大衍求一術

人教高中數(shù)學大衍求一術課件什么是大衍求一術？★所謂“大衍求一術”,是一種解一次同余式或聯(lián)立一次同余式組的方法：簡單說，就是對Bx≡1(modA)求整數(shù)x,其中A、B是給定的互質(zhì)自然數(shù),在《數(shù)學九章》里A稱為定母,B稱為衍數(shù),x稱為乘率。如果A<B,則先以A除B,得余數(shù)B1(古算書中稱為奇余),然後求整數(shù)

x

使其滿足B1x≡1(modA)★最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》（公元400年左右）中的“物不知其數(shù)”是經(jīng)典的一次同余式題，以后在許多古算書中有不少類似的實用題出現(xiàn)；南宋數(shù)學家秦九韶在《數(shù)學九章》（又稱《數(shù)書九章》，公元1247年）里總結前人關于天文歷法推算上元積年的研究成果，系統(tǒng)提出了這類問題的通解方法，稱為“大衍求一術”。什么是大衍求一術？秦九韶對“大衍求一術”的具體運算方法表述為：大衍求一數(shù)云︰置奇右上，定居右下，立天元一于左上；先以右上除右下，所得商數(shù)與左上一相生，入左下。然后乃以右行上下，以少除多，遞互除之，所得商數(shù)隨即遞互累乘，歸左行上下；須使右上末后奇一而止，乃驗左上所得，以為乘率?！璼b=1衍數(shù)B(或奇余B1)sa=0定母A上面這段文字看不懂不要緊，后面實例說明秦九韶對“大衍求一術”的具體運算方法表述為：大衍求一數(shù)云︰置例1定母a=15奇余b=7701572115÷7，商數(shù)2×1+0，記入左下

余數(shù)1，記入右下7÷1，商數(shù)6×2+1=13記入左上

余1，記入右上（b≠0）右上“奇一而止”左上13

即為乘率

7×13=15×6+1左圖MathStudio計算單sb=13即乘率注意：右上不能為0，最后必須止于1121例1定母a=15奇余b=77715÷7，例2定母a=256奇余b=8181025681313331337911791256÷81=33×1+0=3記入左下余13記入右下81÷13=66×3+1=19記入左上余3記入右上13÷3=44×19+3=79記入左下余1記入右下3÷1=22×79+19=177記入左上余1記入右上81×177=256×56+1注意：右上不能為0，最后必須止于1例2定母a=256奇余b=8181例3定母a=337奇余b=25612560337256181131814132531253337÷256=11×1+0=1記入左下余81記入右下256÷81=33×1+1=4記入左上余13記入右上81÷13=66×4+1=25記入左下余3記入右下13÷3=44×25+4=104記入左上余1記入右上256×104=337×79+1例3定母a=337奇余b=2561例4定母a=256衍數(shù)b=337大衍求一術計算時，要求a>b如果a<b，則b1=mod(b,a)以b1替代bmod(337,256)=81原題化為

定母a=256奇余b1=81與例2相同（下略）例4定母a=256衍數(shù)b=337通過例1～例4的演算，對前面引出的那段古文的含意會有所了解并悟出大衍求一術的計算訣竅了吧？初始狀態(tài)：

要求a>bb≠0右列上下兩數(shù)輾轉相除當右下>右上時，所得商數(shù)與左上相乘加

左下，記入左下當右上>右下時，所得商數(shù)與左下相乘加

左上，記入左上當右上>1,右下=1時，

為了mod(右上，右下）≠0

取商數(shù)=（右上-1）/1當

右上為1，計算結束，左上即為所求乘率衍數(shù)b(或奇余b1)0定母a置奇右上，定居右下，立天元一于左上先以右上除右下，所得商數(shù)與左上一相生，入左下然后乃以右行上下，以少除多，遞互除之，所得商數(shù)隨即遞互累乘，歸左行上下須使右上末后奇一而止，乃驗左上所得，以為乘率人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件通過例1～例4的演算，對前面引出的那段古文的含意會有所了解并大衍求一術有什么神奇之處？我們通過一個比較復雜的同余式題略窺一斑秦九韶《數(shù)學九章》的“古歷會積”里，涉及計算9253x≡1（mod225600）如果不用大衍求一術，怎么求解呢？首先能想到的是用簡單易行的“笨辦法”-窮舉法在聯(lián)想揚天R4900d臺式機上主頻3.3GHz內(nèi)存4GB

