磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用一、洛倫茲力的大小和方向1．定義：磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用力。2．大小(1)v∥B時(shí)，F(xiàn)＝0；(2)v⊥B時(shí)，F(xiàn)＝qvB；(3)v與B的夾角為θ時(shí)，F(xiàn)＝qvBsinθ。3．方向(1)判定方法：左手定則掌心——磁感線(xiàn)垂直穿入掌心；四指——指向正電荷運(yùn)動(dòng)的方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向；拇指——指向洛倫茲力的方向。(2)方向特點(diǎn)：F⊥B，F(xiàn)⊥v，即F垂直于B和v決定的平面。(注意B和v可以有任意夾角)4．做功：洛倫茲力不做功。二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．若v∥B，帶電粒子以入射速度v做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。2．若v⊥B時(shí)，帶電粒子在垂直于磁感線(xiàn)的平面內(nèi)，若只受洛倫茲力，則帶電粒子在與磁場(chǎng)垂直的平面內(nèi)以入射速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。3．基本公式(1)向心力公式：qvB＝meq\f(v2,r)；(2)軌道半徑公式：r＝eq\f(mv,Bq)；(3)周期公式：T＝eq\f(2πm,qB)。注意：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期與運(yùn)動(dòng)速度和軌跡半徑無(wú)關(guān)，只與粒子的比荷和磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有關(guān)。(4)運(yùn)動(dòng)時(shí)間：當(dāng)帶電粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為θ(弧度)時(shí)，所用時(shí)間t＝eq\f(θ,2π)T。(5)動(dòng)能：Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(p2,2m)＝eq\f(Bqr2,2m)。一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)一定會(huì)受到磁場(chǎng)力的作用。 (×)(2)洛倫茲力的方向在特殊情況下可能與帶電粒子的速度方向不垂直。 (×)(3)根據(jù)公式T＝eq\f(2πr,v)，說(shuō)明帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期T與v成反比。 (×)(4)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)半徑與帶電粒子的比荷有關(guān)。 (√)(5)經(jīng)過(guò)回旋加速器加速的帶電粒子的最大動(dòng)能是由D形盒的最大半徑、磁感應(yīng)強(qiáng)度B、加速電壓的大小共同決定的。 (×)(6)荷蘭物理學(xué)家洛倫茲提出磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷有作用力的觀點(diǎn)。 (√)(7)英國(guó)物理學(xué)家湯姆孫發(fā)現(xiàn)電子，并指出：陰極射線(xiàn)是高速運(yùn)動(dòng)的電子流。 (√)二、教材習(xí)題衍生1．(洛倫茲力的方向)下列各圖中，運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和電荷的受力方向之間的關(guān)系正確的是()ABCD[答案]B2．(帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng))兩個(gè)粒子，電荷量相等，在同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中受磁場(chǎng)力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)()A．若速率相等，則半徑必相等B．若動(dòng)能相等，則周期必相等C．若動(dòng)量大小相等，則周期必相等D．若動(dòng)量大小相等，則半徑必相等D[帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，qvB＝meq\f(v2,R)，可得R＝eq\f(mv,qB)，T＝eq\f(2πm,qB)，可知D正確。]3．(帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng))兩相鄰勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不同、方向平行。一速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直的帶電粒子(不計(jì)重力)，從較強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入到較弱磁場(chǎng)區(qū)域后，粒子的()A．軌道半徑減小，角速度增大B．軌道半徑減小，角速度減小C．軌道半徑增大，角速度增大D．