2020年重慶數(shù)學(xué)中考重難題型打破五幾何圖形的相關(guān)證明與計(jì)算2020年重慶數(shù)學(xué)中考重難題型打破五幾何圖形的相關(guān)證明與計(jì)算29/292020年重慶數(shù)學(xué)中考重難題型打破五幾何圖形的相關(guān)證明與計(jì)算題型五幾何圖形的相關(guān)證明與計(jì)算種類一倍長中線針對演練如圖，在菱形ABCD中，AC，BD訂交于點(diǎn)O.已知BC＝2OC，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BO上一點(diǎn)，且BF＝EF，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，連接FG，AG.1(1)若CE＝8，∠ACE＝4∠ACB，求AB的長；3(2)求證：FG＝3AG.第1題圖—1—種類二構(gòu)造三角形的中位線針對演練如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，且AE＝EC，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，交AE于點(diǎn)G，連接BG.(1)若AC＝26，CD＝4，求BE的長；(2)取BE的中點(diǎn)K，在EC上取一點(diǎn)H，使得點(diǎn)K和點(diǎn)E為BH的三均分點(diǎn)，連接AH，過點(diǎn)K作KQ⊥AH，交AC于點(diǎn)Q，求證：BG＝2CQ.第1題圖種類三向角兩邊作垂線針對演練—2—如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC的延長線上，且CF＝AE，連接DE，DF，EF.FH均分∠EFB交BD于點(diǎn)H.(1)若AB＝3，DE＝10，求點(diǎn)E到BD的距離；(2)過點(diǎn)H作HM⊥EF于點(diǎn)M，求證：EF＝2AB－2HM.第1題圖種類四構(gòu)造全等三角形針對演練—3—(2019重慶渝中區(qū)模擬)如圖，在正方形ABCD中，E是BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CG⊥AE，垂足為G，連接DG.(1)若BC＝6，CF＝2，求CE的長；(2)猜想：AG、CG、DG之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明．第1題圖如圖，點(diǎn)E是?ABCD邊BC上的一點(diǎn)，且DE＝BE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，交CF于點(diǎn)H，且EF＝FH.(1)若AB＝42，F(xiàn)H＝3，求DM的長；1(2)延長EB至點(diǎn)N，使BN＝2EN，作∠BED的均分線交AD于點(diǎn)P，連接PN，若∠BCD＝75°，求證：PN＝3DE.第2題圖如圖，在?ABCD中，連接BD，點(diǎn)E在BD上，且DE＝DC，連接CE并延長與AD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CG⊥BD垂足為G，交AD于點(diǎn)H.(1)若DG＝3，CG＝23，求△CDE的面積；(2)若∠DFC＝45°，求證：EF＋2FH＝CF.—4—第3題圖種類五構(gòu)造等腰三角形針對演練如圖，在?ABCD中，點(diǎn)G是線段AB上一點(diǎn)，連接CG，DG，且CG＝CD.(1)如圖①，過點(diǎn)G作GH⊥CD于點(diǎn)H，若AB＝7，GH＝26，求DG的長；—5—(2)如圖②，若∠DAB＝60°，∠DAB的均分線交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AD，且EF＋AG＝AD，求證：∠DCF＝∠GCF.