拋物線有許多重要性質(zhì).我們根據(jù)拋物線的標準方程研究它的一些簡單幾何性質(zhì).探究拋物線的簡單幾何性質(zhì)圖形標準方程焦點坐標準線方程方程圖形范圍對稱性頂點離心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對稱 關(guān)于x軸對稱 關(guān)于y軸對稱 關(guān)于y軸對稱（0,0）e=1拋物線的幾何性質(zhì)xyOFABy2=2px2p

過焦點而垂直于對稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑.

利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p2p越大，拋物線張口越大.1.通徑開闊視野

連接拋物線上任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑.焦半徑公式：xyOFP2.焦半徑(1)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；(2)拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;(3)拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線；(4)拋物線的離心率e是確定的，為１;(5)拋物線的通徑為2p,2p越大，拋物線的張口越大.【提升總結(jié)】解：因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），所以，可設(shè)它的標準方程為因為點M在拋物線上，所以因此,所求拋物線的標準方程是

【例１】已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點為坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），求它的標準方程.即p=2.分析：由拋物線的方程可以得到它的焦點坐標，又直線l的斜率為1，所以可以求出直線l的方程；與拋物線的方程聯(lián)立，可以求出A,B兩點的坐標；利用兩點間的距離公式可以求出∣AB｜.這種方法雖然思路簡單，但是需要復雜的代數(shù)運算.數(shù)形結(jié)合的方法xyOFABBA''xy42=題點線xyOFABBA''分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．

如上題，求證：以AB為直徑的圓和拋物線的準線相切．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準線l相切．證明：如圖，設(shè)AB的中點為E，過A，E，B分別向準線l引垂線AD，EH，BC，垂足分別為D，H，C，則｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜

=2｜EH｜2.已知點A（-2，3）與拋物線的焦點的距離是5，則p=

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43.已知直線x-y=2與拋物線交于A，B兩點，那么線段AB的中點坐標是

.4.探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處.已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm，建系如圖所示，求拋物線的標準方程和焦點位置.xyO(40,30)所在平面內(nèi)建立直角坐標系,使反射鏡的頂點與原點重合,x軸垂直于燈口直徑.解：在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標準方程為:y2=2px（p＞0），由條件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解得:p=故所求拋物線的標準方程為:y2=x,焦點為(,0)范圍