第三節(jié)與圓有關(guān)的計(jì)算第三節(jié)與圓有關(guān)的計(jì)算圓錐、圓柱的相關(guān)計(jì)算弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算與圓有關(guān)的計(jì)算圓錐圓柱弧長(zhǎng)公式面積公式圓錐、圓柱弧長(zhǎng)與面積與圓有關(guān)圓錐圓柱弧長(zhǎng)公式面積公式考點(diǎn)精講【對(duì)接教材】人教：九上第二十四章P111-P120；

北師：九下第三章P100-P102.考點(diǎn)精講【對(duì)接教材】人教：九上第二十四章P111-P120；弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算圓的周長(zhǎng)：C＝___________弧長(zhǎng)：l＝___________面積公式弧長(zhǎng)公式圓的面積：S＝____________扇形的面積：S扇形＝＝_________

r為圓的半徑，n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，l是扇形的弧長(zhǎng)2πrπr2弧長(zhǎng)與面圓的周長(zhǎng)：C＝___________面積公式弧長(zhǎng)公式圓錐、圓柱的相關(guān)計(jì)算名稱示意圖面積、周長(zhǎng)、體積特征圓錐S底面圓=πr2C底面圓=2πrV圓錐＝πr2h1.圓錐的軸截面是等腰三角形，圓錐的母線l、底面圓的半徑r和圓錐的高h(yuǎn)，這三個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系為r2+h2=l2；2.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形；3.圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)即2πr=

；4.圓錐的母線長(zhǎng)等于其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的半徑圓錐、圓柱名稱示意圖面積、周長(zhǎng)、體積特征圓錐S底面圓=πr2圓錐、圓柱的相關(guān)計(jì)算名稱示意圖面積、周長(zhǎng)、體積特征圓柱S圓柱側(cè)=_______S圓柱全=2πrh＋2πr2V圓柱＝πr2h側(cè)面展開(kāi)圖為矩形2πrh圓錐、圓柱名稱示意圖面積、周長(zhǎng)、體積特征圓柱S圓柱側(cè)=___圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.∴S△OCD＝＝＝，∵OC為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；∴S陰影＝S扇形AOC－S△OAC＝－AC·OE∴∠CDG＝∠ADC＝∠BDG＝60°.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.S陰影＝2(S△OAC－S扇形△OAG)＝2×(－)＝－.∴∠T＝∠ABT＝45°，∴∠BAT＝90°.∴S△OAC＝OA·AC＝×2×＝，(7分)(1)求證：BC是⊙O的切線；∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，23D.在⊙D中，DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，(1)證明：如解圖，連接OC，(1分)（2018省卷22題9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠BAC.45π∴S總陰影＝S陰影BDC＋S陰影CEF＝－＋－＝－.改變圖形：直角三角形斜邊與圓相切(2)解：如解圖，連接EF，全國(guó)視野核心素養(yǎng)提升第1題圖1.（2019資陽(yáng)）如圖，直徑為2cm的圓在直線l上滾動(dòng)一周，則圓所掃過(guò)的圖形面積為()A.5πB.6πC.20πD.24πA圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.全國(guó)視野第2題圖2.如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，則重物上升了()A.πcmB.2πcmC.3πcmD.5πcmC第2題圖2.如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，∵∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；圓的周長(zhǎng)：C＝___________3πD.πcmB.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，又∵OC為⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；解：如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E.20πD.又∵OC＝OF，∴△COF為等邊三角形，∴∠FCE＝30°，EF∥CDB.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.（2018省卷22題9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠BAC.(1)求證：CD是⊙O的切線；∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)（2019省卷11題4分）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為8的半圓，則該圓錐的全面積是()（2019南充）如圖，在△ABC中，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD,∠BCD=∠A.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形；第3題圖a,則勒洛三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)________.πa∵∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，第3題圖a,則勒洛三角第4題圖4.（數(shù)學(xué)文化）（2019湘潭）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積＝(弦×矢+矢2).弧田是由圓弧和其所對(duì)的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，運(yùn)用垂徑定理（當(dāng)半徑OC⊥弦AB時(shí)，OC平分ABAB=8米，半徑等于5米的弧田，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為_(kāi)________平方米.10第4題圖4.（數(shù)學(xué)文化）（2019湘潭）《九章算術(shù)》是我國(guó)玩轉(zhuǎn)云南8年中考真題弧長(zhǎng)與扇形的相關(guān)計(jì)算（省卷2考，昆明卷2考）命題點(diǎn)11.（2014省卷7題3分）已知扇形的圓心角為45°，半徑長(zhǎng)為12，則該扇形的弧長(zhǎng)為（）A.πB.2πC.3πD.12πC2.(2015省卷8題3分)若扇形的面積為3π,圓心角為60°,則該扇形的半徑為()A.3B.9C.23D.32D玩轉(zhuǎn)云南8年中考真題弧長(zhǎng)與扇形的相關(guān)計(jì)算（省卷2考，昆明卷23.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.下列結(jié)論不正確的是()A.EF∥CDB.△COB是等邊三角形C.CG=DGD.