第1題圖(2019重慶實(shí)驗(yàn)外國語月考)如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上．(1)如圖①，若△DEF是等邊三角形，且AD＝6，AE＝4，求△BEF的面積；(2)如圖②，若△DEF是等腰直角三角形，∠EDF＝90°，且DB⊥EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)D作DH⊥AB交AB1于點(diǎn)H，交EF于點(diǎn)G，求證：AB＝DH＋2CF.第2題圖3.如圖，在?ABCD中，∠D＝45°，E為BC上一點(diǎn)，連接AC，AE.(1)若AB＝26，AE＝4，求BE的長；(2)過C作CM⊥AD于M，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，CA＝CF，且∠ACF＝∠BAE，求證：AF＋AB＝2AM.第3題圖—6—種類六構(gòu)造直角三角形針對演練(2019重慶江北區(qū)模擬)在?ABCD中，AD＝BD且∠ADB＝90°，CE均分∠BCD交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AD于點(diǎn)F，連接BF，與線段EC交于點(diǎn)G.(1)若BC＝4，求△CBE的面積；(2)求證：2EG＝EN.—7—第1題圖(2019重慶西南大附中適應(yīng)性考試)如圖，在?ABCD中，AB⊥AC，過點(diǎn)D作DE⊥AD交直線AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AD上一點(diǎn)，連接FO并延長交BC于點(diǎn)G.4(1)若AC＝4，cos∠CAD＝，求△ADE的面積；3(2)點(diǎn)H為DC延長線上一點(diǎn)，連接HF，若∠H＝30°，DE＝BG，求證：DH＝CE＋2FH.第2題圖(2019重慶大渡口區(qū)三診)如圖，在?ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且BE＝BC，BE交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作BE的垂線，垂足為點(diǎn)O，與AD交于點(diǎn)G.(1)若AB＝2，求AE的長；(2)求證：BF＝CO＋3EO.第3題圖—8—種類七特別三角形中的輔助線針對演練如圖，在?ABCD中，AC⊥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，且AC＝AE＝CF，連接CE，AF，EF.(1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度數(shù)；(2)若CE⊥EF，求證：CE＝2EF.—9—第1題圖(2019重慶大渡口區(qū)二診)如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，連接AD.過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E.點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，連接EF.(1)若∠DAC＝α，請用含α的式子表示∠EFD的大??；(2)過點(diǎn)B作BG⊥AB，BG＝BE，連接CG.求證：AD＝2CG.第2題圖如圖，在?ABCD中，AD⊥AC，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且∠ADE＝45°，連接DE并延長交BC于點(diǎn)F.AE3(1)若CE＝2，CD＝234，求?ABCD的面積；(2)過點(diǎn)A作AG⊥CD于點(diǎn)G，交DF于點(diǎn)M，點(diǎn)N是CA延長線上一點(diǎn)，連接MN，若∠ACD＝∠ANM，求證：AC＝CB＋AN.