高能物理過程的精確計(jì)算中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)張仁友2006年10月31日桂林10/24/202211.引言標(biāo)準(zhǔn)模型的檢驗(yàn)

W，Z，top等粒子的物理特性的精確測量…Higgs粒子的尋找與測量

Higgs粒子是否存在

Higgs粒子的物理特性是否是標(biāo)準(zhǔn)模型的Higgs粒子新物理的發(fā)現(xiàn)與精確測量

超對稱，額外維，小Higgs模型…等新模型的發(fā)現(xiàn)；模型參數(shù)測量10/24/20222高能對撞機(jī)Tevatron(running)

com:

1.96

TeV

PPbar

lumi:

2E32

cm-2s-1

CDF,D0LHC(2007)

com:

14

TeV

PP

lumi:

2E33

cm-2s-1

@lowluminisity,then2E34

cm-2s-1

ATLAS，CMS，LHCb，AliceLC(inthefuture)e+e-collision

andgamma-gammacollision,ore-gammacollision

NLC,JLC,TESLA,CLIC10/24/20223大量費(fèi)曼圖的計(jì)算；標(biāo)量積分函數(shù)的計(jì)算；張量積分函數(shù)推導(dǎo)為標(biāo)量積分函數(shù)的計(jì)算；控制數(shù)值計(jì)算的精度。多體末態(tài)!

高精度！理論上高精度計(jì)算存在的四個(gè)主要問題:10/24/202242.量子場論計(jì)算的基礎(chǔ)知識可觀測量O的期望值:其中

為過程的矩陣元（動(dòng)力學(xué)部分）為相空間體積元10/24/20225a)費(fèi)曼規(guī)則:費(fèi)曼圖數(shù)學(xué)表達(dá)式

圖形與幅度的轉(zhuǎn)換過程是按照費(fèi)曼圖圖形技術(shù)中所對應(yīng)的規(guī)則進(jìn)行的;外線對應(yīng)自由波函數(shù)，內(nèi)線對應(yīng)著傳播函數(shù)，頂點(diǎn)對應(yīng)相互作用頂點(diǎn)。例:費(fèi)米子傳播函數(shù)的規(guī)則和三膠子作用頂點(diǎn)的規(guī)則：

10/24/20226例：矩陣元其中10/24/20227二階張量圈圖積分函數(shù)部分：矩陣元中剩余部分：標(biāo)量積分函數(shù)：10/24/20228b)IR和UV發(fā)散的正規(guī)化

k0,IR發(fā)散!

kinf,UV發(fā)散!維數(shù)正規(guī)化方案（n=4-2）

UV發(fā)散的l圈圖積分函數(shù)則出現(xiàn)最高達(dá)階極點(diǎn)項(xiàng)。

IR發(fā)散的l圈圖積分函數(shù)則可以出現(xiàn)直到

階的極點(diǎn)項(xiàng)。10/24/20229c)

N條外線過程的NLO計(jì)算含膠子、光子或輕夸克輻射的N+1條外線樹圖的對應(yīng)幅度產(chǎn)生；實(shí)(膠子、光子、輕夸克)輻射過程軟、共線發(fā)散的分離；PDF抵消項(xiàng)貢獻(xiàn)中紅外發(fā)散(共線發(fā)散)的分離；N條外線單圈圖(包括抵消項(xiàng)圖)的對應(yīng)幅度的產(chǎn)生；計(jì)算單圈圖，分離出軟、共線發(fā)散；將上述貢獻(xiàn)相加，消除紫外及紅外發(fā)散；有限貢獻(xiàn)的幅度數(shù)值計(jì)算。10/24/2022103.單圈標(biāo)量積分函數(shù)計(jì)算

n（=4-2）維下費(fèi)曼圖對應(yīng)的幅度可以表示為對張量積分函數(shù)與外部張量S的乘積求和，即其中S只與外線運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)．10/24/202211

I的一般形式為：

對應(yīng)于對稱張量組合．例如：標(biāo)量系數(shù)可以通過Passarino-Veltman方法求出．它們由標(biāo)量積分函數(shù)表示出．上述即為張量積分的約化過程。

10/24/202212（1）標(biāo)量A,B,C,D圈積分函數(shù)定義;

其中:10/24/202213（2)基本標(biāo)量積分函數(shù)計(jì)算:

以為例來說明標(biāo)量函數(shù)的計(jì)算。1）Feynman或Schwiger

參數(shù)化.Feynman參數(shù)化

Schwiger參數(shù)化2）積分變量平移.

定義:

10/24/2022143）Wick旋轉(zhuǎn).4）D維歐氏空間的球坐標(biāo)變換.10/24/2022155）角向及徑向積分.

