考點(diǎn)04不等式及性質(zhì)【命題解讀】不等式的性質(zhì)是新高考?？疾榈闹R點(diǎn)，主要常見于單選題或者多選題中出現(xiàn)。考查不等式的比較大小，常用的方法一是運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷，二是運(yùn)用特殊化進(jìn)行排除?！净A(chǔ)知識回顧】1、兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1)a－b＞0?a＞b.(2)a－b＝0?a＝b.(3)a－b＜0?a＜b.2、不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>b?b<a；(2)傳遞性：a>b，b>c?aeq\a\vs4\al(>)c；(3)可加性：a>b?a＋ceq\a\vs4\al(>)b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc;a>b>0，c>d>0?ac>bd；c<0時(shí)應(yīng)變號．(5)可乘方性：a>b>0?aneq\a\vs4\al(>)bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方性：a>b>0?eq\r(n,a)eq\a\vs4\al(>)eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3、常見的結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).4、兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．1、下列四個(gè)命題中，為真命題的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若a>b，c>d，則a－c>b－dC．若a>|b|，則a2>b2D．若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)【答案】C【解析】當(dāng)c＝0時(shí)，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1時(shí)，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故選C．2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）（多選題）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列不等式中恒成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【解析】當(dāng)SKIPIF1<0，滿足條件．但SKIPIF1<0不成立，故A錯(cuò)誤，

當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故C正確，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D正確.

故選：CD．3、（2020江蘇鹽城中學(xué)月考）（多選題）下列命題為真命題的是（）.A．若，則B．若，，則C．若，且，則D．若，且，則【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：當(dāng)取，時(shí)，，∴本命題是假命題.選項(xiàng)B：已知，，所以，∴，故，∴本命題是真命題.選項(xiàng)C：，∵，∴，∴本命題是真命題.選項(xiàng)D：，∵，∴，∴，∴本命題是真命題.故選：BCD4、若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，則a____b(填“＞”或“＜”)．【答案】＜【解析】：易知a，b都是正數(shù)，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝log89＞1，所以b＞a.5、已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．【答案】：(－4,2)(1,18)【解析】∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.考向一不等式的性質(zhì)例1、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知SKIPIF1<0均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0【答案】BC【解析】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A錯(cuò)；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，故B對；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故C對；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D錯(cuò)；故選：BC．變式1、若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，給出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab)；②|a|＋b＞0；③a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)；④lna2＞lnb2.其中正確的不等式是()A.①④ B.②③ C.①③ D.②④【答案】C【解析】方法一因?yàn)閑q\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)閘na2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④錯(cuò)誤.綜上所述，可排除A，B，D.方法二由eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，可知b＜a＜0.①中，因?yàn)閍＋b＜0，ab＞0，所以eq\f(1,a＋b)＜0，eq\f(1,ab)＞0.故有eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab)，即①正確；②中，因?yàn)閎＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②錯(cuò)誤；③中，因?yàn)閎＜a＜0，又eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，則－eq\f(1,a)＞－eq\f(1,b)＞0，所以a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)，故③正確；④中，因?yàn)閎＜a＜0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上為減函數(shù)，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以lnb2＞lna2，故④錯(cuò)誤.由以上分析，知①③正確.變式2、已知x，y∈R，且x>y>0，則()A．eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0B．sinx－siny>0C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0D．lnx＋lny>0【答案】C【解析】函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴當(dāng)x>y>0時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0，故C正確；函數(shù)y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴由x>y>0?eq\f(1,x)<eq\f(1,y)?eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，故A錯(cuò)誤；函數(shù)y＝sinx在(0，＋∞)上不單調(diào)，當(dāng)x>y>0時(shí)，不能比較sinx與siny的大小，故B錯(cuò)誤；x>y>0xy>1ln(xy)>0lnx＋lny>0，故D錯(cuò)誤．變式3、（2020·邵東創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三月考）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，則a2＞b2 B．若ab＝4，則a＋b≥4C．若a＞b，則ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，則【答案】AD【解析】對于A，若，根據(jù)不等式的性質(zhì)則，故A正確；對于B，當(dāng)，時(shí)，，顯然B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對于D，，因?yàn)?