第3題圖—10—參照答案種類一倍長中線(1)解：如解圖，延長EF與BC交于點(diǎn)K，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD.BC＝2OC，sin∠OBC＝OCBC＝12，∴∠OBC＝30°.∴∠EBF＝30°.—11—∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝60°.∴∠ACE＝14∠ACB＝14×60°＝15°，∴∠ECK＝∠ACB－∠ACE＝45°，BF＝EF，∴∠BEF＝30°，∴∠EKB＝90°，在Rt△CKE中，22EK＝CK＝2CE＝2×8＝42，在Rt△EKB中，BK＝33×42＝463EK＝33.∴BC＝CK＋BK＝42＋436，即AB＝42＋46；3(2)證明：如解圖，延長FG至點(diǎn)H，使GH＝FG，連接CH，AH、AF.∵點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，EG＝GC.在△EFG與△CHG中，F(xiàn)G＝GHEGF＝∠CGH，EG＝CG∴△EFG≌△CHG(SAS)．EF＝CH，∠CHG＝∠EFG.CH＝BF，CH∥EF.由(1)可知∠EBC＝60°，∠EKB＝90°，∠BCD＝120°，∴∠HCB＝90°，∴∠ACH＝∠BCH－∠ACB＝90°－60°＝30°.∴∠ABF＝∠ACH.在△AFB與△AHC中，AB＝ACABF＝∠ACH，BF＝CH∴△AFB≌△AHC(SAS)，AF＝AH，∠BAF＝∠CAH.—12—FG＝GH，∴AG⊥FG.∴∠FAG＝∠HAG.∵∠BAC＝∠BAF＋∠FAC＝60°，∴∠CAH＋∠FAC＝60°，即∠FAH＝60°.∴∠FAG＝∠HAG＝30°.FG3AG＝tan30°＝3.3∴FG＝3AG.第1題解圖種類二構(gòu)造三角形的中位線1.(1)解：∵AE⊥BC，AE＝EC，AC＝26，2∴在Rt△AEC中，AE＝EC＝2AC＝13，∵AB＝CD＝4，∴在Rt△AEB中，由勾股定理得BE＝AB2－AE2＝3；(2)證明：如解圖，取GE的中點(diǎn)M，連接KM，MC，GM＝ME.∵點(diǎn)K和點(diǎn)E為BH的三均分點(diǎn)，KE＝EH＝BK.KM為△BEG的中位線．1∴KM∥BG，KM＝2BG.CF⊥AB，AE⊥BC，∴∠AEB＝∠CEG＝90°.∴∠FCB＋∠FBC＝90°，BAE＋∠FBC＝90°，∴∠FCB＝∠BAE.在△AEB和△CEG中，—13—BAE＝∠GCEAE＝CE，AEB＝∠CEG∴△AEB≌△CEG(ASA)．BE＝GE.ME＝EH，∴∠MKE＝∠GBE＝∠ACE＝45°，在△AEH和△CEM中，AE＝ECAEH＝∠CEM，EH＝EM∴△AEH≌△CEM(SAS)，∴∠EAH＝∠ECM，AH⊥QK，∴∠QKE＋∠EHA＝90°，∵∠EAH＋∠EHA＝90°，∴∠EAH＝∠QKE，∴∠KCM＝∠QKE，在△KMC和△CQK中，MKC＝∠QCKKC＝CK，KCM＝∠CKQ∴△KMC≌△CQK(ASA)，KM＝CQ，BG＝2CQ.第1題解圖種類三向角兩邊作垂線(1)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB＝3.∴BD＝2AD＝32，—14—在Rt△ADE中，由勾股定理得AE＝DE2－AD2＝1，BE＝AB－AE＝2，在△DBE中，設(shè)點(diǎn)E到BD的距離為h，利用等積法可得BD·h＝BE·AD，即32h＝6，解得h＝2，∴點(diǎn)E到BD的距離為2；(2)證明：∵四邊形ABCD是正方形，AD＝CD，∠EAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∴∠EAD＝∠DCF＝90°.∵CF＝AE，∴△AED≌△CFD(SAS)．DE＝DF.易證∠EDF＝90°.∴∠DEF＝∠DFE＝45°.∵∠ABC＝90°，BD均分∠ABC，∴∠DBF＝45°.FH均分∠BFE，∴∠HFB＝∠HFE.∴∠DHF＝∠HFB＋∠DBC＝∠HFB＋45°，∠DFH＝∠HFE＋∠DFE＝∠HFE＋45°.