的長(zhǎng)為π第3題圖D3.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，A4.（2020昆明卷5題3分）如圖，邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形螺帽，中心為點(diǎn)O,OA垂直平分邊CD,垂足為B,AB=17cm,用扳手?jǐn)Q動(dòng)螺帽旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A在該過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)________cm.第4題圖10π4.（2020昆明卷5題3分）如圖，邊長(zhǎng)為2cm的正圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.13）命題點(diǎn)25.(2017昆明卷13題3分·源于人教九上P116第10題)如圖,從直徑為4cm的圓形紙片中,剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形OAB,且點(diǎn)O，A，B在圓周上,把它圍成一個(gè)圓錐,則圓錐的底面圓的半徑是_________cm.第5題圖6.（2019省卷11題4分）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為8的半圓，則該圓錐的全面積是()A.48πB.45πC.36πD.32πA圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.13）命題點(diǎn)25.7.（2020省卷13題4分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫(huà)圓弧DE得到扇形DAE(陰影部分，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上).若扇形DAE正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面圓的半徑是()A.B.1C.D.

第7題圖D7.（2020省卷13題4分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8.(2017省卷13題4分)正如我們小學(xué)學(xué)過(guò)的圓錐體積公式V＝πr2h(π表示圓周率，r表示圓錐的底面半徑，hπ計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第7位的中國(guó)古代科學(xué)家，創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平，差不多過(guò)了1000年，才有人把π計(jì)算得更精確.在輝煌成就的背后，我們來(lái)看看祖沖之付出了多少.現(xiàn)在的研究表明，僅僅就計(jì)算來(lái)講，他至少要對(duì)9位數(shù)字反復(fù)進(jìn)行130次以上的各種運(yùn)算，包括開(kāi)方在內(nèi)，即使今天我們用紙筆來(lái)算，也絕不是一件輕松的事情，何況那時(shí)候沒(méi)有現(xiàn)在的紙筆，數(shù)學(xué)計(jì)算不是用現(xiàn)在的阿拉伯?dāng)?shù)字，而是用算籌(小竹棍或小竹片)進(jìn)行的，這需要怎樣的細(xì)心和毅力??！他這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，不怕復(fù)雜計(jì)算的毅力，值得我們學(xué)習(xí).8.(2017省卷13題4分)正如我們小學(xué)學(xué)過(guò)的圓錐體積公下面我們就來(lái)通過(guò)計(jì)算解決問(wèn)題：已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)半圓，若該圓錐的體積等于9π，則這個(gè)圓錐的高等于()A.5πB.5C.3πD.3D圓柱的相關(guān)計(jì)算（省卷2016.16）命題點(diǎn)39.(2016省卷6題3分)如果圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是相鄰兩邊長(zhǎng)分別為6、16π的長(zhǎng)方形，那么這個(gè)圓柱的體積等于__________.384π或144下面我們就來(lái)通過(guò)計(jì)算解決問(wèn)題：已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)半圓，陰影部分面積的相關(guān)計(jì)算（省卷4考，昆明卷4考）命題點(diǎn)410.(2017省卷5題3分)如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD外切于⊙O,切點(diǎn)分別為E,F,G,H，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)________.第10題圖2π+4陰影部分面積的相關(guān)計(jì)算（省卷4考，昆明卷4考）命題點(diǎn)410.11.（2018昆明卷6題3分）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑，作扇形ABF，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_________.（結(jié)果保留根號(hào)和π）第11題圖11.（2018昆明卷6題3分）如圖，正六邊形ABCDEF12.(2019省卷13題4分)如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=5，BC=13，CA=12，則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是()A.4B.6.25C.7.5D.9第12題圖A12.(2019省卷13題4分)如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O6πC.∵OC為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；(2016省卷20題8分)如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AE⊥DC,垂足為E，點(diǎn)F是AE與⊙O的交點(diǎn)，AC平分∠BAE.如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，則重物上升了()(1)證明：如解圖，連接OC，(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.則AE＝CE，∠COE＝60°，23D.又∵OC＝OF，∴△COF為等邊三角形，∴∠FCE＝30°，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，48πB.∴∠ODC＝90°，(4分)即OD⊥AC，6πC.∴∠DOC＝∠A＝60°，(1)求證：BC是⊙O的切線；∴S陰影BDC＝S△COD－S扇形OBC＝××2－＝－.∴S△OCD＝＝＝，（數(shù)學(xué)文化）（2019湘潭）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積＝(弦×矢+矢2).（2019資陽(yáng)）如圖，直徑為2cm的圓在直線l上滾動(dòng)一周，則圓所掃過(guò)的圖形面積為()(2015省卷8題3分)若扇形的面積為3π,圓心角為60°,則該扇形的半徑為()13.(2016昆明卷22題8分)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,D是邊AC上的一點(diǎn),連接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一點(diǎn),以BE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.(1)求證:AC是⊙O的切線;第13題圖13.(1)證明：如解圖，連接OD，(1分)∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠A＝90°，∴∠DOC＋∠C＝∠A＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，(4分)即OD⊥AC，∵OD是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；(5分)6πC.13.(2016昆明卷22第13題解圖【一題多解】如解圖，連接OD，(1分)∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△CDO∽△CBA，∵∠ABC＝90°，∴∠CDO＝∠CBA＝90°，(4分)即OD⊥AC，∵OD是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；(5分)第13題解圖【一題多解】如解圖，連接OD，(1分)(2)若∠A=60°,⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留根號(hào)和π).(2)解：∵∠A＝60°，由(1)知∠DOC＝∠A，∴∠DOC＝∠A＝60°，在Rt△ODC中，tan60°＝，∵OD＝2，∴CD＝OD·tan60°＝，∴S△ODC＝OD·CD＝×2×

