2.2

機(jī)器人靜力分析

機(jī)器人在工作狀態(tài)下會與環(huán)境之間引發(fā)相互作用力和力矩。機(jī)器人各關(guān)節(jié)驅(qū)動裝置提供關(guān)節(jié)力和力矩，經(jīng)過連桿傳遞到末端執(zhí)行器，克服外界作用力和力矩。關(guān)節(jié)驅(qū)動力和力矩與末端執(zhí)行器施加力和力矩之間關(guān)系是機(jī)器人操作臂力控制基礎(chǔ)。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第1頁2.2.1

操作臂力和力矩平衡圖2.3所表示，桿i經(jīng)過關(guān)節(jié)i和i+1分別與桿i–1和i+1相連接，建立兩個坐標(biāo)系{i–1}和{i}。定義以下變量：fi–1，i及ni–1，i

i–1桿經(jīng)過關(guān)節(jié)i作用在i桿上力和力矩；fi，i+1及ni，i+1i桿經(jīng)過關(guān)節(jié)i+1作用在i+1桿上力和力矩；–fi，i+1及–ni，i+1i+1桿經(jīng)過關(guān)節(jié)i+1作用在i桿上反作用力和反作用力矩；fn，n+1及nn，n+1機(jī)器人最末桿對外界環(huán)境作用力和力矩；–fn，n+1及–nn，n+1外界環(huán)境對機(jī)器人最末桿作用力和力矩；f0，1及n0，1機(jī)器人機(jī)座對桿1作用力和力矩；mig——連桿i重量，作用在質(zhì)心Ci上。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第2頁靜力學(xué)和動力學(xué)分析第3頁2.2.2

機(jī)器人力雅可比矩陣為了便于表示機(jī)器人手部端點(diǎn)力和力矩(簡稱為端點(diǎn)廣義力F

)，可將

fn，n+1和nn，n+1合并寫成一個6維矢量各關(guān)節(jié)驅(qū)動器驅(qū)動力或力矩可寫成一個n維矢量形式，即n為關(guān)節(jié)個數(shù)；τ為關(guān)節(jié)力矩(或關(guān)節(jié)力)矢量，簡稱廣義關(guān)節(jié)力矩。對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，τi表示關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩；對于移動關(guān)節(jié)，τi表示關(guān)節(jié)驅(qū)動力。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第4頁利用虛功原理推導(dǎo)機(jī)器人手部端點(diǎn)力F與關(guān)節(jié)力矩τ關(guān)系。關(guān)節(jié)虛位移為δqi，末端執(zhí)行器虛位移為δX，式中：d=[dX，dY，dZ]T、δ=[δjX，δjY，δjZ]T分別對應(yīng)于末端執(zhí)行器線虛位移和角虛位移；δq為由各關(guān)節(jié)虛位移δqi組成機(jī)器人關(guān)節(jié)虛位移矢量。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第5頁假設(shè)發(fā)生上述虛位移時，各關(guān)節(jié)力矩為τi(i=1，2,

…

,n)，環(huán)境作用在機(jī)器人手部端點(diǎn)上力和力矩分別為–fn，n+1和–nn，n+1。由上述力和力矩所作虛功能夠由下式求出：或?qū)懗伸o力學(xué)和動力學(xué)分析第6頁依據(jù)虛位移原理，機(jī)器人處于平衡狀態(tài)充分必要條件是對任意符合幾何約束虛位移有δW=0，并注意到虛位移δq和δX之間符合桿件幾何約束條件。利用式δX=Jδq，將式(2.18)寫成式中：δq表示從幾何結(jié)構(gòu)上允許位移關(guān)節(jié)獨(dú)立變量。對任意δq，欲使δW

=0成立，必有式(2.20)表示了在靜態(tài)平衡狀態(tài)下，手部端點(diǎn)力F和廣義關(guān)節(jié)力矩τ之間線性映射關(guān)系。式(2.20)中JT與手部端點(diǎn)力F和廣義關(guān)節(jié)力矩τ之間力傳遞相關(guān)，稱為機(jī)器人力雅可比。顯然，機(jī)器人力雅可比JT是速度雅可比J轉(zhuǎn)置矩陣。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第7頁對力雅可比矩陣補(bǔ)充說明：靜力學(xué)和動力學(xué)分析第8頁虛功方程力雅可比分析：靜力學(xué)和動力學(xué)分析第9頁2.2.3

