第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、知識(shí)梳理1．四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．2．空間直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．[注意]兩直線垂直有兩種情況——異面垂直和相交垂直．(3)等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)空間中直線和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線a在平面α內(nèi)a?α有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線在平面外直線a與平面α平行a∥α沒有公共點(diǎn)直線在平面外直線a與平面α斜交a∩α＝A有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α垂直a⊥α(2)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行α∥β沒有公共點(diǎn)兩平面相交斜交α∩β＝l有一條公共直線垂直α⊥β且α∩β＝a常用結(jié)論1．公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．2．異面直線判定的一個(gè)定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線．二、教材衍化1．若直線a不平行于平面α，且a?α，則下列結(jié)論成立的是()A．α內(nèi)的所有直線與a異面B．α內(nèi)不存在與a平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與a平行D．α內(nèi)的直線與a都相交解析：選B．若直線a不平行于平面α，且a?α，則線面相交，A選項(xiàng)不正確，α內(nèi)存在直線與a相交；B選項(xiàng)正確，α內(nèi)的直線與直線a的位置關(guān)系是相交或者異面，不可能平行；C選項(xiàng)不正確，因?yàn)棣羶?nèi)的直線與直線a的位置關(guān)系是相交或者異面，不可能平行；D選項(xiàng)不正確，α內(nèi)只有過直線a與平面的交點(diǎn)的直線與a相交．故選B．2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為________．解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°3．如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．解析：(1)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為菱形，所以EF＝EH，故AC＝BD.(2)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因?yàn)镋Feq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AC，EHeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交線，則P∈l.()(2)三點(diǎn)A，B，C確定一個(gè)平面．()(3)若直線a∩b＝A，則直線a與b能夠確定一個(gè)平面．()(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α.()(5)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×二、易錯(cuò)糾偏eq\a\vs4\al(常見誤區(qū))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())(1)對(duì)異面直線的概念理解有誤；(2)對(duì)等角定理?xiàng)l件認(rèn)識(shí)不清致誤；(3)對(duì)平面的性質(zhì)掌握不熟練，應(yīng)用不靈活．1．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線解析：選C．假設(shè)c∥b，又因?yàn)閏∥a，所以a∥b，這與a，b是異面直線矛盾，故c與b不可能平行．2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是()A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行解析：選D．兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不一定平行，故選D．3．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．解析：EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行．所以與EF相交的平面有4個(gè)．答案：4考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)(基礎(chǔ)型)eq\a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．核心素養(yǎng)：邏輯推理如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．【證明】如圖所示，連接CD1，EF，A1B，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又因?yàn)锳1D1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF與CD1確定一個(gè)平面α，所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．【遷移探究】(變問法)若本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點(diǎn)”？證明：如圖，由本例知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，所以四邊形CD1FE是梯形，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈CE，且P∈D1F，又CE?平面ABCD，且D1F?平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．eq\a\vs4\al()共面、共線、共點(diǎn)問題的證明方法(1)證明點(diǎn)或線共面，①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點(diǎn)共線，①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定的直線上．(3)證明線共點(diǎn)，先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．[提醒]點(diǎn)共線、線共點(diǎn)等都是應(yīng)用公理3，證明點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)，即證明點(diǎn)在交線上．1．(多選)(2021·預(yù)測(cè))用一個(gè)平面去截正方體，關(guān)于截面的形狀，下列判斷正確的是()A．直角三角形 B．正五邊形C．正六邊形 D．梯形解析：選CD．畫出截面圖形如圖：可以畫出三角形但不是直角三角形，故A錯(cuò)誤；如圖1經(jīng)過正方體的一個(gè)頂點(diǎn)去切就可得到五邊形，但此時(shí)不可能是正五邊形，故B錯(cuò)誤；正方體有六個(gè)面，如圖2用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，且可以畫出正六邊形，故C正確；可以畫出梯形但不是直角梯形，故D正確．2.如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．