一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質第一節(jié)

數(shù)列的極限—、數(shù)列極限的定義引例1.

設有半徑為r

的圓,用其內(nèi)接正n邊形的面積An近圓面積S.,可知πnrnn

nA

nr

2

s

i

n

π

c

o

s

π(

n

3, 4

,

5,

)當n無限增大時,An無限數(shù)學語言描述:

0,正整數(shù)N

,

當

n

>

N

時,總有An

S

近S.(割圓術)引例2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”21第一天截下的杖長為

X

1

;2222第二天截下的杖長總和為

X

1

1

;

第n天截下的杖長總和為X2222nn

1

1

1

;n2nX

1

1

12：數(shù)列的定義依次排列的一列數(shù)定義:按自然數(shù)1,2,3,x1

,

x2

,,

xn

,

(1)稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項,xn

稱為通項(一般項).數(shù)列(1)記為{xn

}.例如2,4,8,,2n

,;2

4

82n1

,

1

,

1

,,

1

,;2n{2n

}{

1

}注意：1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取x1

,x2

,,xn

,.x2

x4x3

x1

xn2.數(shù)列是整標函數(shù)

xn

f

(n).1,1,1,,(1)n1

,;{(1)n1

}2,

1

,

4

,,

n

(1)n1

,;{n

(1)n1}2

3

n

n3, 3

3,, 3

3

3

,}當n

時的變化趨勢.(1)n1觀察數(shù)列{1

n3:數(shù)列的極限問題:

當

n

無限增大時,

xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?無限接近于1.(1)n1當n

無限增大時,xn

1

n問題: “無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.nn

n

x

1

(1)n1

1

1通過上面演示實驗的觀察:1

,100n1,

只要n

100時,

有

x

1

100給定

,

由

1

1n

10010001給定,只要n

1000時,,100001n有

x

1

,100001給定只要n

10000時,,10001n有

x

1

只要n

N

(

[1])時,給定

0,

1

成立.n有x定義

如果對于任意給定的正數(shù)

(不論它多么小),總存在正數(shù)N

,使得對于n

N

時的一切xn

,不等式

xn

a

都成立,那么就稱常數(shù)a

是數(shù)列xn

的極限,或者稱數(shù)列xn

收斂于a

,記為lim

xn

a,n或xn

a(n

).如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：1.不等式

xn

a

刻劃了xn與a的無限接近;2.N與任意給定的正數(shù)有關.xx2

x1xN

1x3其中

:

每一個或任給的;

:

至少有一個或存在.幾何解釋:當n

N時,

所有的點xn都落在(a

,

a

)內(nèi),只有有限個(至多只有N個)落在其外.

N定義:lim

xn

a

n

0,

N

0,使n

N時,

恒有

xn

a

.aaxN

22a例如,,

1

,

2

,

3

,

,2

3

4nn

1n

n

1nx

1 (n

)nnx

n

(1)n1

1(n

)2

,

4

,

8

,

,

2n

,

xn

2n

(n

)趨勢不定,

(1)n1

,xn

(1)n1收斂發(fā)散2

,

1

,

4

,

3

,2

3

4,n,

n

(1)n11

,

1

,

1

,注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n

(1)n1n例1

證明lim

1.n證n

n

(1)n1n1xn

1

1

nn任給

0,

要

x

1

,

只要1

,或n

1

,所以,

取N

[1],則當n

N時,

1

nn

(1)n1就有

1.即lim

n

(1)n1nn例2.

已知xn證明證:

(0,1),欲使只要1n

1取N

[

1

1]

,則當

n

N

時,

就有xn

0

,2

0(1)nn

(n

1)故

lim

xn

limn故也可取N

[1

]也可由21(n1)xn

0

,

即n

1

1.說明:

N

與

有關,

但不唯一.不一定取最小的

N

.取N

1

1

(

1)

n(

n

1)

2,nnlim

x

0

.(1)n

1

1xn

0

(n

1)2

0

(n

1)2

n

1xn

0

,xn

0

1

1

,n1

n例3設xn

C(C為常數(shù)),

證明lim

xn

C.n任給

0,對于一切自然數(shù)n

,證xn

C

C

C

0

成立,所以,lim

xn

C

.n說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結:用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給定