＝

，(6分)∴S扇形ODE＝＝，(7分)∴S陰影＝S△ODC－S扇形ODE＝-.(8分)(2)若∠A=60°,⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積(結(jié)果14.(2016省卷20題8分)如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AE⊥DC,垂足為E，點(diǎn)F是AE與⊙O的交點(diǎn)，AC平分∠BAE.(1)求證：DE是⊙O的切線;第14題圖(1)證明：如解圖，連接OC，(1分)∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAE，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，又∵AE⊥DC，∴∠E＝90°，∴∠OCD＝90°，(3分)∴OC⊥DC，∵OC為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；(4分)14.(2016省卷20題8分)如圖，AB為⊙O的直徑，C(2)解：在Rt△AED中，∵∠D＝30°，AE＝6，∴AD＝2AE＝12，由(1)知，∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，∵∠D＝30°，∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC，∴DB＝OB＝OC＝OA＝AD＝4，∴DO＝8，(5分)(2)設(shè)AE=6,∠D=30°,求圖中陰影部分的面積.第14題解圖∴CD＝＝＝

，(6分)∴S△OCD＝＝＝

，又∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°－∠D＝60°，∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)∴S陰影＝S△OCD－S扇形OBC＝

－.(8分)(2)解：在Rt△AED中，(2)設(shè)AE=6,∠D=30°,15.(2016昆明卷22題9分)如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝90°，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：CF是⊙O的切線；第15題圖(1)證明：如解圖，連接OD，(1分)∵四邊形EBOC是平行四邊形，∴BE＝OC，BE∥OC，∴∠OBD＝∠AOC，∠ODB＝∠DOC，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠DOC＝∠AOC，(2分)15.(2016昆明卷22題9分)如圖，AB是⊙O的直徑，在△DOC和△AOC中，∴△DOC≌△AOC(SAS)，(3分)∴∠CDO＝∠CAO，∵∠CAO＝90°，∴∠CDO＝90°，即OD⊥CF，(4分)∵OD是⊙O的半徑，∴CF是⊙O的切線；(5分)在△DOC和△AOC中，∴△DOC≌△AOC(SAS)，(3(2)若∠F＝30°,EB＝4,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留根號(hào)和π)．(2)解：如解圖，設(shè)OC與⊙O交于點(diǎn)G，∵∠F＝30°，EB＝4，由(1)得OC＝BE＝4，∠FCA＝180°－∠CFA－∠CAF＝60°，∠FOD＝60°，∠FCO＝∠OCA＝∠F＝30°，∠DOC＝∠AOC＝60°，∴OA＝2，(6分)在Rt△OCA中，∠CAO＝90°，由勾股定理得AC＝＝

