最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)應用（一）一、知識重點：1、性質(zhì)1：假如a、b兩數(shù)的最大公因數(shù)為d，則a=md,b=nd,而且（m,n）=1。比如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。2、性質(zhì)2：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。a與b的最小公倍數(shù)[a,b]是a與b的全部倍數(shù)的最大公因數(shù)，而且a×b=[a,b]×（a,b）。比如：（18，12）=，[18，12]=（18，12）×[18，12]=3、兩個數(shù)的公因數(shù)必定是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)。3、展轉(zhuǎn)相除法二、熱門考題：例1兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。已知此中一個自然數(shù)是18，求另一個自然數(shù)。練一練：甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，求乙數(shù)。例2兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77，求這兩個自然數(shù)。剖析與解：假如將兩個自然數(shù)都除以7，則原題變成：“兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是30。這兩個自然數(shù)的和是11，求這兩個自然數(shù)。”例3已知a與b，a與c的最大公因數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。剖析與解：因為12，15都是a的因數(shù)，因此a應該是12與15的公倍數(shù)，即是[12，15]=60的倍數(shù)。再由[a，b，c]=120知，a只好是60或120。[a，c]=15，說明c沒有質(zhì)因數(shù)2，又因為[a，b，c]=120=23×3×5，因此c=15。練一練：已知兩數(shù)的最大公因數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126，求這兩個數(shù)的和是多少例4已知兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大公因數(shù)是5，求這兩個自然數(shù)。例5已知兩個自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，求這兩個數(shù)。習題四1．已知某數(shù)與24的最大公因數(shù)為4，最小公倍數(shù)為168，求此數(shù)。2．已知兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)為4，最小公倍數(shù)為120，求這兩個數(shù)。3．已知兩個自然數(shù)的和為165，它們的最大公因數(shù)為15，求這兩個數(shù)。4．已知兩個自然數(shù)的差為48，它們的最小公倍數(shù)為60，求這兩個數(shù)。5．已知兩個自然數(shù)的差為30，它們的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差為450，求這兩個自然數(shù)。6．已知兩個自然數(shù)的和為147，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積為432，求這兩個自然數(shù)。7、五年一班去劃船，他們算了一下，假如增添一條船，正好每船坐6個，假如減少一條船，正好每船坐9人，這個班有多少人8、一個數(shù)被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此數(shù)最小是幾9、已知A與B的最大公因數(shù)為6，最小公倍數(shù)為84，且A＝42，求B。10、已知A和B的最大公因數(shù)是31，且A×B＝5766，求A和B。11、有一盤水果，3個3個地數(shù)余2個，4個4個數(shù)余3，5個5個數(shù)余4個，問這個盤子里最罕有多少個水果家庭練習1.拖沓機前輪直徑64厘米，后輪直徑96厘米，拖沓機開動后，前輪起碼轉(zhuǎn)多少圈，才能使前、后輪同時著地的兩點從頭同時著地2.此刻有香蕉42千克，蘋果112千克，桔子70千克，均勻分給幼兒園的幾個班，每班分到的這三種水果的數(shù)目分別相等，那么最多分給了多少個班每個班起碼分到了三種水果各多少千克3、一個數(shù)被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此數(shù)最小是幾4、將72和120的乘積寫成它們的最大公因數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。5、兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72。知足條件的自然數(shù)有哪幾組例1用自然數(shù)a去除498，450，414，獲得相同的余數(shù)，a最大是多少剖析與解：因為498，450，414除以a所得的余數(shù)相同，因此它們兩兩之差的公因數(shù)應能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求數(shù)是（48，36，84）=12。例2現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公因數(shù)中，最大的能夠是多少剖析與解：只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)詳細是幾，仿佛沒法求最大公因數(shù)。只好從獨一的條件“它們的和是1111”下手剖析。三個數(shù)的和是1111，它們的公因數(shù)必定是1111的因數(shù)。因為1111=101×11，它的因數(shù)只好是1，11，101和1111，因為三個自然數(shù)的和是

