專(zhuān)題12圓錐曲線的綜合應(yīng)用1、【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的方程為（）A． B．C． D．2、【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．3、【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】已知F是雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B．C． D．4、【2018年高考浙江卷】已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)足，則當(dāng)m=___________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．5、【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程．6、【2019年高考北京卷文數(shù)】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．7、【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知（O為原點(diǎn)）.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，圓C同時(shí)與x軸和直線l相切，圓心C在直線x=4上，且，求橢圓的方程.8、【2019年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點(diǎn)為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過(guò)F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B，連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連結(jié)DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．9、【2019年高考浙江卷】如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記的面積分別為．（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．一、解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．二、直線與橢圓位置關(guān)系1、直線與橢圓位置關(guān)系：相交（兩個(gè)公共點(diǎn)），相切（一個(gè)公共點(diǎn)），相離（無(wú)公共點(diǎn)）2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟：通過(guò)方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定，下面以直線和橢圓：為例（1）聯(lián)立直線與橢圓方程：（2）確定主變量（或）并通過(guò)直線方程消去另一變量（或），代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程：，整理可得：（3）通過(guò)計(jì)算判別式的符號(hào)判斷方程根的個(gè)數(shù)，從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系①方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與橢圓相交②方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與橢圓相切③方程沒(méi)有實(shí)根直線與橢圓相離3、若直線上的某點(diǎn)位于橢圓內(nèi)部，則該直線一定與橢圓相交三、圓錐曲線問(wèn)題的解決思路與常用公式：1、直線與圓錐曲線問(wèn)題的特點(diǎn)：（1）題目貫穿一至兩個(gè)核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉），（2）條件與直線和曲線的交點(diǎn)相關(guān)，所以可設(shè)，至于坐標(biāo)是否需要解出，則看題目中的條件，以及坐標(biāo)的形式是否復(fù)雜（3）通過(guò)聯(lián)立方程消元，可得到關(guān)于（或）的二次方程，如果所求的問(wèn)題與兩根的和或乘積有關(guān)，則可利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入，從而不需求出（所謂“設(shè)而不求”）（4）有些題目會(huì)涉及到幾何條件向解析語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，注重?cái)?shù)形幾何，注重整體代入。則可簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程（5）韋達(dá)定理：是用二次方程的系數(shù)運(yùn)算來(lái)表示兩個(gè)根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個(gè)：一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)致直接利用求根公式計(jì)算出來(lái)的實(shí)根形式非常復(fù)雜，難以參與后面的運(yùn)算；二是解析幾何的一些問(wèn)題或是步驟經(jīng)常與兩個(gè)根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系。進(jìn)而在思路上就想利用韋達(dá)定理，繞開(kāi)繁雜的求根結(jié)果，通過(guò)整體代入的方式得到答案。所以說(shuō)，解析幾何中韋達(dá)定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入的思想，并不是每一道解析題必備的良方。如果二次方程的根易于表示（優(yōu)先求點(diǎn)，以應(yīng)對(duì)更復(fù)雜的運(yùn)算），或者所求的問(wèn)題與兩根和，乘積無(wú)關(guān)，則韋達(dá)定理毫無(wú)用武之地。四、直線方程的形式：直線的方程可設(shè)為兩種形式：（1）斜截式：，此直線不能表示豎直線。聯(lián)立方程如果消去則此形式比較好用，且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn)，在用斜截式解決問(wèn)題時(shí)要注意檢驗(yàn)斜率不存在的直線是否符合條件（2），此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線。經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去時(shí)使用，多用于拋物線（消元后的二次方程形式簡(jiǎn)單）。此直線不能直接體現(xiàn)斜率，當(dāng)時(shí)，斜率五、面積問(wèn)題的解決策略：（1）求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長(zhǎng)度，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，通常優(yōu)先選擇能用坐標(biāo)直接進(jìn)行表示的底（或高）。（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通常考慮拆分為多個(gè)三角形的面積和，對(duì)于三角形如果底和高不便于計(jì)算，則也可以考慮拆分成若干個(gè)易于計(jì)算的三角形2、多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：關(guān)鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計(jì)算得以簡(jiǎn)化3、面積的最值問(wèn)題：通常利用公式將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，在尋底找高的過(guò)程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線段參與運(yùn)算。這樣可以使函數(shù)解析式較為簡(jiǎn)單，便于分析題型一圓錐曲線中的直線問(wèn)題解決解析幾何中的直線或線段問(wèn)題主要有兩種方法：．一般的，設(shè)線法是比較順應(yīng)題意的一種解法，它的參變量較少，目標(biāo)集中，思路明確；而設(shè)點(diǎn)法要用好點(diǎn)在曲線上的條件，技巧性較強(qiáng)，但運(yùn)用的好，解題過(guò)程往往會(huì)顯得很簡(jiǎn)捷．對(duì)于這道題，這兩種解法差別不是很大，但對(duì)于有些題目，方法選擇的不同，差別會(huì)很大，因此要注意從此題的解法中體會(huì)設(shè)點(diǎn)法和設(shè)線法的不同．例1、(2019蘇州期初調(diào)查）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為eq\f(1,2)，點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))為橢圓上一點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．例2、（2016南通一調(diào)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，離心率為eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)，線段BC被y軸平分，且AB⊥AC，求直線l的方程．題型二圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題探索圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊直線或者曲線方程確定點(diǎn)，再證明直線或曲線過(guò)改點(diǎn)；②根據(jù)直線或者曲線方程直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)·例3、(2019蘇北三市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線l的距離為1.