，∴S△OAC＝OA·AC＝×2×

＝

，(7分)∴S扇形OAG＝＝

，(8分)S陰影＝2(S△OAC－S扇形△OAG)＝2×(

－)＝－.(9分)第15題解圖(2)若∠F＝30°,EB＝4,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保16.（2018省卷22題9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠BAC.(1)求證：CD是⊙O的切線；第16題圖(1)證明：如解圖，連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＋∠OCB＝∠BAC＋∠ABC＝90°，∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；(4分)16.（2018省卷22題9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑在△DOC和△AOC中，(1)證明：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，弧長(zhǎng)：l＝___________∴OD＝2OC＝OB＋BD，∴OC＝OB＝BD＝2，(1)證明：如解圖，連接OD，(1分)3πD.證明：∵AT＝AB，∠ABT＝45°，∴S△OCD＝＝＝，現(xiàn)在的研究表明，僅僅就計(jì)算來(lái)講，他至少要對(duì)9位數(shù)字反復(fù)進(jìn)行130次以上的各種運(yùn)算，包括開(kāi)方在內(nèi)，即使今天我們用紙筆來(lái)算，也絕不是一件輕松的事情，何況那時(shí)候沒(méi)有現(xiàn)在的紙筆，數(shù)學(xué)計(jì)算不是用現(xiàn)在的阿拉伯?dāng)?shù)字，而是用算籌(小竹棍或小竹片)進(jìn)行的，這需要怎樣的細(xì)心和毅力??！∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AE⊥DC,垂足為E,F是AE與⊙O的交點(diǎn)，AC平分∠BAE.(1)證明：如解圖，連接OC，∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)∴S總陰影＝S陰影BDC＋S陰影CEF＝－＋－＝－.又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，(2)若∠D=30°，BD=2，求圖中陰影部分的面積.(2)解：∵∠D＝30°，由(1)知，OC⊥CD，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°.在Rt△ODC中，∠D＝30°，∴OD＝2OC＝OB＋BD，∴OC＝OB＝BD＝2，如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，則AE＝CE，∠COE＝60°，∴OE＝1，CE＝，(6分)∴AC＝2CE＝

，∴S陰影＝S扇形AOC－S△OAC＝－AC·OE＝-××1=

-.(9分)第16題解圖在△DOC和△AOC中，(2)若∠D=30°，BD=2，求圖教材改編題教材母題1.（人教九上P98練習(xí)第1題）如圖,AB是⊙O的直徑,∠ABT=45°,AT=AB.求證:AT是⊙O的切線.第1題圖證明：∵AT＝AB，∠ABT＝45°，∴∠T＝∠ABT＝45°，∴∠BAT＝90°.又∵AB為⊙O的直徑，∴AT是⊙O的切線．教材改編題教材母題1.（人教九上P98練習(xí)第1題）如圖,A增加設(shè)問(wèn)：求長(zhǎng)度母題變式第2題圖2.（2019南充）如圖，在△ABC中，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD,∠BCD=∠A.(1)求證：BC是⊙O的切線；(1)證明：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.又∵OC為⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；增加設(shè)問(wèn)：求長(zhǎng)度母題變式第2題圖2.（2019南充）如圖，(2)若BC＝5,BD＝3,求點(diǎn)O到CD的距離．解：如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E.在Rt△BCD中，∵BC＝5，BD＝3，∴CD＝4.∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠BCD＝∠A，∴Rt△BDC∽R(shí)t△CDA，∴＝，∴AD＝.∵OE⊥CD，OA＝OC，∴E為CD的中點(diǎn)．∴OE＝AD＝.E(2)若BC＝5,BD＝3,求點(diǎn)O到CD的距離．解：如解圖，改變圖形：直角三角形斜邊過(guò)圓心對(duì)接中考第3題圖3.如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AE⊥DC,垂足為E,F是AE與⊙O的交點(diǎn)，AC平分∠BAE.（1）求證：DE是⊙O的切線；(1)證明：如解圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠BAE，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E.∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD.∵點(diǎn)C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；改變圖形：直角三角形斜邊過(guò)圓心對(duì)接中考第3題圖3.如圖，A（2）若DC=,∠D=30°，求圖中陰影部分的面積.(2)解：如解圖，連接OF、CF，∵在Rt△CDO中，∠D＝30°，DC＝2，∴OD＝4，OC＝2，∠BOC＝60°，由(1)知，OC∥AE，∴∠DAE＝∠BOC＝60°.在△AOF中，∵OA＝OF，∠DAE＝60°，∴△AOF為等邊三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠COF＝60°.又∵OC＝OF，∴△COF為等邊三角形，∴∠FCE＝30°，第3題圖（2）若DC=,∠D=30°，求圖中陰影部分∴EF＝CF·sin∠FCE＝2·sin30°＝1，CE＝CF·cos30°＝，∴S陰影CEF＝S梯形EFOC－S扇形OCF＝(1＋2)××-＝－，∴S陰影BDC＝S△COD－S扇形OBC＝×

