鄖西縣河夾中學(xué)段廉潔最短路徑問題將軍飲馬問題造橋選址問題鄖西縣河夾中學(xué)段廉潔最短路徑問題將軍飲馬問題造1最短路徑問題①垂線段最短。②兩點之間，線段最短。LABABLC最短路徑問題①垂線段最短。②兩點之間，線段最短。LABABL2問題1

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ABCL問題1

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊3兩種情形點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點ABllABCB′C兩種情形點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點點A,B分別是直線l4解決問題1①作圖lABB′C②證明lABB′CC′解決問題1①作圖lABB′C②證明lABB′CC′5lABB′CC′證明:lABB′CC′證明:6問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）ABMNab問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)7解決問題2①作圖②證明ABMNabA′ABMNabA′M′N′解決問題2①作圖②證明ABMNabA′ABMNabA′8證明:ABMNabA′M′N′證明:ABMNabA′M′N′9練習(xí)

1、如圖1，臺球桌上有一個黑球，一個白球，如何用球桿去擊白球使其撞到AB邊反彈后再撞到黑球?

2、如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分別找一點M、N，當(dāng)△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為多少？

DBAC圖1ABDC圖2A′A″NM練習(xí)

1、如圖1，臺球桌上有一個黑球，一個白球，如何用球10鄖西縣河夾鎮(zhèn)初級中學(xué)段廉潔造橋選址問題的延伸探索鄖西縣河夾鎮(zhèn)初級中學(xué)段廉潔造橋選址問題的延伸探索11造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座12思維分析BA1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？思維分析BA1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接13我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋14上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢驗.合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢?上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢驗.合作與交流15問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連16問題延伸一如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）問題延伸一如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一17思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平移到A點處、都平移到B點處、MN平移到A點處，PQ平移到B點處思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ18思維方法一1、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點至AA1使AA1=MN，此時問題轉(zhuǎn)化為問題基本題型兩點（A1、B點）和一條河建橋（PQ）思維方法一1、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點192、利用基本問題的解決方法確定橋PQ：（1）在沿垂直于第二條河岸的方向平移A1至A2，使A1A2=PQ.（2）連接A2B交A2的對岸Q點，在點處建橋PQ.2、利用基本問題的解決方法確定橋PQ：203、確定PQ的位置，也確定了BQ和PQ，此時問題可轉(zhuǎn)化為由A點、P點和第一條河確定橋MN的位置.連接A1P交Ａ１的對岸于Ｎ點，在Ｎ點處建橋ＭＮ．3、確定PQ的位置，也確定了BQ和PQ，此時問題可轉(zhuǎn)化為由A21問題解決沿垂直于河岸方向依次把Ａ點Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２＝ＰＱ；連接Ａ２Ｂ交于Ｂ點相鄰河岸于Ｑ點，建橋ＰＱ；連接Ａ１Ｐ交Ａ１的對岸于Ｎ點，建橋ＭＮ；從Ａ點到Ｂ點的最短路徑為ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．問題解決沿垂直于河岸方向依次把Ａ點Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ22思維方法二沿垂直于第一條河岸方向平移Ａ點至Ａ１點，沿垂直于第二條河岸方向平移Ｂ點至Ｂ１點，連接A1B1分別交A、B的對岸于N、P兩點，建橋MN和PQ.最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.思維方法二沿垂直于第一條河岸方向平移Ａ點至Ａ１23思維方法三沿垂直于河岸方向依次把B點平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２＝MN；連接B２A交于A點相鄰河岸于M點，建橋MN；連接B１N交B１的對岸于P點，建橋PQ；從Ａ點到Ｂ點的最短路徑為ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ轉(zhuǎn)化為AB2+B2B1+B1B．思維方法三沿垂直于河岸方向依次把B點平移至B１、B２，使BB24問題延伸二如圖，A和B兩地之間有三條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN、PQ和GH.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）問題延伸二如圖，A和B兩地之間有三條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一25思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．橋MN、PQ和GH在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有四種：三個橋長都平移到A點處；都平移到B點處；MN、PQ平移到A點處；PQ、GH平移到B點處思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱG26問題解決沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２＝PQ，A2A3=GH；連接A3B交于B點相鄰河岸于H點，建橋GH；連接A2G交第二河與G對岸的P點，建橋PQ；連接A1P交第一條河與A的對岸于N點，建橋MN.此時從A到B點路徑最短.問題解決沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１、A２、A3，使27沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２＝PQ，A2A3=GH；連接A3B交于B點相鄰河岸于H點，建橋GH；連接A2G交第二河與G對岸的P點，建橋PQ；連接A1P交第一條河與A的對岸于N點，建橋MN.此時從A到B點路徑最短.問題解決沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１、A２、A3，使AA１＝28沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１，使AA１＝MN，平移B點至B1、B2,使BB1＝GH，B1B2=PQ；連接A1B2交第一條河與A點相對河岸于N點，交第二條河與N相鄰河岸于P點，建橋MN、PQ；連接B1Q交第三條河與Q相鄰河岸的G點，建橋GH；此時從A到B點路徑最短.問題解決沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１，使AA１＝MN，平移B29沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ＰＱ，平移B點至B1,使BB1＝GH；連接A２B１交第三條河與Ｂ點相對河岸于Ｇ點，交第二條河與Ｇ相鄰河岸于Ｑ點，建橋ＧＨ、PQ；連接Ａ1Ｐ交第一條河與Ｐ相鄰河岸的Ｎ點，建橋ＭＮ；此時從A到B點路徑最短.問題解決沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１、A2，使AA１＝MN，30沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ＰＱ，平移B點至B1,使BB1＝GH；連接A２B１交第三條河與Ｂ點相對河岸于Ｇ點，交第二條河與Ｇ相鄰河岸于Ｑ點，建橋ＧＨ、PQ；連接Ａ1Ｐ交第一條河與Ｐ相鄰河岸的Ｎ點，建橋ＭＮ；此時從A到B點路徑最短.問題解決沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１、A2，使AA１＝MN，31鄖西縣河夾中學(xué)段廉潔最短路徑問題將軍飲馬問題造橋選址問題鄖西縣河夾中學(xué)段廉潔最短路徑問題將軍飲馬問題造32最短路徑問題①垂線段最短。②兩點之間，線段最短。LABABLC最短路徑問題①垂線段最短。②兩點之間，線段最短。LABABL33問題1

