第一章隨機(jī)事件及其概率

§5事件的獨(dú)立性

定義1

對事件A與B，若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A與事件B相互獨(dú)立（independence）。

由上節(jié)的一些例題可以看到P(B︱A)≠P(B)。概率.換句話說,事件A與事件B存在著某種“獨(dú)立性”。些情況下,事件A的發(fā)生或不發(fā)生并不影響事件B發(fā)生的這說明事件A的發(fā)生影響了事件B發(fā)生的概率。但在某

命題1

若事件A,B相互獨(dú)立，且P(A)>0,則P(B︱A)=P(B)。證明

由條件概率及獨(dú)立性定義知

定理2

若事件A，B相互獨(dú)立，則

由此可推知,若P(A)>0,P(B)>0,則A、B相互獨(dú)立與A，證明B互不相容不能同時成立。即

注

在應(yīng)用中我們往往根據(jù)事件的實(shí)際意義來判斷事件的獨(dú)立性。

例1

甲、乙兩炮進(jìn)行各獨(dú)立地同時向目標(biāo)靶發(fā)甲炮命中率為0.9，乙炮命打靶演習(xí)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道：中率為0.8?，F(xiàn)甲、乙兩炮射一炮，求：(1）甲、乙兩炮都中靶的概率；(2）甲、乙兩炮至少有一個中靶的概率。解

設(shè)甲、乙兩炮中靶事件分別為A和B，于是

P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.8=0.72;

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.72=0.98;

獨(dú)立性的概念推廣到三個事件時，有下面定義?；蚨x2

設(shè)A、B、C是三事件，如果下面等式成立：則稱A、B、C三事件兩兩相互獨(dú)立。

當(dāng)三事件兩兩相互獨(dú)立時，下面等式不一定成立：推廣到更一般情形

定義3

設(shè)A、B、C三事件兩兩相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立。滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱A、B、C三事件成立，則稱n個事件相互獨(dú)立。對所有可能的等式A1A2A3A4

例2

圖1-16(a),(b)是兩個均由元件A1，A2，A3，正常工作的概率。假設(shè)各元件工作是相互獨(dú)立的，分別求出這兩個系統(tǒng)A4組成的系統(tǒng)。每個元件正常工作的概率均為0.9。A1A3A2A4對系統(tǒng)（a）有有

對系統(tǒng)（b）

由于每兩個元件并聯(lián)為一組,然后再串聯(lián)。故在每一組均正常工作時系統(tǒng)（b）為正常，而兩個組工作不正常的概率分別為所以，兩個組正常工作的概率都是

系統(tǒng)由一組元件組成。對于任一元件，它能正常工系統(tǒng)設(shè)計的一個十分重要的指標(biāo)。稱為該系統(tǒng)的可靠性。各種工作系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性是作的概率稱為該元件的可靠性，系統(tǒng)正常工作的概率

從而

顯然P(B)>P(A).即系統(tǒng)（b）比系統(tǒng)（a）正常工作的概率要高。例3

證明A、B相互獨(dú)立。證明設(shè)且由得到即所以A、B相互獨(dú)立。從而有證得TheHistoryofProbability答案答案答案4.設(shè) 證明:A與B相互獨(dú)立的充要 條件是也獨(dú)立。5.設(shè)A,B,C相互獨(dú)立。證明： 獨(dú)立，6.一批產(chǎn)品共100件，假定其中有4件次品，抽樣檢查時，每次從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件做檢查，若是次品，則拒絕接受這批產(chǎn)品；若是正品，則在檢查一次；如此繼續(xù)下去，若檢查4件產(chǎn)品都不是次品，則停止檢查，接受這批產(chǎn)品。對于下述兩種不同的抽樣方式，分別計算這批產(chǎn)品被接受的概率：

不放回抽樣;

有放回抽樣.答案7.三個人獨(dú)立的破譯一份密碼。已知三人各自能譯出的概率分別是1/5，1/3，1/4；則三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？8.一電路如圖1–17所示。開關(guān)A,B,C,D閉合與否相互獨(dú)立。且這些開關(guān)閉合的概率均為p。求E,F之間為通路的概率。DCBAFE圖1–17

答案答案9.某高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊落飛機(jī)的概率為0.6?，F(xiàn)用此種炮若干門同時各發(fā)射一發(fā)炮彈，問至少需要配多少門高射炮才能以不小于99%的概率擊落一架敵機(jī)？10.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7。在這兩批種子中各隨機(jī)地選取一粒。求：

兩粒種子都能發(fā)芽的概率;

至少有一粒種子能發(fā)芽的概率；恰好有一粒種子能發(fā)芽的概率。答案答案11.甲、乙、丙三人向同一目標(biāo)射擊。設(shè)各自擊中目標(biāo)的概率分別為0.4，0.5，0.7。設(shè)目標(biāo)中一彈而被擊落的概率是0.2；中兩彈而被擊落的概率是0.6；中三彈必然被擊落。今三人各射擊一次，求目標(biāo)被擊落的概率。答案12.某工人看管甲、乙、丙三臺機(jī)床。在一小時內(nèi)，這三臺機(jī)床需要工人照管的概率分別是0.9，0.8，0.85。求在一小時內(nèi)：

沒有一臺機(jī)床需要照管的概率;

至少有一臺機(jī)床不需要照管的概率。答案13.某賓館大樓有6部電梯。通過調(diào)查知道，在某一時刻各電梯都在運(yùn)行的概率均為0.8。試計算此時刻下列各種情況的概率：

至少有一臺電梯在運(yùn)行;

恰好有一半電梯在運(yùn)行；所有電梯都在運(yùn)行。答案14(習(xí)題A第四十題).