×2－＝

－

.∴S總陰影＝S陰影BDC＋S陰影CEF＝

－

＋－＝－.∴EF＝CF·sin∠FCE＝2·sin30°＝1，CE＝C改變圖形：直角三角形斜邊與圓相切第4題圖4.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與CD交于點(diǎn)F．（1）求證：BC是⊙D的切線；(1)證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，∵∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，∴DA⊥AC，∠ACD＝∠BCD.∵CD＝CD，∴△ADC≌△GDC(AAS)．∴DG＝DA，∴DG為⊙D的半徑，∴BC是⊙D的切線；G改變圖形：直角三角形斜邊與圓相切第4題圖4.如圖，在Rt△(2)若EF∥BC，且BC＝6，求圖中陰影部分的面積．(2)解：如解圖，連接EF，∵EF∥BC，由(1)知DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴＝，∴∠BDG＝∠CDG.由(1)知△ADC≌△GDC，∴∠CDG＝∠ADC，∴∠CDG＝∠ADC＝∠BDG＝60°.第4題解圖G(2)若EF∥BC，且BC＝6，求圖中陰影部分的面積．(2)∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠B，∠DFE＝∠DCB，在⊙D中，DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF，∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC.∵DG⊥BC，∴CG＝BC＝3.在Rt△DCG中，DG＝＝.∴S陰影＝S△DGC－S扇形GDF＝×3×－＝－.∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠B，∠DFE＝∠DCB，第三節(jié)與圓有關(guān)的計(jì)算第三節(jié)與圓有關(guān)的計(jì)算圓錐、圓柱的相關(guān)計(jì)算弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算與圓有關(guān)的計(jì)算圓錐圓柱弧長(zhǎng)公式面積公式圓錐、圓柱弧長(zhǎng)與面積與圓有關(guān)圓錐圓柱弧長(zhǎng)公式面積公式考點(diǎn)精講【對(duì)接教材】人教：九上第二十四章P111-P120；

北師：九下第三章P100-P102.考點(diǎn)精講【對(duì)接教材】人教：九上第二十四章P111-P120；弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算圓的周長(zhǎng)：C＝___________弧長(zhǎng)：l＝___________面積公式弧長(zhǎng)公式圓的面積：S＝____________扇形的面積：S扇形＝＝_________

r為圓的半徑，n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，l是扇形的弧長(zhǎng)2πrπr2弧長(zhǎng)與面圓的周長(zhǎng)：C＝___________面積公式弧長(zhǎng)公式圓錐、圓柱的相關(guān)計(jì)算名稱示意圖面積、周長(zhǎng)、體積特征圓錐S底面圓=πr2C底面圓=2πrV圓錐＝πr2h1.圓錐的軸截面是等腰三角形，圓錐的母線l、底面圓的半徑r和圓錐的高h(yuǎn)，這三個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系為r2+h2=l2；2.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形；3.圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)即2πr=