0,尋找N,但不必要求最小的N.例4證明limqnn

0,其中q

1.任給

0,

若q

0,證xn

0

qn

,取N

[ln

],則當n

N時,ln

q就有qn

0

,

lim

qn

0.n則lim

qn

lim

0

0;nnn

ln

q

ln

,若0

q

1,ln

q

n

ln

,例5nxn

a.求證lim設xn

0,且lim

xn

a

0,n證

任給

0,故lim

xn

a.n

lim

xn

a,nN使得當n

N時恒有

xn

a

1

,nx

xn

aa

n從而有

x

a

axn

a

1a

定理1

每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證法1：n

n

設

lim

xn

a

,

又

lim

xn

b,

0,

N1

,

N

2

.使得當n

N1

時恒有由定義,

a

;當xnn

N

時恒有

x2

n

b

;

取N

maxN1

,N2

,則當n

N時有a

b

(xn

b)

(xn

a)

a

2.

xn

b

xn上式僅當a

b時才能成立.故收斂數(shù)列極限唯一.二、收斂數(shù)列的性質abab22

n

2n11ba2證法2:用反證法.假設lim

xn

a及l(fā)im

xn

b,且a

b.n

nn取

,因lim

x

a

,故存在N

,使當n

N

時,

a

ba

,從而x

ab

;nn同理,因lim

xn

b,故存在N2

,使當n

N2時,n

2

n

2ab

;x

b

ba

,從而xx取N

max

N1

,N2

,則當n

N時,xn滿足的不等式.故假設不真!因此收斂數(shù)列的極限必唯一.證:

用反證法.假設數(shù)列xn

收斂,則有唯一極限a

存在.2取

1

,則存在N

,a

1

xn

a

12

2但因

xn

交替取值

1

與－1

,長度為1

的開區(qū)間(a

1

,a

1

)內(nèi),2

2而此二數(shù)不可能同時落在使當

n>

N

時

,有因此該數(shù)列發(fā)散.1(

1)n(

n

1,

2,例6.證明數(shù)列xn)是發(fā)散的.2.有界性定義:

對數(shù)列xn

,若存在正數(shù)M

,使得一切自

M

成立,

則稱數(shù)列xn

有界,然數(shù)n,恒有xn否則,

稱為

.n例如,

數(shù)列

xn

n

1;

有界數(shù)列

xn

2n.注：數(shù)軸上對應于有界數(shù)列的點xn都落在閉區(qū)間[M

,M

]上.定理2

收斂的數(shù)列必定有界.證n設

lim

xn

a,由定義,取

1,則N

,

使得當n

N時恒有

xn

a

1,即有a

1

xn

a

1.記

M

max{

x1

,,

xN

,

a

1,

a

1},則對一切自然數(shù)n,皆有

xn

M

,故xn

有界.注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論

數(shù)列必定發(fā)散.3.

收斂數(shù)列具有保號性.(用反證法證明)n(0)若lim

xn

a,且a

0,則N

N

,當n

N時,有xn

0.(0)2證:

對

a

0,

取

a

,

則

N

N

,當

n

N

時,22

a

a

0nnx

a

a

xa2a2n(0)

a

,則a

0.(0)推論:若數(shù)列從某項起xn

0,且lim

xn定義

3

從數(shù)列{xn

}

中任選出無限多項，并按下標從小到大排成一列，記作xk

,

xk

, ,

xk

,

,1

2

n稱此數(shù)列{xk

}為數(shù)列{xn

}

的一個子數(shù)列，其中x

為n

kn數(shù)列{xn}

的第

kn

項，為數(shù)列{xk

}的第

n

項。n特別地，分別稱數(shù)列{x2n1}和數(shù)列{x2n

}為數(shù)列{xn

}的奇子數(shù)列和偶子數(shù)列.x

n

k

a

,由此證明4.

收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.是數(shù)列{xn

}的任一子數(shù)列.若當

n N

時,

有現(xiàn)取正整數(shù)K

,使

nKnk

nK

N從而有klim

x

n

a

.k

*********************NxNk證:

設數(shù)列

{xn

}lim

xn

a,n則

0,

N

,xn

aN,于是當

k

K

時,

有xnKn

K說明:由此性質可知

,