CPUIntelCorei5-4590，Matlab5計算過程耗時976.662秒（超過16分鐘）在同一臺式機上Matlab5按大衍求一術編程計算計算過程耗時0.032秒窮舉法計算本題至少約需12億次以上，大衍求一術僅需12次輾轉相除和相應計算大衍求一術簡化了運算過程，大大提升了求解速度這在古代使用籌算的年代尤為重要人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件大衍求一術有什么神奇之處？人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件窮舉法計算9253*x=225600*m+1聯(lián)想揚天R4900d臺式機CPUIntelCorei5-4590，Matlab5耗時976.662秒臺式機大衍求一術計算耗時0.032秒，相差3萬多倍人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件窮舉法計算9253*x=225600*m+1人教高中數(shù)iPad2MathStudio（窮舉法未能通過）按大衍求一術手工計算12次輾轉相除運算過程的數(shù)據(jù)如左圖每次輾轉相除所得商數(shù)、余數(shù)按規(guī)定的計算規(guī)則記入后頁框圖這樣的計算在沒有電腦和計算器的古代也是很費時費力的人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件iPad2MathStudio人教高中數(shù)學大衍求一術p9253

02256009253243528219724352821977313318667313318661954654011954654015126417512641710679134106791345288311727171528831以上是運用大衍求一術手工計算9253*x=225600*m+1全過程的數(shù)據(jù)框圖，與MathStudio的編程計算結果完全符合人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件92539iPad2用大衍求一術編程解：9253*x=225600*m+1答案：x=172717m=7084耗時：2ms循環(huán)計算次數(shù)t=12

在iPad上窮舉法計算未能通過，可能是內(nèi)存不堪重負吧人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件iPad2用大衍求一術編程解：9253*x=225600大衍求一術算出的乘率究竟是個什么數(shù)？s=1bstrt=10ast-1rt-1

左圖是起始狀態(tài)右圖是終止狀態(tài)右列上下兩數(shù)每次輾轉相除，得商數(shù)q,余數(shù)r,經(jīng)t次計算后

以此逆推到起始狀態(tài)，即得證st=qt×st-1+st-2如果得到b×st

≡1(moda)網(wǎng)絡上可以查到許多有關用現(xiàn)代通用數(shù)學語言符號全面深入探討大衍求一術的資料，給出了大衍求一術的證明，例如《秦九韶大衍術與高斯<算術探討>》（沈康身）論[大衍求一術]（未知作者）《大衍求一術與二元一次不定方程》（文耀光）等有興趣請查閱，在此不贅述。人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件大衍求一術算出的乘率究竟是個什么數(shù)？人教高中數(shù)學大衍求一術p★秦九韶（1202～1261）的算法非常嚴密，但他沒有對這一算法給出證明。到18、19世紀歐拉（1707～1783）和高斯（1777～1855）分別對一次同余式組進行了詳細研究，殊途同歸地獲得了與秦九韶“大衍術”相同的定理?！?852年英國傳教士偉烈亞力發(fā)表《中國科學摘記》，介紹了《孫子算經(jīng)》物不知數(shù)題和秦九韶的解法，引起歐洲學者的重視；1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶（1247）的算法與高斯（1801）的算法是一致的，在時間上秦九韶領先了五百多年；因此關于這一算法被稱作“中國剩余定理”★今天我們漫步在中國古算的花園里，優(yōu)哉游哉，興趣盎然；同時我們不得不對先哲們的超凡睿智滿懷敬仰，又為大師們鍥而不舍、孜孜以求的堅韌毅力而嘆服?！镪P于應用MathStudio按大衍求一術求解“物不知數(shù)”等題，以后繼續(xù)探討。人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt謝謝聆聽！人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件謝謝聆聽！人教高中數(shù)學大衍求一術ppt課件人教高中數(shù)學大衍求1.中美貿(mào)易摩擦已升級為輿論戰(zhàn)，堅持正確輿論導向、弘揚愛國主義精神尤為重要。2.愛國主義精神具有深厚的歷史性，極強的傳承力、感染力，以及堅韌性，頑強性和理性。3.愛國主義精神，是在中國共產(chǎn)黨近百年之奮斗史中不斷形成，積聚與升華而成的。4.面對史上規(guī)模最大的貿(mào)易戰(zhàn)，中國政府和人民最重要的是“集中力量做好自己的事”5.美方發(fā)起貿(mào)易戰(zhàn)，進行恫嚇威脅，不會給中國發(fā)展帶來困難和影響，只會更加激發(fā)中國人民