∴∠DHF＝∠DFH.DH＝DF，如解圖，過點(diǎn)H作HN⊥BC于點(diǎn)N.第1題解圖∵四邊形ABCD是正方形，AB＝AD，∠BAD＝90°.BD＝2AB.FH均分∠BFE，HM⊥EF，HN⊥BF，∴HM＝HN.∵∠HBN＝45°，∠HNB＝90°，∴BH＝2HN＝2HM.—15—DH＝BD－BH＝2AB－2HM.EF＝2DF＝2DH，EF＝2(2AB－2HM)＝2AB－2HM.種類四構(gòu)造全等三角形解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝BC.∴△CEF∽△BEA.CECFBE＝BA.BC＝6，CF＝2，BE＝BC＋CE.CE＝2，解得CE＝3；6＋CE6(2)AG＝CG＋2DG.證明：如解圖，在AE上截取AH＝CG，連接DH，第1題解圖∵四邊形ABCD是正方形，AD∥BC，AD＝DC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠DAE＝∠E，∠DCG＋∠GCE＝90°.∵CG⊥AE，∴∠E＋∠GCE＝90°.∴∠DCG＝∠E＝∠DAE.在△ADH和△CDG中，AD＝CDDAH＝∠DCG，AH＝CG∴△ADH≌△CDG(SAS)，DH＝DG，∠ADH＝∠CDG.∵∠ADC＝∠ADH＋∠HDC＝90°，∴∠HDG＝∠HDC＋∠GDC＝90°.HG＝DH2＋DG2＝2DG.AG＝AH＋HG，AH＝CG，—16—AG＝CG＋2DG.(1)解：∵CF⊥DE，DM⊥BC，∴∠DFC＝∠EFC＝∠DMC＝90°.又∵∠DHF＝∠CHM，∴∠FDH＝∠ECF.又∵EF＝FH，∴△ECF≌△HDF(AAS)．DF＝CF，DH＝EC.在平行四邊形ABCD中，AB＝42，DC＝AB＝42，2DF＝2CD＝4.又∵FH＝3，DH＝DF2＋FH2＝5，EF＝FH＝3.EC＝DH＝5，DE＝DF＋EF＝7.11由S△CDE＝2DE·CF＝2CE·DM，DM＝28；5(2)證明：如解圖，連接BP.第2題解圖DF＝CF，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝45°，又∵∠BCD＝75°，∴∠BED＝∠CDF＋∠BCD＝120°.EP均分∠BED，∴∠BEP＝∠DEP＝60°.AD∥BC，∴∠DPE＝∠BEP＝60°.∴△DEP為等邊三角形．又∵BE＝DE，PE＝PE，∴△BEP≌△DEP(SAS)．BE＝DE＝PE，—17—∴△BEP為等邊三角形．PB＝BE＝PE＝DE.1又∵BN＝2EN，BN＝BE＝BP.1∴∠N＝∠NPB＝∠PBE＝30°，∴∠NPE＝∠NPB＋∠BPE＝90°.PN＝3PE.即PN＝3DE.(1)解：∵DG＝3，CG＝23，∴CD＝DG2＋CG2＝21，∵CD＝DE，∴DE＝21，∴SCDE＝1122△(2)證明：如解圖，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，連接DM，過點(diǎn)C作CT⊥DH于點(diǎn)T，交DB于點(diǎn)O.第3題解圖∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD∥BC，∴∠FCB＝∠DFC＝45°，EM⊥BC，∴∠EMC＝90°，∴∠ECM＝∠CEM＝45°，EC＝2CM，∵CT⊥AD，∴∠CTD＝∠CTF＝90°，∴∠TFC＝∠TCF＝45°，DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EFD＋∠FDE＝∠TCE＋∠TCD，∴∠EDF＝∠TCD，∵∠TOD＝∠COG，∠OTD＝∠OGC＝90°，—18—∴∠ODT＝∠OCG，∴∠TCD＝∠TCH，∵∠TCD＋∠CDT＝90°，∠TCH＋∠CHT＝90°，∴∠CDT＝∠CHT，CH＝CD，∵∠CHF＋∠CHD＝180°，∠ADC＋∠DCM＝180°，∠CHD＝∠CDH，∴∠CHF＝∠DCM，DE＝DC，DM＝DM，EM＝CM，∴△DMC≌△DME(SSS)，∴∠CMD＝∠DME＝45°＝∠CFH，∴△CHF≌△DCM(AAS)，F(xiàn)H＝CM，CF＝EF＋CE＝EF＋2FH.