1111，因此三個自然數(shù)都小于

1111，1111

不行能是三個自然數(shù)的公因數(shù)，而

101是可能的，比方取三個數(shù)為

101，101和

909。因此所求數(shù)是

101。練習：1、在1000到2000之間，能同時被6、8、10這三個自然數(shù)整除的自然數(shù)一共有幾個2、三個連續(xù)偶數(shù)，它們分別是12、14、16的倍數(shù)，比它們大的這樣三個偶數(shù)最小各是多少3、四個連續(xù)自然數(shù)，它們分別是6、7、8、9的倍數(shù)，比它們大的這樣四個自然數(shù)最小各是多少4、甲、乙、丙三人沿600米的環(huán)形跑道從同一地址出發(fā)同時同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。起碼經(jīng)過多少時間三人又同時從出發(fā)點出發(fā)5、兩數(shù)的乘積是9000，它們的最大公因數(shù)是15，這個兩數(shù)各是多少6、甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會7、兩個小于150的數(shù)的積是2028，它們的最大公因數(shù)是13，求這兩個數(shù)。8、有一堆桔子，按每4個一堆分少1個，按每5個一堆分也少1個，按每6個一堆分仍是少1個。這堆桔子起碼有多少個【例3】狐貍和袋鼠進行跳遠競賽，狐貍每次跳米，袋鼠每次跳米，它們每秒都只跳一次。競賽途中，從起點開始，每隔米設一個圈套，當它們之中一個先掉進圈套時，另一個跳了多少米【例5】用長9厘米、寬6厘米、高4厘米的長方體搭一個正方體，起碼需要多少塊這樣的長方體木塊【例6】（1）A、B兩數(shù)的乘積是216，它們的最小公倍數(shù)是36。A、B兩數(shù)的最大公因數(shù)是多少（2）甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288，最大公因數(shù)是4，甲數(shù)是36，乙數(shù)是多少【例7】加工某種機器部件，要經(jīng)過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成3個部件，第二道工序每個工人每小時可達成10個，第三道工序每個工人每小時可達成5個，要使加工生產(chǎn)平衡，三道工序起碼各分派幾個工人練習：1.甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54，甲數(shù)是多少乙數(shù)是多少2.一塊長方形地面，長120米，寬60米，要在它的周圍和四角種樹，每兩棵之間的距離相等，最少要種樹苗多少棵每相鄰兩棵之間的距離是多少米3.已知兩個自然數(shù)的積是5766，它們的最大公因數(shù)是31.求這兩個自然數(shù)。4．有一隊同學去野炊，吃飯時，他們兩人一個飯碗，三個人一個菜碗，四個人一個湯碗，一共用了91個碗。參加野炊的起碼有多少同學帶余數(shù)的除法前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題.除此以外，比如：16÷3=51，即16=5×3+1.此時，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法。一般地，假如a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0），那么必定有此外兩個整數(shù)q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。當r=0時，我們稱a能被b整除。當r≠0時，我們稱a不可以被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完整商（亦簡稱為商）.用帶余除式又能夠表示為a÷b=qr，0≤r＜b。例1一個兩位數(shù)去除251，獲得的余數(shù)是41.求這個兩位數(shù)。剖析這是一道帶余除法題，且要求的數(shù)是大于41的兩位數(shù).解題可從帶余除式下手剖析。解：∵被除數(shù)÷除數(shù)=商余數(shù)，即被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，∴251=除數(shù)×商+41，251-41=除數(shù)×商，∴210=除數(shù)×商。∵210=2×3×5×7，∴210的兩位數(shù)的因數(shù)有10、14、15、21、30、35、42、70，此中42和70大于余數(shù)41.因此除數(shù)是42或70.即要求的兩位數(shù)是42或70。例2用一個自然數(shù)去除另一個整數(shù)，商40，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與余數(shù)的和是933，求被除數(shù)和除數(shù)各是多少解：∵被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，即被除數(shù)=除數(shù)×40+16。