第二節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題[最新考綱]1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.線性規(guī)劃中的相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])二元一次不等式表示的區(qū)域(1)若B(Ax＋By＋C)>0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方．(2)若B(Ax＋By＋C)<0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一．()(3)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域．()(4)線性目標函數(shù)取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材改編1．下列各點中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A．(0，0) B．(－1，1)C．(－1，3) D．(2，－3)C[∵－1＋3－1＞0，∴點(－1，3)不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選C.]2．不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6＜0，,x－y＋2≥0))表示的平面區(qū)域是()ABCDC[把點(0，0)代入不等式組可知，點(0，0)不在x－3y＋6＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，點(0，0)在x－y＋2≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選C.]3．已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))則z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分別是()A．3，－3 B．2，－4C．4，－2 D．4，－4C[不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示．其中A(－1，－1)，B(2，－1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，畫直線l0：y＝－2x，平移l0過B時，zmax＝4，平移l0過點A時，zmin＝－2.]4．投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米．現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為________．(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200x＋300y≤1400，,200x＋100y≤900，,x≥0，,y≥0))[用表格列出各數(shù)據(jù)：AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy資金200x300y1400場地200x100y900所以不難看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1400，200x＋100y≤900.]考點1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)平面區(qū)域的確定：直線定界，特殊點定域．①直線定界：當不等式中帶等號時，邊界為實線；不帶等號時，邊界應畫為虛線；②特殊點定域：常用的特殊點為(0，0)，(1，0)，(0，1)．(2)平面區(qū)域的形狀問題主要有兩種題型：①確定平面區(qū)域的形狀，求解時先畫滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀；②根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問題，求解時通常先畫滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對參數(shù)進行必要的討論．1.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)大致是()ABCDC[(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0，))與選項C符合．故選C.]2．若不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域的形狀是三角形，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥eq\f(4,3) B．0<a≤1C．1≤a≤eq\f(4,3) D．0<a≤1或a≥eq\f(4,3)D[作出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示)．由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角形，只需動直線l：x＋y＝a在l1，l2之間(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．]3．(2019·南昌模擬)已知不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤kx－1，,y≥0))所表示的平面區(qū)域為面積等于eq\f(1,4)的三角形，則實數(shù)k的值為()A．－1 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．1D[由題意知k>0，且不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤kx－1，,y≥0))所表示的平面區(qū)域如圖所示．∵直線y＝kx－1與x軸的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，0))，直線y＝kx－1與直線y＝－x＋2的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k＋1)，\f(2k－1,k＋1)))，∴三角形的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))×eq\f(2k－1,k＋1)＝eq\f(1,4)，解得k＝1或k＝eq\f(2,7)，經(jīng)檢驗，k＝eq\f(2,7)不符合題意，∴k＝1.]4．若函數(shù)y＝2x圖象上存在點(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))則實數(shù)m的最大值為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2B[在同一直角坐標系中作出函數(shù)y＝2x的圖象及eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．由圖可知，當m≤1時，函數(shù)y＝2x的圖象上存在點(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為1.](1)平面區(qū)域內(nèi)的點滿足“同側(cè)同號、異側(cè)異號”的規(guī)律，如T1，T4.(2)計算平面區(qū)域的面積時，根據(jù)平面區(qū)域的形狀，先求出有關(guān)的交點坐標、線段長度，最后根據(jù)相關(guān)圖形的面積公式進行計算，如果是不規(guī)則圖形，則可通過割補法計算面積．考點2求目標函數(shù)的最值求線性目標函數(shù)的最值截距型：形如z＝ax＋by.求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式，通過求直線的截距eq\f(z,b)的最值間接求出z的最值．注意平面區(qū)域要畫對，特別是圖中涉及到直線的斜率大小關(guān)系．(2018·全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y－2≤0，,x－y＋1≥0，,y≤0，))則z＝3x＋2y的最大值為________．6[作出可行域為如圖所示的△ABC所表示的陰影區(qū)域，作出直線3x＋2y＝0，并平移該直線，當直線過點A(2，0)時，目標函數(shù)z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.][母題探究]本例條件不變，試求z＝3x－2y的范圍．[解]z＝3x－2y變形為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(1,2)z，由本例可行域知直線y＝eq\f(3,2)x－eq\f(1,2)z過A點時截距取得最小值，而z恰好取得最大值，即z＝6.過C點時截距取得最大值而z恰好取得最小值，即z＝－6，∴z＝3x－2y的范圍為[－6，6]．充分理解目標函數(shù)的幾何意義是求解本類問題的關(guān)鍵．(2019·北京高考)若x，y滿足|x|≤1－y，且y≥－1，則3x＋y的最大值為()A．－7 B．