2017中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練(五)圓的有關(guān)計(jì)算、證明與探究圓的有關(guān)計(jì)算與證明是遵義中考的必考內(nèi)容之一，占有較大的比重，通常結(jié)合三角形、四邊形等知識綜合考查，以計(jì)算題、證明題的形式出現(xiàn)，解答此類問題要熟練掌握圓的基本性質(zhì)，特別是切線的性質(zhì)和判定，同時要注意已知條件之間的相互聯(lián)系．與圓的有關(guān)性質(zhì)【例1】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求證：CB∥PD；(2)若BC＝3，sinP＝eq\f(3,5)，求⊙O的直徑．(1)通過圓周角轉(zhuǎn)換找出一組內(nèi)錯角相等；(2)通過連接直徑所對圓周角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)解決直徑問題．【學(xué)生解答】解：(1)∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD；(2)連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴eq\o(BD,\s\up8(︵）＝eq\o(BC,\s\up8(︵）.∴∠P＝∠CAB.∴sin∠CAB＝sinP＝eq\f(3,5)，即eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5).又∵BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O的直徑為5.1．如圖，A，B是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOB＝120°，C是eq\o(AB,\s\up8(︵）的中點(diǎn)．(1)求證：AB平分∠OAC；(2)延長OA至P使得OA＝AP，連接PC，若⊙O的半徑R＝1，求PC的長．解：(1)連接OC，∵∠AOB＝120°，C是eq\o(AB,\s\up8(︵）的中點(diǎn)，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∵OA＝OC，∴△ACO是等邊三角形，∴OA＝AC.同理OB＝BC.∴OA＝AC＝BC＝OB.∴四邊形AOBC是菱形．∴AB平分∠OAC；(2)∵C為eq\o(AB,\s\up8(︵）中點(diǎn)，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°.∵OA＝OC，∴△OAC是等邊三角形．∴OA＝AC，∵OA＝AP，∴AP＝AC.∴∠APC＝30°.∴△OPC是直角三角形，PC＝eq\r(3)OC＝eq\r(3).圓的切線的性質(zhì)與判定【例2】如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點(diǎn)，CD＝CB，延長CD交BA的延長線于點(diǎn)E.(1)求證：CD為⊙O的切線；(2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求圖中陰影部分的面積．(結(jié)果保留π)(1)證∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的長，∠BOD的度數(shù)，又由S陰影＝S扇形OBD－S△BOD，即可求解．【學(xué)生解答】解：(1)連接OD，∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC＝90°.∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD.∵點(diǎn)D在⊙O上，∴CD為⊙O的切線；(2)在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝eq\r(3).∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2eq\r(3)，∠BOD＝2∠BOF＝120°.∴S陰影＝S扇形OBD－S△BOD＝eq\f(120π×22,360)－eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\f(4,3)π－eq\r(3).2．(2016南充中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)O，OC＝1，以點(diǎn)O為圓心OC為半徑作半圓．(1)求證：AB為⊙O的切線；(2)如果tan∠CAO＝eq\f(1,3)，求cosB的值．解：(1)如圖，作OM⊥AB于M，∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，∴OC＝OM，∴AB是⊙O的切線；(2)設(shè)BM＝x，OB＝y(tǒng)，則y2－x2＝1①，∵cosB＝eq\f(BM,OB)＝eq\f(BC,AB)，∴eq\f(x,y)＝eq\f(y＋1,x＋3)，∴x2＋3x＝y(tǒng)2＋y②，由①②可以得到：y＝3x－1，∴(3x－1)2－x2＝1，∴x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(5,4)，∴cosB＝eq\f(x,y)＝eq\f(3,5).3．(2016常德中考)如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD＝BC，延長AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BC＝eq\r(3)，AC＝5，求圓的直徑AD及切線BE的長．解：(1)如圖，連接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，OA＝BO，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵點(diǎn)B在⊙O上，∴BE是⊙O的切線；(2)如圖，設(shè)圓的半徑為R，連接CD，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(5,2)，∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴eq\f(DB,AC)＝eq\f(DE,BC)，∴eq\f(\r(3),5)＝eq\f(DE,\r(3），∴DE＝eq\f(3,5)，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴eq\f(OF,OB)＝eq\f(OD,OE)，∴eq\f(\f(5,2),R)＝eq\f(R,R＋\f(3,5），∵R>0，∴R＝3，∵BE是⊙O的切線，∴BE＝eq\r(DE×AE)＝eq\r(\f(3,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×3＋\f(3,5））＝eq\f(3\r(11),5).4．如圖，點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接AD.(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求陰影部分的面積．(結(jié)果保留π)解：(1)∵⊙O切BC于點(diǎn)D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC；(2)設(shè)EO與AD交于點(diǎn)M，連接ED.∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等邊三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由(1)知，AC∥OD即AE∥OD，∴四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DOM，∠EOD＝60°，∴S△AEM＝S△DMO，∴S陰影＝S扇形EOD＝eq\f(60π×22,360)＝eq\f(2π,3).圓與相似及三角函數(shù)綜合【例3】如圖，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線并在其上取一點(diǎn)C，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于點(diǎn)E，連接AD.(1)求證：△CDE∽△CAD；(2)若AB＝2，AC＝2eq\r(2)，求AE的長．(1)利用圓的知識證角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知識解決線段長度的計(jì)算．【學(xué)生解答】解：(1)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.又∵AC是⊙O的切線，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD.∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDE.又∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD；(2)在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，∴OA2＋AC2＝OC2，即12＋(2eq\r(2))2＝OC2，∴OC＝3，∴CD＝2.又由△CDE∽△CAD，得eq\f(CD,CE)＝eq\f(CA,CD)，即eq\f(2,CE)＝eq\f(2\r(2),2)，∴CE＝eq\r(2).∴AE＝AC－CE＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2).5．如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)G，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且滿足eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,3)，連接AF并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接AD，DE，若CF＝2，AF＝3.(1)求證：△ADF∽△AED；(2)求FG的長；(3)求證：tanE＝eq\f(\r(5),4).解：(1)∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴DG＝CG，∴eq\o(AD,\s\up8(︵）＝eq\o(AC,\s\up8(︵），∴∠ADF＝∠AED，∵∠