由題意可知：被除數(shù)+除數(shù)=933-40-16=877，∴（除數(shù)×40+16）+除數(shù)=877，∴除數(shù)×41=877-16，除數(shù)=861÷41，除數(shù)=21，∴被除數(shù)=21×40+16=856。答：被除數(shù)是856，除數(shù)是21。例3某年的十月里有5個禮拜六，4個禮拜日，問這年的10月1日是禮拜幾解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=7×4+3，∴依據(jù)題意可知：有5天的禮拜數(shù)必定是禮拜四、禮拜五和禮拜六。∴這年的10月1日是禮拜四。例43月18日是禮拜日，從3月17日作為第一天開始往回數(shù)（即3月16日（次日），15日（第三天），）的第1993天是禮拜幾解：每周有7天，1993÷7=284（周）5（天），從禮拜日往回數(shù)5天是禮拜二，因此第1993天必是禮拜二.例5一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求合適此條件的最小數(shù)。這是一道古算題.它早在《孫子算經(jīng)》中記有：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何”對于這道題的解法，在明朝就流傳著一首解題之歌：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團聚正半月，除百零五便得悉.”意思是，用除以3的余數(shù)乘以70，用除以5的余數(shù)乘以21，用除以7的余數(shù)乘以15，再把三個乘積相加.假如這三個數(shù)的和大于105，那么就減去105，直至小于105為止.這樣就能夠獲得知足條件的解.其解法以下：方法1：2×70+3×21+2×15=233233-105×2=23切合條件的最小自然數(shù)是23。例5的解答方法不單就這一種，還能夠這樣解：方法2：[3，7]+2=2323除以5恰巧余3。因此，切合條件的最小自然數(shù)是23。方法2的思路是什么呢讓我們再來看下邊兩道例題。例6一個數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1，求合適條件的最小的自然數(shù)。剖析“除以5余3”即“加2后被5整除”，相同“除以6余4”即“加2后被整除”。解：[5，6]-2=28，即28合適前兩個條件。想：28+[5，6]×以后能知足“7除余1”的條件28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，又148＜210=[5，6，7]因此，合適條件的最小的自然數(shù)是148。例7一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，求切合條件的最小自然數(shù)。解：想：2+3×以后能知足“5除余3”的條件2+3×2=8。再想：8+[3，5]×以后能知足“7除余4”的條件8+[3，5]×3=53?！嗲泻蠗l件的最小的自然數(shù)是53。概括以上兩例題的解法為：逐漸知足條件法.當找到知足某個條件的數(shù)后，為了再知足另一個條件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時注意要加上已知足條件中除數(shù)的倍數(shù)。解這種題目還有其余方法，將會在相關(guān)“同余”部分講到。例8一個布袋中裝有小球若干個.假如每次取3個，最后剩1個；假如每次取5個或7個，最后都剩2個.布袋中起碼有小球多少個解：2+[5，7]×1=37（個）∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，∴布袋中起碼有小球37個。例969、90和125被某個正整數(shù)N除時，余數(shù)相同，試求N的最大值。剖析在解答本題以前，我們先來看下邊的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余數(shù)相同（余數(shù)都是1）?？墒?9-15能被2整除.由此我們能夠獲得這樣的結(jié)論：假如兩個整數(shù)a和b，均被自然數(shù)m除，余數(shù)相同，那么這兩個整數(shù)之差（大-?。┍囟鼙籱整除。反之，假如兩個整數(shù)之差恰被m整除，那么這兩個整數(shù)被m除的余數(shù)必定相同。例9可做以下解答：∵三個整數(shù)被N除余數(shù)相同，∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，∴N是21和35的公因數(shù)?！咭驨的最大值，∴N是21和35的最大