《微分幾何》復(fù)習(xí)資料1判斷題曲面的結(jié)構(gòu)方程指的是Gauss-Bonnet公式（）。任何曲面上的直線都是測地線（）。曲面的第一基本形式與參數(shù)的選取無關(guān)（）。圓柱面上的直線都是測地線（）。兩曲面的第二基本形式不同則其Gauss曲率不同（）。如果一個(gè)一一對(duì)應(yīng)保持兩張曲面間的任意曲線的長度不變，則稱該對(duì)應(yīng)為這兩個(gè)曲面的等距變換（）。曲面的第一、二基本形式都與參數(shù)的選取無關(guān)（）。兩曲面的第二基本形式與其主曲率沒有關(guān)系（）。9.可以作為曲面的第一基本形式（）。9.可以作為曲面的第一基本形式（）。0.曲面的協(xié)變微分是平面上普通微分的推廣（）。二計(jì)算題r=（cosuJsmuIv） \求曲面 上曲線’’ 的曲率、沿此曲線切方向曲面的法曲z■dx"+時(shí)+c求二次曲面 的法曲率。r={tsinfftcosZ?te}求曲線 在原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切面、切線、主法線、副法線。三問答題證明如果曲線的切線過定點(diǎn)，則該曲線一定是直線。答案1=1一判斷題1-5FTTTF6-10TFFFT二計(jì)算題r=(coshfsiDMIv). |求曲面 上曲線’’一'的曲率、沿此曲線切方向曲面的法曲L曲線尸■{8S立,sin虬刈},易見r={-siriK^cosM^l}>r"={-cow,-sinn,0},tri? i /V/xr"={-sin電-qos心}3i=— 5 分卜計(jì)算曲線的兩個(gè)基本向量可得：+[-乎p■{-cow】一ginL。}"曲面沿曲線的法向量為h={cosit,sinw,0}s……6分卜itri所以所求的法曲率為：虹=邱“n=-寸曲線的測地曲率為：七=戒》,方=0 1。分『的法曲率。求二次曲面的法曲率。L解：解：曲面的畚敬方程為。LU4XU p .y)=(A.y,o.r+by~+^)中匕.=(1?M)r,TCU2坷)L S□□EICi4)DaEaDODb：QioaDODi>DOaDODO4ICQiOCn=j (-2叫-2i>\1)J1+4g'F+M/乂因?yàn)閞.i=(0、/=(0,0j0)fr..—(070,2b)口八八小八小小心八八。分w因此曲面的第二基本形式為+■■JJ=―「 —(2+2bdy」}營心日守由命已心寸心止白亡寸史弓臼事位小寸目已己Jli-4EiV+4a:>2所虬曲面在一點(diǎn)沿任意單位切向量v=Ar+^.的法向量為任K2以上4K(V)二廠 '中EDB暮口中B目GiOBOCmB目守E暮白。中中E目moe申EDB暮17i+4flv+4flyr=(tsinf>tcos/,W}求曲線 在原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切面、切線、主法線、副法線。1、『；依點(diǎn)I應(yīng)tF1P(0)?｛血+t姍jcos/~tsinij#世4｝點(diǎn)二｛0』』｝,平衫'(0)』2餌sf*Hq時(shí)j￡Qs「tHnh24+M｝血=2"]t山”“4分+J用以切線方勰,法面方醍y+$011拗平面旖是102主螂施1|"1瑚EP-=^a-I卜歸2』 2-11從切面方程是2x-y+z=0,股線方程*工蘭蘭 40刎11-1三問答題證明如果曲線的切線過定點(diǎn)，則該曲線一定是直線。i盤蛾帽段由毓㈱^麻由魏條啊如L口I jl何WA（加） 多加兩邊關(guān)于風(fēng)長多教』設(shè)導(dǎo)可知upjama i如《微分幾何》復(fù)習(xí)資料2一、計(jì)算題1、 在曲線x=cosacost,y=cosasint,z=tsina的副法線的正向取單位長，求其端點(diǎn)組成的新曲線的密切平面。2、 已知曲線r={cos31,sin31,cos2t}，⑴求基本向量區(qū)&,已⑵曲率和撓率。3、 求出拋物面z=1(彼2+by2)在(0，0)點(diǎn)沿方向(dx:dy)的法曲率。24、 求曲面r=(cosu,sinu,v)上曲線u=v的曲率、沿此曲線切方向曲面的法曲率、以及此曲線的測地曲率?二、證明題-1 21、 證明曲面r=(u2+一v,2u3+uv,u4+—u2v)是可展曲面。3 32、 向量函數(shù)r(t)平行于固定平面的充要條件是(rr'r”)=0。一、計(jì)算題—I1、解：r=cosasint,答案(-cosasint,cosacost,sinar''=(-cosacost,r'xr=(sinasint,-sinacostIrxr一、計(jì)算題—I1、解：r=cosasint,答案(-cosasint,cosacost,sinar''=(-cosacost,r'xr=(sinasint,-sinacostIrxr"icosa}新曲線的方程為r=(cosacost+sinasint,+cosa}cosasint-sinacost,tsina對(duì)于新曲線r'=(-cosasint+sinacost,cosacost+sinasint,sina}=(sin(a-t),cos(a-t),sina},r"=(-cos(a-t),sin(a-t),0}，其密切平面的方程是x-cosacost