機(jī)器人靜力計(jì)算機(jī)器人操作臂靜力計(jì)算可分為兩類問題：(1)已知外界環(huán)境對機(jī)器人手部作用力F，(即手部端點(diǎn)力F-F′)，利用式(2.20)求對應(yīng)滿足靜力平衡條件關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τ。(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τ，確定機(jī)器人手部對外界環(huán)境作用力或負(fù)載質(zhì)量。第二類問題是第一類問題逆解。逆解關(guān)系式為

靜力學(xué)和動力學(xué)分析第10頁例2.2

圖2.5所表示為一個二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)械手，已知手部端點(diǎn)力F=[FX，F(xiàn)Y]T，忽略摩擦，求θ1=0°、θ2=90°時關(guān)節(jié)力矩。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第11頁靜力學(xué)和動力學(xué)分析第12頁靜力學(xué)和動力學(xué)分析第13頁力雅可比矩陣在奇點(diǎn)情況：靜力學(xué)和動力學(xué)分析第14頁練習(xí)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第15頁1.分析下列圖RRRR機(jī)械手其正向變換矩陣和轉(zhuǎn)動雅可比矩陣以下:靜力學(xué)和動力學(xué)分析第16頁(a)求解當(dāng)各個關(guān)節(jié)坐標(biāo)為q=[0,900,?900,0]T時候，相對于基坐標(biāo)系雅可比矩陣Jo.(b)一個作用在坐標(biāo)系{4}上力[0,6,0,7,0,8]T.在(a)中所描述位置,計(jì)算用于平衡關(guān)節(jié)力矩靜力學(xué)和動力學(xué)分析第17頁靜力學(xué)和動力學(xué)分析第18頁將一個矢量變換到某一個參考系，所做是旋轉(zhuǎn)變換（沒有平移部分）故：靜力學(xué)和動力學(xué)分析第19頁靜力學(xué)和動力學(xué)分析第20頁2.YouaregiventhatacertainRPRmanipulatorhasthefollowingtransformationmatrices,where{E}istheframeoftheendffector.DerivethebasicJacobianrelatingjointvelocitiestotheend-effector’slinearandangularvelocitiesinframe{0}.靜力學(xué)和動力學(xué)分析第21頁靜力學(xué)和動力學(xué)分析第22頁3.ConsidertheplanarPRmanipulatorshownhere:(a)Findtheoriginofframe{3}expressedintermsofframe{0},thatis0P3org.(b)Givethe2×2Jacobianthatrelatesthejointvelocitiestothelinearvelocityof0P3org.(c)Forwhatjointvaluesisthemanipulatoratasingularity?Whatmotionisrestrictedatthissingularity?靜力學(xué)和動力學(xué)分析第23頁靜力學(xué)和動力學(xué)分析第24頁2.3

機(jī)器人動力學(xué)方程機(jī)器人動力學(xué)研究有牛頓-歐拉(Newton-Euler)法、拉格朗日(Langrange)法、高斯(Gauss)法、凱恩(Kane)法及羅伯遜-魏登堡(Roberon-Wittenburg)法等。本節(jié)介紹動力學(xué)研究慣用牛頓-歐拉方程和拉格朗日方程。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第25頁26

A

B

O

A

B

O

問題1：系統(tǒng)在圖示位置平衡，用什么方法求F與M關(guān)系？問題2：系統(tǒng)中OA桿勻角速轉(zhuǎn)動，求在圖示位時，力偶M大小用什么方法？問題引出動力學(xué)普遍方程補(bǔ)充：靜力學(xué)和動力學(xué)分析第26頁設(shè)：質(zhì)點(diǎn)系中第i個質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi;作用在其上主動力Fi;

約束力FNi.質(zhì)點(diǎn)慣性力為FIi

應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理：應(yīng)用虛位移原理：若質(zhì)點(diǎn)系所受約束為理想約束動力學(xué)普遍方程其中：靜力學(xué)和動力學(xué)分析第27頁拉格朗日方程

設(shè)：含有完整理想約束非自由質(zhì)點(diǎn)系有

k個自由度系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為：T為系統(tǒng)動能，普通情況下動能可表示成：為對應(yīng)于廣義坐標(biāo)廣義力靜力學(xué)和動力學(xué)分析第28頁拉格朗日方程幾個形式

1、當(dāng)主動力均為有勢力時設(shè)：L＝T-V

（拉格朗日函數(shù)或者稱為動勢）2、當(dāng)主動力部分為有勢力時靜力學(xué)和動力學(xué)分析第29頁拉格朗日方程為2階k維常微分方程組靜力學(xué)和動力學(xué)分析第30頁31