；4.圓錐的母線長(zhǎng)等于其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的半徑圓錐、圓柱名稱示意圖面積、周長(zhǎng)、體積特征圓錐S底面圓=πr2圓錐、圓柱的相關(guān)計(jì)算名稱示意圖面積、周長(zhǎng)、體積特征圓柱S圓柱側(cè)=_______S圓柱全=2πrh＋2πr2V圓柱＝πr2h側(cè)面展開(kāi)圖為矩形2πrh圓錐、圓柱名稱示意圖面積、周長(zhǎng)、體積特征圓柱S圓柱側(cè)=___圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.∴S△OCD＝＝＝，∵OC為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；∴S陰影＝S扇形AOC－S△OAC＝－AC·OE∴∠CDG＝∠ADC＝∠BDG＝60°.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.S陰影＝2(S△OAC－S扇形△OAG)＝2×(－)＝－.∴∠T＝∠ABT＝45°，∴∠BAT＝90°.∴S△OAC＝OA·AC＝×2×＝，(7分)(1)求證：BC是⊙O的切線；∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，23D.在⊙D中，DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，(1)證明：如解圖，連接OC，(1分)（2018省卷22題9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠BAC.45π∴S總陰影＝S陰影BDC＋S陰影CEF＝－＋－＝－.改變圖形：直角三角形斜邊與圓相切(2)解：如解圖，連接EF，全國(guó)視野核心素養(yǎng)提升第1題圖1.（2019資陽(yáng)）如圖，直徑為2cm的圓在直線l上滾動(dòng)一周，則圓所掃過(guò)的圖形面積為()A.5πB.6πC.20πD.24πA圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.全國(guó)視野第2題圖2.如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，則重物上升了()A.πcmB.2πcmC.3πcmD.5πcmC第2題圖2.如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，∵∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；圓的周長(zhǎng)：C＝___________3πD.πcmB.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，又∵OC為⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；解：如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E.20πD.又∵OC＝OF，∴△COF為等邊三角形，∴∠FCE＝30°，EF∥CDB.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.（2018省卷22題9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠BAC.(1)求證：CD是⊙O的切線；∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)（2019省卷11題4分）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為8的半圓，則該圓錐的全面積是()（2019南充）如圖，在△ABC中，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD,∠BCD=∠A.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形；第3題圖a,則勒洛三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)________.πa∵∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，第3題圖a,則勒洛三角第4題圖4.（數(shù)學(xué)文化）（2019湘潭）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積＝(弦×矢+矢2).弧田是由圓弧和其所對(duì)的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，運(yùn)用垂徑定理（當(dāng)半徑OC⊥弦AB時(shí)，OC平分ABAB=8米，半徑等于5米的弧田，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為_(kāi)________平方米.10第4題圖4.（數(shù)學(xué)文化）（2019湘潭）《九章算術(shù)》是我國(guó)玩轉(zhuǎn)云南8年中考真題弧長(zhǎng)與扇形的相關(guān)計(jì)算（省卷2考，昆明卷2考）命題點(diǎn)11.（2014省卷7題3分）已知扇形的圓心角為45°，半徑長(zhǎng)為12，則該扇形的弧長(zhǎng)為（）A.πB.2πC.3πD.12πC2.(2015省卷8題3分)若扇形的面積為3π,圓心角為60°,則該扇形的半徑為()A.3B.9C.23D.32D玩轉(zhuǎn)云南8年中考真題弧長(zhǎng)與扇形的相關(guān)計(jì)算（省卷2考，昆明卷23.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.下列結(jié)論不正確的是()A.EF∥CDB.△COB是等邊三角形C.CG=DGD.

的長(zhǎng)為π第3題圖D3.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，A4.（2020昆明卷5題3分）如圖，邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形螺帽，中心為點(diǎn)O,OA垂直平分邊CD,垂足為B,AB=17cm,用扳手?jǐn)Q動(dòng)螺帽旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A在該過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)________cm.第4題圖10π4.（2020昆明卷5題3分）如圖，邊長(zhǎng)為2cm的正圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.13）命題點(diǎn)25.(2017昆明卷13題3分·源于人教九上P116第10題)如圖,從直徑為4cm的圓形紙片中,剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形OAB,且點(diǎn)O，A，B在圓周上,把它圍成一個(gè)圓錐,則圓錐的底面圓的半徑是_________cm.第5題圖6.（2019省卷11題4分）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為8的半圓，則該圓錐的全面積是()A.48πB.45πC.36πD.32πA圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.13）命題點(diǎn)25.7.（2020省卷13題4分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫(huà)圓弧DE得到扇形DAE(陰影部分，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上).若扇形DAE正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面圓的半徑是()A.B.1C.D.