sin(a-1)-cos(a-1)y-cosasint

cos(a-1)

sin(a-1)z-1sinasina02、sinasin(t-a)x-sinacos(t-a)yz-tsina-cosa=0.10(]) r'={-3cos21sint,3sin21cost,-2sin2t}=sintcost{-3cost,3sint,-4}ds—一—=1r(t)1=5sintcost,dt(設(shè)sintcost>0)，r 3 3 4——={-一cost，一sint，一一}I—I 5 5 5,「3.3 ?{—sint，一cost,0}dtds5sintcost5 5—dadt

a= —ap=——={sint,cost,0}I&I——4 4. 3、Y=axp={—cost，-5sint，-§}k=I(—I= ⑵ 25sintcost{-sint，-cost,0}25sintcost,由于相反，所以 25sintcostr={1,0,ax} ={1,0,0}r={0,1,by} ={0,1,0}r={0,0,a}X (0,0) ,y (0,0) ，xx3{0,0,0}ryy={0,0,b},E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,adx2+bdy2

k= 沿方向dx:dy的法曲率“dx2+dy24、曲線r={cosu,sinu,u}，易見r'={-sinu,cosu,1}，r''={-cosu,一sinu,0},r'xr"={-sinu,一cosu,1},k=—2計(jì)算曲線的兩個(gè)基本向量可得:t=——{-sin0,cos0,1}, p={-cosu,一sinu,0}2曲面沿曲線的法向量為n={cosu,sinu,0},所以所求的法曲率為質(zhì)kp?n=-2曲線的測地曲率為：k=k(t,p,n)=0g一-二、證明題1、證明：我們證明曲面r是一個(gè)高斯曲率為零的直紋面。由于一一1 2…、r=(u2+—v,2u3+uv,u4+—u2v)3 312=(u2,2u3,u4)+vG,u-u2)從而曲面是直紋面。又因?yàn)镸=0,N=0，所以高斯曲率為零故曲面是可展曲面2、若r(t)平行于一固定平面兀，設(shè)n是平面兀的一個(gè)單位法向量，則n為常向量，— rl且r(t)?n=0。兩次求微商得r?n=0,r?n=0,即向量r,r,r垂直于同一非零向量n，因而共面，即(3'r-)=0—> —> —>反之若(尸—'—')=0則有—X—二0或—X—豐0若—X—二0由ZX.,z<，^^\rrrJU，日/八/U弓XjrrU。rrU，HI—上題知—(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若rxr'豐o，則存在數(shù)量—?函數(shù)人(t)、^(t)，吏廣二人r+^r, ①令n=rx—，則n古0，且r(t)±n(t)。對(duì)n=rx—求微商并將①式代入r彳 r得n=rXr"=^(rX尸)=^n，于是nXn'=0，由上題知n有固定方向，而r(t)±n■，即r(t)平行于固定平面《微分幾何》復(fù)習(xí)資料3一、 填空題1、 設(shè)曲線c是連接曲面上兩點(diǎn)的長度最短的曲面上的曲線，則C是。2、 曲面S在P0點(diǎn)沿非零切向量w=。r+Hr的法曲率定義為K(W)=。n3、 設(shè)空間曲線的曲率K>0，則該空間曲線落在某個(gè)平面上的充要條件是^。4、 可展曲面的高斯曲率等于。5、 曲面的內(nèi)蘊(yùn)量是變換下的不變量。6、 利用主曲率計(jì)算曲面法曲率的Euler公式是。二、 計(jì)算題1、 求雙曲面z=axy的第一、第二基本形式。2、 求雙曲面z=axy在(0，0)點(diǎn)的平均曲率和高斯曲率。3、 求曲線r={a(3t—t3),3at2,a(3t+13)}(a>0)的曲率和撓率。4、求拋物面z=a(x2+y2)在(0，0)點(diǎn)的主曲率。答案一、 填空題1、 測地線L^2+2M敏+N中2、 -TTU EQ2+2八門+Gq23、 T=04、 K=0.5、 等距6、 kcos20+ksin20二、 計(jì)算題1、解：曲線的參數(shù)方程為r=3,y.axy)r=(1,0,ay),r=(0,1,ax)。。。2分r=r=0,r=(0,0,a。。。2分(一ay,一ax,1)TOC\o"1-5"\h\zn= 。。。。1：1+a2x2+a2y2E=1+a2y2,F=axy,G=1+a2x2,一一 a==,=q1+a2x2+a2y2°所以I=ds2=(1+a2y2)dxdx+2axydxdy+(1+a2x2)dydyII= 」" -dxdy\：1+a2x2+a2y22、解：由第1題的計(jì)算知在點(diǎn)(0，0)處E=1,F=0,G=1,L=N=0,M=a從而在(0，0)處LNLN-M2——a2EG—F2TT NE—2MF+LG八TOC\o"1-5"\h\zH= —02(EG—F2)3、 解:F=3a{1—12,2t,1+12},己—6a{—t,1,t},P''=6a{—1,0,1},r'Xrn=18a2{t2—1,—2t,12+1},,Ir對(duì)''I 18a2互(t2+1) 1k= — — Ir'|3 27a22t2(t2+1)3 3a(t2+1)2〃_(r‘，r‘‘，r‘‘')_ 18x6a3x2 _ 1'—(rxr”)2—1