動力學(xué)基本方法

牛頓定律

動量定理動量矩定理動能定理

達(dá)朗貝爾原理//動靜法虛位移原理

動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程靜力學(xué)和動力學(xué)分析第31頁Manipulatorrigid-bodydynamics機(jī)械手關(guān)節(jié)空間動力學(xué)方程：靜力學(xué)和動力學(xué)分析第32頁如圖所表示RP形機(jī)械手，桿件均質(zhì)，尺寸、質(zhì)量、質(zhì)心、如圖示忽略關(guān)節(jié)處質(zhì)量。對其進(jìn)行動力學(xué)分析。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第33頁（一）計(jì)算massmatrix1）計(jì)算雅可比矩陣靜力學(xué)和動力學(xué)分析第34頁靜力學(xué)和動力學(xué)分析第35頁2）計(jì)算構(gòu)件慣性張量矩陣(inertiatensor)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第36頁2）計(jì)算構(gòu)件慣性張量矩陣(inertiatensor)以質(zhì)心為原點(diǎn)矩形連桿慣性張量計(jì)算公式：靜力學(xué)和動力學(xué)分析第37頁得到massmatrix結(jié)果：靜力學(xué)和動力學(xué)分析第38頁(二)科氏力和離心力矩陣：m11表示M矩陣1行1列元素，m111表示對q1求偏導(dǎo)數(shù)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第39頁靜力學(xué)和動力學(xué)分析第40頁分解為科氏力部分和離心力部分：靜力學(xué)和動力學(xué)分析第41頁(三)計(jì)算重力項(xiàng)矩陣(G)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第42頁(四)得到結(jié)果靜力學(xué)和動力學(xué)分析第43頁

拉格朗日算子L定義為系統(tǒng)動能K與勢能P差

L=K–P

(3.1)

系統(tǒng)動能和勢能能夠用任何能使問題簡化坐標(biāo)系統(tǒng)來表示，并不一定要使用笛卡爾坐標(biāo)。動力學(xué)方程通常表述為其中，qi是表示動能和勢能坐標(biāo)值，是速度，而Fi是對應(yīng)力或力矩，F(xiàn)i是力還是力矩，這取決于qi是直線坐標(biāo)還是角度坐標(biāo)。這些力、力矩和坐標(biāo)分別稱為廣義力、廣義力矩和廣義坐標(biāo)。3.2)

拉格朗日(Langrange)法在機(jī)器人動力學(xué)中應(yīng)用靜力學(xué)和動力學(xué)分析第44頁

為了說明問題，我們看一個詳細(xì)例子，假定有如圖3.1所表示兩連桿機(jī)械手，兩個連桿質(zhì)量分別為m1、m2，由連桿端部質(zhì)量代表，兩個連桿長度分別為d1、d2，機(jī)械手直接懸掛在加速度為g重力場中，廣義坐標(biāo)為θ1和θ2。m2d1d2m1xy圖3.1兩連桿機(jī)械手靜力學(xué)和動力學(xué)分析第45頁

動能普通表示式為，質(zhì)量m1動能可直接寫出

勢能與質(zhì)量垂直高度相關(guān)，高度用y坐標(biāo)表示，于是勢能可直接寫出

對于質(zhì)量m2，由圖3.1，我們先寫出直角坐標(biāo)位置表示式，然后求微分，方便得到速度(3.4)(3.3)(3.5)(3.6)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第46頁速度直角坐標(biāo)分量為

速度平方值為(3.8)(3.7)(3.9)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第47頁從而動能為(3.10)質(zhì)量高度由式(3.6)表示，從而勢能就是(3.11)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第48頁拉格朗日算子L=K–P可依據(jù)式(3.3)、(3.4)、(3.10)和(3.11)求得(3.12)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第49頁為了求得動力學(xué)方程，我們現(xiàn)在依據(jù)式(6.2)對拉格朗日算子進(jìn)行微分（3.13）（3.14）（3.15）靜力學(xué)和動力學(xué)分析第50頁依據(jù)式(3.2)，把式(3.14)與(3.15)相減就得到關(guān)節(jié)1力矩（3.16）靜力學(xué)和動力學(xué)分析第51頁(3.17)(3.18)(3.19)用拉格朗日算子對求偏微分，進(jìn)而得到關(guān)節(jié)2力矩方程靜力學(xué)和動力學(xué)分析第52頁于是關(guān)節(jié)2力矩為

（3.20）將式(3.16)和(3.20）重寫為以下形式

（3.21）

（3.22）靜力學(xué)和動力學(xué)分析第53頁

在方程（6.21）和（6.22）中各項(xiàng)系數(shù)D含義以下：Dii

—關(guān)節(jié)i等效慣量（Effectiveinertia），關(guān)節(jié)i加速度使關(guān)節(jié)i產(chǎn)生力矩Dij

