即點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，故D正確.故選：BCD10已知圓C：，直線l過點(diǎn)，若將圓C向上平移4個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度得到圓，則下列說法正確的有（）A若直線l與圓C相切，則直線l的方程為3x4y100B若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且ABC的面積為2，則直線l的方程為xy20或7xy100C若過點(diǎn)的直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則當(dāng)CMN面積最大時(shí)，直線的斜率為1或1D若Q是x軸上的動點(diǎn)，QR，QS分別切圓于R，S兩點(diǎn)，則直線RS恒過一個(gè)定點(diǎn)【答案】BCD【解析】對于A，圓的方程為，圓心，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，其方程為x2，符合題意當(dāng)直

40、線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即kxy2k40，則，解得，所以直線l的方程為，即3x4y100綜上，直線l的方程為x2或3x4y100，所以A不正確對于B，由題意知直線l的斜率存在且不為0，故設(shè)直線l的方程為，即設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，即，解得，則，解得或所以直線l的方程為xy20或7xy100，所以B正確對于C，可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號）由，得，解得或，所以C正確對于D，由題意知圓的方程為，圓心設(shè)，則以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則圓D的方程為，整理得，圓與圓D的公共弦所在直線即為直線RS，將兩式相減，可得

41、直線RS的方程為，即令解得即直線RS恒過定點(diǎn)，所以D正確故選：BCD11已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A直線與圓的位置關(guān)系只有相交和相切兩種B圓的圓心到直線距離的最大值為C點(diǎn)到直線距離的最小值為D點(diǎn)可能在圓上【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)橹本€的方程可化為令解得，所以直線過定點(diǎn)，直線是過點(diǎn)的所有直線中除去直線外的所有直線，圓心到直線的距離為，即直線與圓相交，又點(diǎn)在圓上，所以直線與至少有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓的位置關(guān)系只有相交和相切兩種，A正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)直線為圓的切線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，且最大值為，B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直

42、線距離的最小值為，C正確；對于D選項(xiàng)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，因?yàn)椋?，圓與圓內(nèi)切，故點(diǎn)可能在圓上，D正確.故選：ACD.12若實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列說法正確的是（）Ax的最小值是4Bx的最大值是20C若關(guān)于y的方程有一解，則x的取值范圍為D若關(guān)于y的方程有兩解，則x的取值范圍為【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，又，則，即，則原方程可化為設(shè)，則的圖象是斜率為的直線的一部分，的圖象是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的四分之一圓，則問題等價(jià)于的圖象和的圖象有公共點(diǎn)，觀察圖形可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由，解得；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，解得；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，解得因此，要使直線與圓有公共點(diǎn)，則有，綜上，故x的最大值為20，最小值為0顯然當(dāng)或或時(shí)，y有一解；當(dāng)時(shí)，y有兩解故選：BD三、填空題13已知直線與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為_.【答案】【解析】如圖：因?yàn)?是等于直角三角形，所以圓心（0,0）到直線的距離為 ，應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式得： ；故答案為： .14設(shè)與相交于兩點(diǎn)，則_【答案】【解析】