1C．5 D．7C[由題意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≤0，,y≥－1))，作出可行域如圖陰影部分所示.設z＝3x＋y，y＝z－3x，當直線l0：y＝z－3x經(jīng)過點C(2，－1)時，z取最大值5.故選C.]求非線性目標函數(shù)的最值非線性目標函數(shù)的常見代數(shù)式的幾何意義主要有：(1)距離型：eq\r(x2＋y2)表示點(x，y)與原點(0，0)間的距離，eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)表示點(x，y)與點(a，b)間的距離．(2)斜率型：eq\f(y,x)表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率，eq\f(y－b,x－a)表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．(2019·廣州模擬)若實數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x≥0，,y≤2.))則eq\f(y,x)的取值范圍為________．[2，＋∞)[作出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示．z＝eq\f(y,x)表示可行域內(nèi)任一點與坐標原點連線的斜率，因此eq\f(y,x)的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,y＝2，))得B(1，2)，所以kOB＝eq\f(2,1)＝2，即zmin＝2，所以z的取值范圍是[2，＋∞)．][母題探究]1．本例條件不變，則目標函數(shù)z＝x2＋y2的取值范圍為________．[1，5][z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意一點與坐標原點之間距離的平方．因此x2＋y2的最小值為OA2，最大值為OB2.易知A(0，1)，所以OA2＝1，OB2＝12＋22＝5，所以z的取值范圍是[1，5]．]2．本例條件不變，則目標函數(shù)z＝eq\f(y－1,x－1)的取值范圍為________．(－∞，0][z＝eq\f(y－1,x－1)可以看作點P(1，1)與平面內(nèi)任一點(x，y)連線的斜率．易知點P(1，1)與A(0，1)連線的斜率最大，為0.無最小值．所以z的取值范圍是(－∞，0]．]求非線性目標函數(shù)的最值時，注意目標函數(shù)的幾何意義及轉(zhuǎn)化的等價性，如x2＋y2是距離的平方，易忽視平方而求錯，eq\f(y－1,x－1)是點(x，y)與(1，1)連線的斜率，易誤認為點(x，y)與(－1，－1)連線的斜率．(2019·海南五校模擬)已知實數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x－y≥－2，,y≥1，))則(x－3)2＋(y＋2)2的最小值為________．13[畫出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x－y≥－2，,y≥1))表示的平面區(qū)域(圖略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域內(nèi)的點(x，y)與(3，－2)兩點間距離的平方，通過數(shù)形結(jié)合可知，當(x，y)為直線x＋y＝2與y＝1的交點(1，1)時，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值為13.]求參數(shù)值或取值范圍由目標函數(shù)的最值求參數(shù)的2種基本方法一是把參數(shù)當成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)．(1)已知z＝2x＋y，其中實數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋y≤2，,x≥a，))且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是()A．eq\f(2,11) B．eq\f(1,4)C．4 D．eq\f(11,2)(2)(2019·湖南湘東六校聯(lián)考)若變量x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－1≥0，,3x＋y－11≤0，,y≥2，))且z＝ax－y的最小值為－1，則實數(shù)a的值為________．(1)B(2)2[(1)作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，由圖可知當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A時，直線的縱截距最大，z取最大值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即A(1，1)，zmax＝2×1＋1＝3.當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點B時，直線的縱截距最小，此時z最?。蒭q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝a，))則點B(a，a)．∴zmin＝2×a＋a＝3a∵z的最大值是最小值的4倍，∴3＝4×3a，即a＝eq\f(1,4).(2)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知，若a≥3，則直線z＝ax－y經(jīng)過點B(1，2)時，z取得最小值，由a－2＝－1，得a＝1，與a≥3矛盾；若0<a<3，則直線z＝ax－y經(jīng)過點A(2，5)時，z取得最小值，由2a－5＝－1，解得a＝2；若a≤0，則直線z＝ax－y經(jīng)過點A(2，5)或C(3，2)時，z取得最小值，此時2a－5＝－1或3a－2＝－1，解得a＝2或a＝eq\f(1,3)，與a≤0矛盾，綜上可知實數(shù)a的值為2.](1)“目標函數(shù)”含參，使問題從“靜態(tài)”化為“動態(tài)”，即對線性規(guī)則問題融入動態(tài)因素，用運動變化的觀點來探究參數(shù)，此類試題旨在考查學生逆向思維及數(shù)形結(jié)合解決問題的能力．(2)當“約束條件”含參時，可根據(jù)條件先確定可行域上的邊界點或者邊界線，進而確定“約束條件”中所含有的參數(shù)值，然后畫出可行域，把問題轉(zhuǎn)化為一般形式的線性規(guī)劃問題．x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為()A.eq\f(1,2)或－1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1D[作出可行域(如圖)，為△ABC內(nèi)部(含邊界)．由題設z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一可知：線性目標函數(shù)對應直線與可行域某一邊界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝eq\f(1,2)可得a＝－1或a＝2或a＝eq\f(1,2)，驗證：a＝－1或a＝2時，成立；a＝eq\f(1,2)時，不成立．故選D.]考點3線性規(guī)劃的實際應用解線性規(guī)劃應用題的一般步驟(1)審題——仔細閱讀，明確有哪些限制條件，目標函數(shù)是什么．(2)轉(zhuǎn)化——設元，寫出約束條件和目標函數(shù)．(3)求解——關(guān)鍵是明確目標函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系．(4)作答——就應用題提出的問題作出回答．某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料．生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元．分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．(1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應的平面區(qū)域；(2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤．[解](1)由題意知，x，y滿足的數(shù)學關(guān)系式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≤200，,8x＋5y≤360，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0.))該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分．圖1(2)設利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z＝2x＋3y.考慮z＝2x＋3y，將它變形為y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)，它的圖象是斜率為－eq\f(2,3)，隨z變化的一族平行直線，eq\f(z,3)為直線在y軸上的截距，當eq\f(z,3)取最大