—關(guān)節(jié)i與關(guān)節(jié)j之間耦合慣量（Couplinginertia）關(guān)節(jié)i或關(guān)節(jié)j加速度分別使關(guān)節(jié)j或i產(chǎn)生力矩和Dijj

—由關(guān)節(jié)j速度產(chǎn)生作用在關(guān)節(jié)i上向心力系數(shù)（Centripetalforce）Dijk—作用在關(guān)節(jié)i上復(fù)合向心力（哥氏力Coriolisforce）組合項(xiàng)系數(shù)，這是關(guān)節(jié)j和關(guān)節(jié)k速度產(chǎn)生結(jié)果Di—作用在關(guān)節(jié)i上重力（Gravity）靜力學(xué)和動力學(xué)分析第54頁

把方程(3.16)、(3.20)與(3.21)、(3.22)比較，我們就得到各項(xiàng)系數(shù)值：

等效慣量

D11=[(m1+m2)d12+m2d22+2m2d1d2cos(θ2)](3.23)D22=m2d22(3.24)

耦合慣量

D12=m2d22+m2d1d2cos(θ2)(3.25)

向心加速度系數(shù)

D111=0(3.26)D122=-m2d1d2sin(θ2)(3.27)D211=m2d1d2sin(θ2)(3.28)D222=0(3.29)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第55頁

哥氏加速度系數(shù)

D112=D121=-m2d1d2sin(θ2)(3.30)D212=D221=0(3.31)

重力項(xiàng)為

D1=(m1+m2)gd1Sin(θ1)+m2gd2Sin(θ1+θ2)(3.32)D2=m2gd2Sin(θ1+θ2)(3.33)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第56頁

下面給兩連桿機(jī)械手賦予詳細(xì)數(shù)值，而且對于靜止?fàn)顟B(tài)（）和在無重力環(huán)境中機(jī)械手求解方程(6.21)和(6.22)。求解在以下兩種條件下進(jìn)行:關(guān)節(jié)2處于鎖定狀態(tài)（）；關(guān)節(jié)2處于自由狀態(tài)(T2=0)。在第一個條件下,方程(6.21)和(6.22)簡化為

在第二種條件下，T2=0，我們能夠由方程(6.22)解出，再把它代入方程(6.21)，得到T1于是代入方程(6.21)有

(3.36)(3.35)(3.34)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第57頁

現(xiàn)在，取定d1=d2=1，m1=2，而對于三個不一樣m2

值，分別求出各個系數(shù)：m2=1，表示機(jī)械手無負(fù)載情況；m2=4，表示有負(fù)載；m2=100，表示位于外太空(無重力環(huán)境)機(jī)械手負(fù)載。在外太空，沒有重力負(fù)載，允許非常大工作負(fù)載。依據(jù)求得系數(shù)以及方程(3.34)和(3.35)，分別對應(yīng)關(guān)節(jié)2四種不一樣鎖定狀態(tài)IL和自由狀態(tài)If

，計(jì)算關(guān)節(jié)1慣量以下表所表示（表中IL表示鎖定狀態(tài)，If表示自由狀態(tài)）。表6.1m1=2,m2=1,d1=1,d2=1D11D12D22ILIfCosθ2162162

041143-120122

041143θ2靜力學(xué)和動力學(xué)分析第58頁表3.2m1=2,m2=4,d1=1,d2=1D11D12D22ILIfCosθ211884182

01044106-120422

01044106表3.3m1=2,m2=100,d1=1,d2=1D11D12D22ILIfCosθ214022001004022

0202100100202102-12010022

0202100100202102θ2θ2靜力學(xué)和動力學(xué)分析第59頁

上面三個表格中，靠右兩列表明關(guān)節(jié)1等效慣量。表3.1說明，對于無負(fù)載機(jī)械手來說，θ2從0°變?yōu)?80°，在鎖定狀態(tài)情況下，等效慣量IL改變?yōu)?:1。同時，在θ2＝0°時，鎖定狀態(tài)（IL）和自由狀態(tài)（If）等效慣量改變也為3:1。從表6.2能夠看出，對于加載機(jī)械手，θ2從0°變?yōu)?80°，在