即EF＋2FH＝CF.種類五構(gòu)造等腰三角形(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝7，∴CD＝AB＝7.CG＝CD，∴CG＝7.GH⊥CD，∴在Rt△CHG中，由勾股定理，得CH＝CG2－GH2＝72－（26）2＝5.DH＝CD－CH＝7－5＝2.在Rt△GHD中，由勾股定理，得DG＝DH2＋GH2＝22＋（26）2＝27；(2)證明：如解圖，在AB上截取AQ＝AD，連接DQ，F(xiàn)G.∵∠DAB＝60°，∴△ADQ是等邊三角形．DQ＝AD，∠DQA＝60°.EF＋AG＝AD，即EF＋AG＝AQ＝AG＋GQ，∴GQ＝EF.AE均分∠DAB，∴∠1＝∠2.∵四邊形ABCD是平行四邊形，—19—AB∥CD.∴∠1＝∠3，∠ADE＝180°－∠DAB＝120°，∠QDE＝∠DQA＝60°.∴∠2＝∠3.DE＝AD.DE＝DQ.EF∥AD，∴∠DEF＝180°－∠ADE＝60°.∴∠DQG＝∠DEF.∴△DEF≌△DQG.DG＝DF，∠4＝∠5.∴∠GDF＝∠QDE＝60°.∴△FDG是等邊三角形．DF＝GF.CF＝CF，CD＝CG，∴△CDF≌△CGF.∴∠DCF＝∠GCF.第1題解圖(1)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.∵∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等邊三角形．AD＝BD，∠ADB＝60°，∵△DEF是等邊三角形，DE＝DF，∠EDF＝60°.∴∠ADE＝∠BDF.∴△ADE≌△BDF(SAS)．BF＝AE＝4.AB＝6，BE＝AB－AE＝2.如解圖①，過點(diǎn)F作FH⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)H，—20—第2題解圖①∴∠FBH＝60°，F(xiàn)H＝BF·sin60＝°23.∴SBEF＝11△(2)證明：設(shè)菱形的邊長為a，如解圖②，過點(diǎn)F作FP⊥BC，交CD于點(diǎn)P，第2題解圖②DE＝DF，BD⊥EF，BD均分∠EDF，∴∠BDF＝45°，∴∠FDP＝∠BDC－∠BDF＝15°，∵∠C＝60°，∴∠FPC＝30°，∴∠PFD＝∠PDF＝15°，PD＝PF，設(shè)PD＝PF＝x，則CP＝PF＝x＝23x,sin60°332x＋23x＝a.3解得x＝(23－3)a，CF＝(2－3)a.13∴CF＝a－2a.2AD＝a，DH⊥AB，∠A＝60°，3∴DH＝2a.1AB＝DH＋2CF.3.(1)解：如解圖①，過A作AH⊥BC于點(diǎn)H，—21—第3題解圖①在?ABCD中，∵∠D＝∠B＝45°，AB＝26，AH＝BH＝23.AE＝4，EH＝AE2－AH2＝2.BE＝BH－EH＝23－2；(2)證明：如解圖②，在AM上截取MN＝MC，在△ACF內(nèi)以AF為底邊作等腰直角三角形AFP，連接CP，第3題解圖②∵∠AFC＋∠FAC＋∠ACF＝180°，∠B＋∠FAC＋∠BAF＋∠CAN＝180°，∠ACF＝∠BAE，∴∠AFC＝∠B＋∠CAN＝45°＋∠CAN.∵∠FAC＝∠FAP＋∠PAC＝45°＋∠PAC且∠FAC＝∠AFC，∴∠CAN＝∠PAC.360°－90°∵∠APC＝∠FPC＝＝135°＝∠ANC，2∴△APC≌△ANC(AAS)，AP＝AN，AM＝AN＋MN，2AM＝2AN＋2MN＝AF＋CD＝AF＋AB，即AF＋AB＝2AM.種類六構(gòu)造直角三角形1.(1)解：如解圖①，過點(diǎn)C作CM⊥AB，與AB的延長線交于點(diǎn)M.第1題解圖①CE均分∠DCB且CD∥AB，∴∠CEB＝∠BCE，BC＝4，—22—EB＝CB＝4.