作變換：

并對徑向作積分：有：角向積分：10/24/202216（3）A,B標(biāo)量積分函數(shù)的解析結(jié)果：

G.'tHooftandM.Veltman,NLB153,365(1979)

10/24/202217對標(biāo)量五點(diǎn)積分函數(shù)：

(A.DennerandS.Dittmaier,hep-ph/0212259)

(4)五點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)計(jì)算:10/24/202218(5)六點(diǎn)標(biāo)量積分函數(shù)計(jì)算:Guo

方法：定義5點(diǎn)和6點(diǎn)標(biāo)量積分函數(shù)：并用表示消去傳播子后得到的5點(diǎn)函數(shù)。10/24/202219定選擇系數(shù)，使得：取：10/24/202220得到：其中，為Gram行列式。Binoth的方法：其中：10/24/20222110/24/2022224.張量積分函數(shù)計(jì)算(1)Passarino-Veltman

方法：

例如，對于3點(diǎn)2階張量積分：N點(diǎn)p階張量積分：利用下面的性質(zhì)降階：10/24/202223其中：三、四、五點(diǎn)張量積分函數(shù)推導(dǎo)中出現(xiàn)的Gram矩陣分別為：

將p階的N點(diǎn)張量積分函數(shù)系數(shù)表示為低階張量的N點(diǎn)和N-1,N-2,…的積分函數(shù)系數(shù)。降階過程中會(huì)出現(xiàn)Gram矩陣求逆。遞歸地采用PV方法，解線性方程組，最終將張量積分函數(shù)系數(shù)表示為標(biāo)量積分函數(shù)。10/24/202224小結(jié)：該方法原則上適用于所有1，2，3，4，5點(diǎn)張量多點(diǎn)積分函數(shù)的計(jì)算。這種方法會(huì)出現(xiàn)Gram矩陣求逆，當(dāng)Gram行列式值很小時(shí)會(huì)產(chǎn)生積分函數(shù)數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定性。四點(diǎn)以下（含四點(diǎn)）積分函數(shù)數(shù)值計(jì)算中Gram行列式值很小的區(qū)域僅僅出現(xiàn)在相空間的邊緣附近（如前后向區(qū)，閾值附近）。5點(diǎn)積分函數(shù)數(shù)值計(jì)算中Gram行列式值很小的區(qū)域可能出現(xiàn)在相空間中間。10/24/202225(2)Denner-Dittmaier

方法:（hep-ph/0212259

）10/24/202226矢量積分：2階張量積分：10/24/2022273階張量積分：10/24/202228該方法避免出現(xiàn)Gram矩陣求逆的計(jì)算。10/24/2022295.

六點(diǎn)張量積分的計(jì)算（1）Guo

方法：利用上式將6點(diǎn)張量積分化為5點(diǎn)同階及低階張量積分。得到的5點(diǎn)張量積由Denner-Dittmaier方法化為5點(diǎn)及更低點(diǎn)標(biāo)量積分的計(jì)算。10/24/20223010/24/202231(2)

Denner-Dittmaier

方法：

(hep-ph/0509141)6點(diǎn)張量積分:10/24/202232張量積分的系數(shù)為:10/24/2022336.IR發(fā)散的分離（Nucl.Phys.B675(2003)447）

定義變量：一條無質(zhì)量外線粒子連接兩條無質(zhì)量的內(nèi)線傳播子，設(shè)外線動(dòng)量為類光四矢量：發(fā)散發(fā)生在此時(shí)傳播子n的動(dòng)量與外線的動(dòng)量在共線位形上，因此這種發(fā)散稱為共線發(fā)散。10/24/202234兩個(gè)在殼的粒子間交換一個(gè)無質(zhì)量的粒子，此時(shí)發(fā)散發(fā)生在，傳播子n的動(dòng)量，因此這種發(fā)散稱為軟發(fā)散。10/24/202235圈積分中的紅外發(fā)散的分離:為了得到維數(shù)正規(guī)化方案下的標(biāo)量圈積分的表達(dá)式，將一個(gè)圈積分劃分為有限部分和發(fā)散部分。其中有限部分的計(jì)算是與正規(guī)化方案無關(guān)，我們可以用標(biāo)準(zhǔn)的程序包FF在質(zhì)量正規(guī)化方案下計(jì)算。而發(fā)散部分可以用相應(yīng)的3點(diǎn)積分表示。

發(fā)散部分的計(jì)算：

其中對于共線發(fā)散：10/24/202236

對于軟發(fā)散：例:五點(diǎn)圖發(fā)散部分的計(jì)算10/24/202237

根據(jù)前面的公式計(jì)算