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ABCL問題1

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊34兩種情形點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點ABllABCB′C兩種情形點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點點A,B分別是直線l35解決問題1①作圖lABB′C②證明lABB′CC′解決問題1①作圖lABB′C②證明lABB′CC′36lABB′CC′證明:lABB′CC′證明:37問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）ABMNab問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)38解決問題2①作圖②證明ABMNabA′ABMNabA′M′N′解決問題2①作圖②證明ABMNabA′ABMNabA′39證明:ABMNabA′M′N′證明:ABMNabA′M′N′40練習(xí)

1、如圖1，臺球桌上有一個黑球，一個白球，如何用球桿去擊白球使其撞到AB邊反彈后再撞到黑球?

2、如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分別找一點M、N，當(dāng)△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為多少？

DBAC圖1ABDC圖2A′A″NM練習(xí)

1、如圖1，臺球桌上有一個黑球，一個白球，如何用球41鄖西縣河夾鎮(zhèn)初級中學(xué)段廉潔造橋選址問題的延伸探索鄖西縣河夾鎮(zhèn)初級中學(xué)段廉潔造橋選址問題的延伸探索42造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座43思維分析BA1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？思維分析BA1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接44我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋45上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢驗.合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢?上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢驗.合作與交流46問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連47問題延伸一如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）問題延伸一如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一48思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平移到A點處、都平移到B點處、MN平移到A點處，PQ平移到B點處思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ49思維方法一1、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點至AA1使AA1=MN，此時問題轉(zhuǎn)化為問題基本題型兩點（A1、B點）和一條河建橋（PQ）思維方法一1、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點502、利用基本問題的解決方法確定橋PQ：（1）在沿垂直于第二條河岸的方向平移A1至A2，使A1A2=PQ.（2）連接A2B交A2的對岸Q點，在點處建橋PQ.2、利用基本問題的解決方法確定橋PQ：513、確定PQ的位置，也確定了BQ和PQ，此時問題可轉(zhuǎn)化為由A點、P點和第一條河確定橋MN的位置.連接A1P交Ａ１的對岸于Ｎ點，在Ｎ點處建橋ＭＮ．3、確定PQ的位置，也確定了BQ和PQ，此時問題可轉(zhuǎn)化為由A52問題解決沿垂直于河岸方向依次把Ａ點Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２＝ＰＱ；連接Ａ２Ｂ交于Ｂ點相鄰河岸于Ｑ點，建橋ＰＱ；連接Ａ１Ｐ交Ａ１的對岸于Ｎ點，建橋ＭＮ；從Ａ點到Ｂ點的最短路徑為ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．問題解決沿垂直于河岸方向依次把Ａ點Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ53思維方法二沿垂直于第一條河岸方向平移Ａ點至Ａ１點，沿垂直于第二條河岸方向平移Ｂ點至Ｂ１點，連接A1B1分別交A、B的對岸于N、P兩點，建橋MN和PQ.最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.思維方法二沿垂直于第一條河岸方向平移Ａ點至Ａ１54思維方法三沿垂直于河岸方向依次把B點平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２＝MN；連接B２A交于A點相鄰河岸于M點，建橋MN；連接B１N交B１的對岸于P點，建橋PQ；從Ａ點到Ｂ點的最短路徑為ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ轉(zhuǎn)化為AB2+B2B1+B1B．思維方法三沿垂直于河岸方向依次把B點平移至B１、B２，使BB55問題延伸二如圖，A和B兩地之間有三條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN、PQ和GH.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）問題延伸二如圖，A和B兩地之間有三條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一56思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．橋MN、PQ和GH在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有四種：三個橋長都平移到A點處；都平移到B點處；MN、PQ平移到A點處；PQ、GH平移到B點處思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱG57問題解決沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１