在Rt△CBM中，∠CBM＝45°，2CM＝2BC＝22，則S△CEB＝11×4×22＝42；2BE·CM＝2(2)證明：如解圖②，過點(diǎn)E作EG的垂線交BF的延長線于點(diǎn)M，第1題解圖②由(1)知BC＝BE，∵BC＝AD＝BD，∴BE＝BD，又∵FE⊥AB，∴在Rt△FDB和Rt△FEB中，BF＝BF，BD＝BERt△FDB≌Rt△FEB(HL)．∴∠EBF＝∠DBF＝22.5°，又∵∠CEB＝22.5°，∴∠MGE＝45°.又∵M(jìn)E⊥EG，2EG＝MG.由∠EBF＝∠CEB＝22.5°得EG＝GB，由Rt△MEG是等腰直角三角形得ME＝EG，可得ME＝GB.由∠MEF＋∠FEG＝∠GEB＋∠FEG可得∠MEF＝∠GEB＝22.5°＝∠GBN，又∵∠M＝∠NGB＝45°，∴△MFE≌△GNB(ASA)．MF＝GN.∵∠BFE＝∠FEG＝90°－22.5°＝67.5°，F(xiàn)G＝EG.EG＋GN＝FG＋MF即EN＝MG.2EG＝EN.(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB.—23—AB⊥AC，∴AC⊥CD.在Rt△ACD中，AC＝4，cos∠CAD＝45，AC∴AD＝＝5，由勾股定理得CD＝3.cos∠CADDE⊥AD，DCDE∴tan∠DAC＝AC＝AD，即3＝DE，則DE＝15，454111575S△ADE＝2AD·DE＝2×5×4＝8；(2)證明：如解圖，連接BD，過點(diǎn)F作FM⊥DH于點(diǎn)M.∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，即點(diǎn)B，O，D在一條直線上．AD∥BC，∴∠FDO＝∠GBO，∠OFD＝∠OGB，∴△OFD≌△OGB(AAS)，DF＝BG＝DE.∵∠FDE＝90°，∴∠FDM＋∠EDC＝90°.FM⊥DC，∴∠FDM＋∠DFM＝90°.∴∠EDC＝∠DFM.AC⊥DC，∴∠DCE＝∠ACD＝90°，∴∠ECD＝∠DMF，∴△FDM≌△DEC，DM＝CE.在Rt△HFM中，∵∠H＝30°，F(xiàn)M⊥HM，3HM＝2FH.DH＝DM＋MH，3∴DH＝CE＋2FH.—24—第2題解圖(1)解：如解圖①，過點(diǎn)B作BH⊥DA交DA延長線于點(diǎn)H.第3題解圖①∵在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，BC＝2AB＝2，∠ABC＝∠ACB＝45°.BE＝BC＝2.∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD∥BC.∴∠HAB＝∠ABC＝45°.2∴AH＝BH＝2AB＝1.在Rt△BEH中，由勾股定理得：BH2＋HE2＝BE2，即12＋(AE＋1)2＝22，解得AE＝3－1(負(fù)值舍去)；(2)證明：如解圖②，分別延長BA，CO交于點(diǎn)P，連接PE，PF，PG.第3題解圖②CO⊥BE，BA⊥CA，∴∠BAF＝∠COF＝∠CAP＝90°.∵∠AFB＝∠OFC，∴∠ABF＝∠PCA.在△ABF和△ACP中，BAF＝∠CAPAB＝AC，ABF＝∠ACP—25—∴△ABF≌△ACP(ASA)．CP＝BF，AF＝AP.∴∠AFP＝∠APF＝45°.過點(diǎn)E作EQ⊥BC于Q，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，則四邊形AMQE是矩形，AM＝QE1則EQ＝AM＝2BC＝2BE，∴∠EBQ＝30°.∴∠PBF＝15°.∴∠PFE＝∠PBF＋∠BPF＝60°.在△PAE和△FAE中，AP＝AFPAE＝∠FAE＝45°，AE＝AE∴△PAE≌△FAE(SAS)．PE＝EF.∴△PEF是等邊三角形．CP⊥BE，∴PO＝3OE.BF＝CP＝CO＋PO＝CO＋3OE.種類七特別三角形中的輔助線1.(1)解：∵AC⊥BC，AC＝CF，∴△ACF為等腰直角三角形，則∠AFC＝45°，∵∠AFC＝∠B＋∠EAF，∠B＝35°.∴∠EAF＝10°；(2)證明：如解圖，