證明：(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線．考點(diǎn)二空間兩直線的位置關(guān)系(基礎(chǔ)型)eq\a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．核心素養(yǎng)：邏輯推理、直觀想象(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，EB，BD，F(xiàn)N，因?yàn)椤鰿DE是正三角形，所以EF⊥CD.設(shè)CD＝2，則EF＝eq\r(3).因?yàn)辄c(diǎn)N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2eq\r(2)，NF＝1，BC⊥CD.因?yàn)槠矫鍱CD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2eq\r(2)，所以在等腰三角形BDE中，BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直線．故選B．【答案】Beq\a\vs4\al()1．已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能解析：選D．在如圖所示的長(zhǎng)方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯(cuò)誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯(cuò)誤．故選D．2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論是________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)．解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯(cuò)誤．答案：③④考點(diǎn)三異面直線所成的角(基礎(chǔ)型)eq\a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())求異面直線所成的角關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為平面角，常利用平移法解決．(1)(2020·成都第一次診斷性檢測(cè))在各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M是棱BB1的中點(diǎn)，N是棱AC的中點(diǎn)，則異面直線A1M與BN所成角的正切值為()A．eq\r(3) B．1C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(2),2)(2)四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長(zhǎng)為________．【解析】(1)如圖，取AA1的中點(diǎn)P，連接PN，PB，則由直三棱柱的性質(zhì)可知A1M∥PB，則∠PBN為異面直線A1M與BN所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則PN＝eq\r(2)，PB＝eq\r(5)，BN＝eq\r(3)，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝eq\f(PN,BN)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，故選C．(2)如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，因?yàn)镺E∥AC，OF∥BD，所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當(dāng)∠EOF＝60°時(shí)，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).當(dāng)∠EOF＝120°時(shí)，取EF的中點(diǎn)M，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).【答案】(1)C(2)eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2)eq\a\vs4\al()平移法求異面直線所成角的步驟具體步驟如下：1.(2020·廣東省七校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AC與A1B所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C．如圖，連接CD1，AD1則A1B∥CD1，所以∠ACD1是異面直線AC與A1B所成的角或其補(bǔ)角．易知△ACD1是等邊三角形．所以∠ACD1＝60°，所以異面直線AC與A1B所成的角為60°.故選C．2．(2020·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)估)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，將四邊形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，則異面直線BD與CF所成角的余弦值為________．解析：如圖，連接DE交FC于點(diǎn)O，取BE的中點(diǎn)G，連接OG，CG，則OG∥BD且OG＝eq\f(1,2)BD，所以∠COG為異面直線BD與CF所成的角或其補(bǔ)角．設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則CE＝BE＝1，CF＝DE＝eq\r(CD2＋CE2)＝eq\r(5)，所以CO＝eq\f(1,2)CF＝eq\f(\r(5),2).易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(6)，所以O(shè)G＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(6),2).易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)，所以CG＝eq\r(CE2＋GE2)＝eq\f(\r(5),2).在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝eq\f(OC2＋OG2－CG2,2OC·OG)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×\f(\r(5),2)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(30),10)，所以異面直線BD與CF所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).答案：eq\f(\r(30),10)[基礎(chǔ)題組練]1．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析：選D．依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．故選D．2．(多選)下列命題正確的是()A．梯形一定是平面圖形B．若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行C．兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面D．若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合解析：選AC．對(duì)于A，由于兩條平行直線確定一個(gè)平面，所以梯形可以確定一個(gè)平面，故A正確；對(duì)于B，兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行或異面或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面，故C正確；對(duì)于D，若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交或重合，故D錯(cuò)誤．