，，所以，，所以所以，即成立，故D正確．故選AD．方法總結(jié)：判斷多個(gè)不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明.常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)，常見的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考：①不等式兩邊都乘以一個(gè)代數(shù)式時(shí)，考察所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0；②不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)平方后不等號方向不一定保持不變；③不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號方向不變等.考向二不等式的比較大小例2、設(shè)a>b>0，試比較eq\f(a2－b2,a2＋b2)與eq\f(a－b,a＋b)的大小．解法一(作差法)：eq\f(a2－b2,a2＋b2)－eq\f(a－b,a＋b)＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．因?yàn)閍>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．所以SKIPIF1<0>0，所以eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b)．解法二(作商法)：因?yàn)閍>b>0，所以eq\f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq\f(a－b,a＋b)>0．所以eq\f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝SKIPIF1<0＝eq\f(a2＋b2＋2ab,a2＋b2)＝1＋eq\f(2ab,a2＋b2)>1．所以eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b)．變式1、若a<0，b<0，則p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與q＝a＋b的大小關(guān)系為()A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q【答案】：B【解析】(作差法)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因?yàn)閍<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，則p－q＝0，故p＝q；若a≠b，則p－q<0，故p<q.綜上，p≤q.故選B.變式2、已知a>b>0，比較aabb與abba的大?。窘馕觥俊遝q\f(aabb,abba)＝eq\f(aa－b,ba－b)＝SKIPIF1<0，又a>b>0，故eq\f(a,b)>1，a－b>0，∴SKIPIF1<0>1，即eq\f(aabb,abba)>1，又abba>0，∴aabb>abba，∴aabb與abba的大小關(guān)系為aabb>abba.變式3、設(shè)0<x<1，a>0且a≠1，比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小解法一：當(dāng)a>1時(shí)，由0<x<1知，loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0，∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，∵0<1－x2<1，∴l(xiāng)oga(1－x2)<0，從而－loga(1－x2)>0，故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．當(dāng)0<a<1時(shí)，同樣可得|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．解法二(平方作差)：|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2＝loga(1－x2)·logaeq\f(1－x,1＋x)＝loga(1－x2)·logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2x,1＋x)))>0．∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．方法總結(jié)：比較大小的方法(1)作差法，其步驟：作差?變形?判斷差與0的大小?得出結(jié)論．(2)作商法，其步驟：作商?變形?判斷商與1的大小?得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小考向三運(yùn)用不等式求代數(shù)式的取值范圍例3、設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________.【答案】[5，10]【解析】方法一設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.變式1、設(shè)SKIPIF1<0那么SKIPIF1<0的取值范圍是____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】：由題設(shè)得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0變式2、(2020·天津模擬)若α，β滿足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是()A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π【答案】C【解析】：∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<2α<π.∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(3π,2).又α－β<0，α<eq\f(π,2)，∴2α－β<eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).方法總結(jié)：求代數(shù)式的取值范圍一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍1、（2019年高考全國II卷理數(shù)）若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)镾KIPIF1<0，知B錯(cuò)，排除B；取SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知D錯(cuò)，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)SKIPIF1<0是增函數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選C．2、（2016?新課標(biāo)Ⅰ，理8）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤，∵函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0錯(cuò)誤；∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確；故選SKIPIF1<0．3、（2014山東）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則一定有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由不等式性質(zhì)知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選D．4、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）若SKIPIF1<0，則下列不等式中正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】對A，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，故A正確；對B，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0不成立，故B錯(cuò)誤；對C，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0不成立，故C錯(cuò)誤；對D，SKIPIF1<0成立，從而有SKIPIF1<0成立，故D正確；故選：AD.5、已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是【答案】SKIPIF1<0