第7題圖D7.（2020省卷13題4分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8.(2017省卷13題4分)正如我們小學(xué)學(xué)過(guò)的圓錐體積公式V＝πr2h(π表示圓周率，r表示圓錐的底面半徑，hπ計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第7位的中國(guó)古代科學(xué)家，創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平，差不多過(guò)了1000年，才有人把π計(jì)算得更精確.在輝煌成就的背后，我們來(lái)看看祖沖之付出了多少.現(xiàn)在的研究表明，僅僅就計(jì)算來(lái)講，他至少要對(duì)9位數(shù)字反復(fù)進(jìn)行130次以上的各種運(yùn)算，包括開(kāi)方在內(nèi)，即使今天我們用紙筆來(lái)算，也絕不是一件輕松的事情，何況那時(shí)候沒(méi)有現(xiàn)在的紙筆，數(shù)學(xué)計(jì)算不是用現(xiàn)在的阿拉伯?dāng)?shù)字，而是用算籌(小竹棍或小竹片)進(jìn)行的，這需要怎樣的細(xì)心和毅力??！他這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，不怕復(fù)雜計(jì)算的毅力，值得我們學(xué)習(xí).8.(2017省卷13題4分)正如我們小學(xué)學(xué)過(guò)的圓錐體積公下面我們就來(lái)通過(guò)計(jì)算解決問(wèn)題：已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)半圓，若該圓錐的體積等于9π，則這個(gè)圓錐的高等于()A.5πB.5C.3πD.3D圓柱的相關(guān)計(jì)算（省卷2016.16）命題點(diǎn)39.(2016省卷6題3分)如果圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是相鄰兩邊長(zhǎng)分別為6、16π的長(zhǎng)方形，那么這個(gè)圓柱的體積等于__________.384π或144下面我們就來(lái)通過(guò)計(jì)算解決問(wèn)題：已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)半圓，陰影部分面積的相關(guān)計(jì)算（省卷4考，昆明卷4考）命題點(diǎn)410.(2017省卷5題3分)如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD外切于⊙O,切點(diǎn)分別為E,F,G,H，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)________.第10題圖2π+4陰影部分面積的相關(guān)計(jì)算（省卷4考，昆明卷4考）命題點(diǎn)410.11.（2018昆明卷6題3分）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑，作扇形ABF，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_________.（結(jié)果保留根號(hào)和π）第11題圖11.（2018昆明卷6題3分）如圖，正六邊形ABCDEF12.(2019省卷13題4分)如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=5，BC=13，CA=12，則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是()A.4B.6.25C.7.5D.9第12題圖A12.(2019省卷13題4分)如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O6πC.∵OC為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；(2016省卷20題8分)如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AE⊥DC,垂足為E，點(diǎn)F是AE與⊙O的交點(diǎn)，AC平分∠BAE.如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，則重物上升了()(1)證明：如解圖，連接OC，(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.則AE＝CE，∠COE＝60°，23D.又∵OC＝OF，∴△COF為等邊三角形，∴∠FCE＝30°，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，48πB.∴∠ODC＝90°，(4分)即OD⊥AC，6πC.∴∠DOC＝∠A＝60°，(1)求證：BC是⊙O的切線；∴S陰影BDC＝S△COD－S扇形OBC＝××2－＝－.∴S△OCD＝＝＝，（數(shù)學(xué)文化）（2019湘潭）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積＝(弦×矢+矢2).（2019資陽(yáng)）如圖，直徑為2cm的圓在直線l上滾動(dòng)一周，則圓所掃過(guò)的圖形面積為()(2015省卷8題3分)若扇形的面積為3π,圓心角為60°,則該扇形的半徑為()13.(2016昆明卷22題8分)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,D是邊AC上的一點(diǎn),連接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一點(diǎn),以BE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.(1)求證:AC是⊙O的切線;第13題圖13.(1)證明：如解圖，連接OD，(1分)∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠A＝90°，∴∠DOC＋∠C＝∠A＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，(4分)即OD⊥AC，∵OD是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；(5分)6πC.13.(2016昆明卷22第13題解圖【一題多解】如解圖，連接OD，(1分)∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△CDO∽△CBA，∵∠ABC＝90°，∴∠CDO＝∠CBA＝90°，(4分)即OD⊥AC，∵OD是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；(5分)第13題解圖【一題多解】如解圖，連接OD，(1分)(2)若∠A=60°,⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留根號(hào)和π).(2)解：∵∠A＝60°，由(1)知∠DOC＝∠A，∴∠DOC＝∠A＝60°，在Rt△ODC中，tan60°＝，∵OD＝2，∴CD＝OD·tan60°＝，∴S△ODC＝OD·CD＝×2×

＝

，(6分)∴S扇形ODE＝＝，(7分)∴S陰影＝S△ODC－S扇形ODE＝-.(8分)(2)若∠A=60°,⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積(結(jié)果14.(2016省卷20題8分)如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AE⊥DC,垂足為E，點(diǎn)F是AE與⊙O的交點(diǎn)，AC平分∠BAE.(1)求證：DE是⊙O的切線;第14題圖(1)證明：如解圖，連接OC，(1分)∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAE，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，又∵AE⊥DC，∴∠E＝90°，∴∠OCD＝90°，(3分)∴OC⊥DC，∵OC為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；(4分)14.(2016省卷20題8分)如圖，AB為⊙O的直徑，C(2)解：在Rt△AED中，∵∠D＝30°，AE＝6，∴AD＝2AE＝12，由(1)知，∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，∵∠D＝30°，∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC，∴DB＝OB＝OC＝OA＝AD＝4，∴DO＝8，(5分)(2)設(shè)AE=6,∠D=30°,求圖中陰影部分的面積.第14題解圖∴CD＝＝＝