3．已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A．若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．4.(多選)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A．C1，M，O三點(diǎn)共線B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面C．C1，O，A1，M四點(diǎn)共面D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面解析：選ABC．連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，所以三點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，所以C1，M，O三點(diǎn)共線，所以選項(xiàng)A，B，C均正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．5.(2020·內(nèi)蒙古集寧一中四模)如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選A．取CB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.則EG∥AB，F(xiàn)G∥CD.所以EF與CD所成的角為∠EFG(或其補(bǔ)角)，因?yàn)镋F⊥AB，所以EF⊥EG.EG＝eq\f(1,2)AB＝1，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)CD＝2，所以在Rt△EFG中，sin∠EFG＝eq\f(1,2)，所以EF與CD所成的角為30°.故選A．6．已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是_______________________________．解析：如圖，由題意可知MN∥AC.又因?yàn)锳C∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．給出下列四個(gè)命題：①平面外的一條直線與這個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)；②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交；③若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面．其中真命題的序號(hào)是________．解析：①正確，因?yàn)橹本€在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個(gè)公共點(diǎn)．②正確，a，b有交點(diǎn)，則兩平面有公共點(diǎn)，則兩平面相交．③正確，兩平行直線可確定一個(gè)平面，又直線與兩平行直線的兩交點(diǎn)在這兩平行直線上，所以過這兩交點(diǎn)的直線也在平面內(nèi)，即三線共面．④錯(cuò)誤，這三條直線可以交于同一點(diǎn)，但不在同一平面內(nèi)．答案：①②③8．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．解析：如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD-QGHP，連接AG，GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)．求證：D1，H，O三點(diǎn)共線．證明：如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因?yàn)锽B1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因?yàn)槠矫鍭CD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三點(diǎn)共線．10.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).[綜合題組練]1．(創(chuàng)新型)如圖，已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點(diǎn)，H是點(diǎn)B在AC上的射影，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡()A．是圓 B．是橢圓C．是拋物線 D．不是平面圖形解析：選A．如圖，過點(diǎn)B作圓的直徑BD，連接CD，AD，則BC⊥CD，再過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接HE，因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH.又BH⊥AC，且AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE.又注意到過點(diǎn)B與直線AD垂直的直線都在同一個(gè)平面內(nèi)，于是結(jié)合點(diǎn)B，E位置，可知，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡是以BE為直徑的圓．故選A．2.(多選)如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，將△ABF沿BF所在的直線進(jìn)行翻折，將△CDE沿DE所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折的過程中，下列說(shuō)法正確的是()A．無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，A，C兩點(diǎn)都不可能重合B．存在某個(gè)位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°C．存在某個(gè)位置，使得直線AF與直線CE所成的角為90°D．存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD所成的角為90°解析：選ABC．在A中，A與C恒不重合，故A正確；在B中，存在某個(gè)位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°，故B正確；在C中，存在某個(gè)位置，使得直線AF與直線CE所成的角為90°，故C正確；在D中，直線AB與直線CD不可能垂直，故D不成立．故選ABC．3．一正方體的平面展開圖如圖所示，在這個(gè)正方體中，有下列四個(gè)命題：①AF⊥GC；②BD與GC成異面直線且夾角為60°；③BD∥MN；④BG與平面ABCD所成的角為45°.其中正確的是________(填序號(hào))．解析：將平面展開圖還原成正方體(如圖所示)．對(duì)于①，由圖形知AF與GC異面垂直，故①正確；對(duì)于②，BD與GC顯然成異面直線．如圖，連接EB，ED，則BE∥GC，所以∠EBD即為異面直線BD與GC所成的角(或其補(bǔ)角)．在等邊△BDE中，∠EBD＝60°，所以異面直線BD與GC所成的角為60°，故②正確；對(duì)于③，BD與MN為異面垂直，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由題意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG與平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④錯(cuò)誤．綜上可得①②正確．答案：①②4．(2020·河南安陽(yáng)調(diào)研四)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E∈平面AA1B1B，點(diǎn)F是線段AA1的中點(diǎn)，若D1E⊥CF，則當(dāng)△EBC的面積取得最小值時(shí)，eq\f(S△EBC,S四邊形ABCD)＝________．解析：如圖所示，連