鎖定狀態(tài)情況下，等效慣量IL改變?yōu)?:1。而自由狀態(tài)等效慣量If改變?yōu)?:1。對于表3.3所表示負(fù)載為100外太空機(jī)械手，在不一樣狀態(tài)下慣量改變竟為201:1。這些關(guān)聯(lián)改變情況對于機(jī)械手控制問題將有主要影響。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第60頁機(jī)械手動力學(xué)方程(TheManipulatorDynamicsEquation)

推導(dǎo)機(jī)械手動力學(xué)方程可按下述五個步驟進(jìn)行首先計(jì)算機(jī)械手任意連桿上任意一點(diǎn)速度；再計(jì)算它動能K；然后推導(dǎo)勢能P；形成拉格朗日算子L=K－P；對拉格朗日算子進(jìn)行微分得到動力學(xué)方程。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第61頁靜力學(xué)和動力學(xué)分析第62頁2.3.1

歐拉方程歐拉方程又稱為牛頓-歐拉方程，應(yīng)用歐拉方程建立機(jī)器人機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程是指：研究構(gòu)件質(zhì)心運(yùn)動使用牛頓方程，研究相對于構(gòu)件質(zhì)心轉(zhuǎn)動使用歐拉方程。歐拉方程表征了力、力矩、慣性張量和加速度之間關(guān)系。質(zhì)量為m、質(zhì)心在C點(diǎn)剛體，作用在其質(zhì)心力F大小與質(zhì)心加速度aC關(guān)系為：

F=maC

欲使剛體得到角速度為ω、角加速度為ε轉(zhuǎn)動，則作用在剛體上力矩M大小為

M=CIε+ω×CIω

式中：M、ε、ω均為三維矢量；CI為剛體相對于原點(diǎn)經(jīng)過質(zhì)心C并與剛體固結(jié)剛體坐標(biāo)系慣性張量。式(2.22)即為歐拉方程。

靜力學(xué)和動力學(xué)分析第63頁在三維空間運(yùn)動任一剛體，其慣性張量CI可用質(zhì)量慣性矩IXX、IYY、IZZ和慣性積IXY、IYZ、IZX為元素3×3階矩陣或4×4階齊次坐標(biāo)矩陣來表示。通常將描述慣性張量參考坐標(biāo)系固定在剛體上，以方便剛體運(yùn)動分析。這種坐標(biāo)系稱為剛體坐標(biāo)系(簡稱體坐標(biāo)系)。

靜力學(xué)和動力學(xué)分析第64頁2.3.2

拉格朗日方程

在機(jī)器人動力學(xué)研究中，主要應(yīng)用拉格朗日方程建立起機(jī)器人動力學(xué)方程。這類方程可直接表示為系統(tǒng)控制輸入函數(shù)，若采取齊次坐標(biāo)，遞推拉格朗日方程也可建立比較方便而有效動力學(xué)方程。對于任何機(jī)械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)總動能Ek與總勢能Ep之差，即L=Ek–Ep

(2.23)

靜力學(xué)和動力學(xué)分析第65頁由拉格朗日函數(shù)L所描述系統(tǒng)動力學(xué)狀態(tài)拉格朗日方程(簡稱L–E方程，K和P能夠用任何方便坐標(biāo)系來表示)為式中：L為拉格朗日函數(shù)(又稱拉格朗日算子)；n為連桿數(shù)目；qi為系統(tǒng)選定廣義坐標(biāo)，單位為m或rad，詳細(xì)選m還是rad由qi為直線坐標(biāo)還是轉(zhuǎn)角坐標(biāo)來決定；

為廣義速度(廣義坐標(biāo)qi對時間一階導(dǎo)數(shù))，單位為m/s或rad/s，詳細(xì)選m/s還是rad/s由

是線速度還是角速度來決定；Fi為作用在第i個坐標(biāo)上廣義力或力矩，單位為N或N·m，詳細(xì)選N還是N·m由qi是直線坐標(biāo)還是轉(zhuǎn)角坐標(biāo)來決定。i=1,…,n(2.24)靜力學(xué)和動力學(xué)分析第66頁考慮式(2.24)中不顯含，上式可寫成(2.25)應(yīng)用式(2.25)時應(yīng)注意：(1)系統(tǒng)勢能Ep僅是廣義坐標(biāo)qi函數(shù)，而動能Ek是qi、

及時間t函數(shù)，所以拉格朗日函數(shù)能夠?qū)懗?/p>

L=L

(qi，

，t)。(2)若

是線位移，則

是線速度，對應(yīng)廣義力Fi就是力；若qi是角位移，則

是角速度，對應(yīng)廣義力Fi是力矩。靜力學(xué)和動力學(xué)分析第67頁本章結(jié)束靜力學(xué)和動力學(xué)分析