，(6分)∴S△OCD＝＝＝

，又∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°－∠D＝60°，∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)∴S陰影＝S△OCD－S扇形OBC＝

－.(8分)(2)解：在Rt△AED中，(2)設(shè)AE=6,∠D=30°,15.(2016昆明卷22題9分)如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝90°，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：CF是⊙O的切線；第15題圖(1)證明：如解圖，連接OD，(1分)∵四邊形EBOC是平行四邊形，∴BE＝OC，BE∥OC，∴∠OBD＝∠AOC，∠ODB＝∠DOC，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠DOC＝∠AOC，(2分)15.(2016昆明卷22題9分)如圖，AB是⊙O的直徑，在△DOC和△AOC中，∴△DOC≌△AOC(SAS)，(3分)∴∠CDO＝∠CAO，∵∠CAO＝90°，∴∠CDO＝90°，即OD⊥CF，(4分)∵OD是⊙O的半徑，∴CF是⊙O的切線；(5分)在△DOC和△AOC中，∴△DOC≌△AOC(SAS)，(3(2)若∠F＝30°,EB＝4,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留根號(hào)和π)．(2)解：如解圖，設(shè)OC與⊙O交于點(diǎn)G，∵∠F＝30°，EB＝4，由(1)得OC＝BE＝4，∠FCA＝180°－∠CFA－∠CAF＝60°，∠FOD＝60°，∠FCO＝∠OCA＝∠F＝30°，∠DOC＝∠AOC＝60°，∴OA＝2，(6分)在Rt△OCA中，∠CAO＝90°，由勾股定理得AC＝＝

，∴S△OAC＝OA·AC＝×2×

＝

，(7分)∴S扇形OAG＝＝

，(8分)S陰影＝2(S△OAC－S扇形△OAG)＝2×(

－)＝－.(9分)第15題解圖(2)若∠F＝30°,EB＝4,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保16.（2018省卷22題9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠BAC.(1)求證：CD是⊙O的切線；第16題圖(1)證明：如解圖，連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＋∠OCB＝∠BAC＋∠ABC＝90°，∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；(4分)16.（2018省卷22題9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑在△DOC和△AOC中，(1)證明：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，弧長(zhǎng)：l＝___________∴OD＝2OC＝OB＋BD，∴OC＝OB＝BD＝2，(1)證明：如解圖，連接OD，(1分)3πD.證明：∵AT＝AB，∠ABT＝45°，∴S△OCD＝＝＝，現(xiàn)在的研究表明，僅僅就計(jì)算來(lái)講，他至少要對(duì)9位數(shù)字反復(fù)進(jìn)行130次以上的各種運(yùn)算，包括開(kāi)方在內(nèi)，即使今天我們用紙筆來(lái)算，也絕不是一件輕松的事情，何況那時(shí)候沒(méi)有現(xiàn)在的紙筆，數(shù)學(xué)計(jì)算不是用現(xiàn)在的阿拉伯?dāng)?shù)字，而是用算籌(小竹棍或小竹片)進(jìn)行的，這需要怎樣的細(xì)心和毅力??！∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，圓錐的相關(guān)計(jì)算（省卷3考，昆明卷2013.(2016昆明卷12題4分)如圖，AB為⊙O的直徑，AB=6,AB⊥弦CD,垂足為G，EF切⊙O于點(diǎn)B，∠A=30°,連接AD,OC,BC.如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AE⊥DC,垂足為E,F是AE與⊙O的交點(diǎn)，AC平分∠BAE.(1)證明：如解圖，連接OC，∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)∴S總陰影＝S陰影BDC＋S陰影CEF＝－＋－＝－.又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，(2)若∠D=30°，BD=2，求圖中陰影部分的面積.(2)解：∵∠D＝30°，由(1)知，OC⊥CD，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°.在Rt△ODC中，∠D＝30°，∴OD＝2OC＝OB＋BD，∴OC＝OB＝BD＝2，如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，則AE＝CE，∠COE＝60°，∴OE＝1，CE＝，(6分)∴AC＝2CE＝

，∴S陰影＝S扇形AOC－S△OAC＝－AC·OE＝-××1=

-.(9分)第16題解圖在△DOC和△AOC中，(2)若∠D=30°，BD=2，求圖教材改編題教材母題1.（人教九上P98練習(xí)第1題）如圖,AB是⊙O的直徑,∠ABT=45°,AT=AB.求證:AT是⊙O的切線.第