過(guò)x軸上一點(diǎn)M(m，0)(m為常數(shù)，且m∈(0，2))的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與l交于點(diǎn)P，D是弦AB的中點(diǎn)，直線OD與l交于點(diǎn)Q.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)試判斷以PQ為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．例4、(2016泰州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝4，橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，A為橢圓右頂點(diǎn)．過(guò)原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P，直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q，其中D(－eq\f(6,5)，0).設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2.(1)求k1k2的值；(2)記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由；(3)求證：直線AC必過(guò)點(diǎn)Q.題型三圓錐曲線中的定值問(wèn)題探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．定值問(wèn)題，要恰當(dāng)去轉(zhuǎn)化，能很好的降低計(jì)算量，用向量的坐標(biāo)來(lái)計(jì)算，結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)、優(yōu)美，代入根與系數(shù)關(guān)系可以很容易得出結(jié)果例5、(2019鎮(zhèn)江期末）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，兩準(zhǔn)線間距離為4eq\r(2).設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)D(1，0)，且與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)若△AEF的面積為eq\r(10)，求直線l的方程；(3)已知直線AE，AF分別交直線x＝3于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為Q，設(shè)直線l和QD的斜率分別為k(k≠0)，k′，求證：k·k′為定值．例6、(2016南京學(xué)情調(diào)研）如圖，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(\r(2),2)，一條準(zhǔn)線方程為x＝2.過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)A作一條與x軸，y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)P，P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q.(1)求橢圓的方程；(2)若直線AP，AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù)．題型四圓錐曲線中最值問(wèn)題問(wèn)題圓錐曲線中的最值問(wèn)題關(guān)鍵就是建立目標(biāo)函數(shù)，把所求的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò)求導(dǎo)或者運(yùn)用基本不等式來(lái)求解。例7、(2019無(wú)錫期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，且過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))，點(diǎn)P在第四象限，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，PA交y軸于點(diǎn)C，PB交x軸于點(diǎn)D.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求△PCD面積的最大值．例8、(2016蘇州暑假測(cè)試）如圖，已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，P為橢圓C1上任一點(diǎn)，MN是圓C2：x2＋(y－3)2＝1的一條直徑，在y軸上截距為3－eq\r(2)的直線l與AF平行且與圓C2相切．(1)求橢圓C1的離心率；(2)若橢圓C1的短軸長(zhǎng)為8，求eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最大值．1、(2019南京學(xué)情調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該雙曲線的離心率是________．2、（2016無(wú)錫期末）設(shè)△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，則以A，B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線的離心率為_(kāi)_______．3、(2018無(wú)錫期末）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為右支上任意一點(diǎn)，則eq\f(PFeq\o\al(2,1),PF2)的最小值為_(kāi)_______．4、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一））已知直線l：x－y＋2＝0與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P在直線l上．圓C：(x－2)2＋y2＝2上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿(mǎn)足AB⊥BP，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值集合為_(kāi)_______．5、(2017常州期末）已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)F是橢圓eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，且直線PQ經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．6、(2018蘇州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為3(eq\r(2)－1)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)M(0，－1)的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．7、(2018無(wú)錫期末）已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，A，B分別為左、右頂點(diǎn)，D為上頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線BD的距離為eq\f(\r(6),3).設(shè)點(diǎn)P在第一象限，且PB⊥x軸，連結(jié)PA交橢圓于點(diǎn)C，記點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t.(1)求橢圓E的方程；(2)若△ABC的面積等于四邊形OBPC的面積，求直線PA的方程；(3)求過(guò)點(diǎn)B，C，P的圓的方程(結(jié)果用t表示)．8、(2019通州、海門(mén)、啟東期末）如圖，A是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓上且均在x軸上方，(1)若直線AP與OP垂直，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若直線AP，AQ的斜率之積為eq\f(3,4)，求直線PQ的斜率的取值范圍．9、(2019常州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦點(diǎn)在橢圓C2：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1上，其中a>b>0，且點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(\r(6),3)))是橢圓C1，C2位于第一象限的交點(diǎn)．(1)求橢圓C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)y軸上一點(diǎn)Q的直線l與橢圓C2相切，與橢圓C1交于點(diǎn)A，B，已知eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(QB,\s\up6(→))，求直線l的斜率．10、(2019南京、鹽城一模）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)之間的距離為2，兩條準(zhǔn)線間的距離為8，直線l：y＝k(x－m)(m∈R)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A，記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k1k2＝－eq\