軌道半徑增大，角速度減小D[帶電粒子從較強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入到較弱磁場(chǎng)區(qū)域后，粒子的速度v大小不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度B減小，由公式r＝eq\f(mv,qB)可知，軌道半徑增大；根據(jù)ω＝eq\f(v,r)知角速度減小，選項(xiàng)D正確。]對(duì)洛倫茲力的理解和應(yīng)用1．(洛倫茲力的理解)下列說(shuō)法正確的是()A．運(yùn)動(dòng)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度不為零的地方，一定受到洛倫茲力的作用B．運(yùn)動(dòng)電荷在某處不受洛倫茲力作用，則該處的磁感應(yīng)強(qiáng)度一定為零C．洛倫茲力既不能改變帶電粒子的動(dòng)能，也不能改變帶電粒子的速度D．洛倫茲力對(duì)帶電粒子不做功D[運(yùn)動(dòng)電荷速度方向與磁場(chǎng)方向平行時(shí)，不受洛倫茲力；洛倫茲力只改變帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向，不改變帶電粒子的速度大小；洛倫茲力對(duì)帶電粒子不做功，故D正確。]2．(洛倫茲力的方向)(2021·江蘇省如東高級(jí)中學(xué)高三月考)有一個(gè)電子射線(xiàn)管(陰極射線(xiàn)管)，放在一通電直導(dǎo)線(xiàn)的上方，發(fā)現(xiàn)射線(xiàn)的徑跡如圖所示，則此導(dǎo)線(xiàn)該如何放置，且電流的流向如何()A．直導(dǎo)線(xiàn)如圖所示位置放置，電流從B流向AB．直導(dǎo)線(xiàn)如圖所示位置放置，電流從A流向BC．直導(dǎo)線(xiàn)垂直于紙面放置，電流流向紙內(nèi)D．直導(dǎo)線(xiàn)垂直于紙面放置，電流流向紙外A[電子運(yùn)動(dòng)方向從左向右，根據(jù)左手定則，四指指向電子運(yùn)動(dòng)的反方向，即指向左，大拇指指向電子偏轉(zhuǎn)方向，由此得出導(dǎo)線(xiàn)上方磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，因此直導(dǎo)線(xiàn)必須如題圖所示的位置放置，根據(jù)右手螺旋定則可知，導(dǎo)線(xiàn)AB中的電流方向從B指向A，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。]3．(洛倫茲力與電場(chǎng)力的比較)如圖甲所示，帶電小球以一定的初速度v0豎直向上拋出，能夠達(dá)到的最大高度為h1；若加上水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(如圖乙)，且保持初速度仍為v0，小球上升的最大高度為h2，若加上水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)(如圖丙)，且保持初速度仍為v0，小球上升的最大高度為h3；若加上豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)(如圖丁)，且保持初速度仍為v0，小球上升的最大高度為h4。不計(jì)空氣阻力，則()甲乙丙丁A．一定有h1＝h3B．一定有h1＜h4C．一定有h2<h4D．h1與h2無(wú)法比較A[題圖甲中，由豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最大高度公式得h1＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)，題圖丙中，當(dāng)加上電場(chǎng)時(shí)，由運(yùn)動(dòng)的分解可知，在豎直方向上，有veq\o\al(2,0)＝2gh3，得h3＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)，所以h1＝h3，故A正確；題圖乙中，洛倫茲力改變速度的方向，當(dāng)小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，小球應(yīng)有水平速度，設(shè)此時(shí)小球的動(dòng)能為Ek，則由能量守恒定律得mgh2＋Ek＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，又由于eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mgh1，所以h1＞h2，D錯(cuò)誤；題圖丁中，因小球電性未知，則電場(chǎng)力方向不確定，則h4可能大于h1，也可能小于h1，因?yàn)閔1>h2，所以h2與h4也無(wú)法比較，故B、C錯(cuò)誤。]1．洛倫茲力的特點(diǎn)(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷。(2)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中不一定受洛倫茲力作用。(3)洛倫茲力一定不做功。2．洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場(chǎng)力。(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功。3．洛倫茲力與電場(chǎng)力的比較洛倫茲力電場(chǎng)力產(chǎn)生條件v≠0且v不與B平行電荷處在電場(chǎng)中大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE力方向與場(chǎng)方向的關(guān)系F⊥B，F(xiàn)⊥vF∥E做功情況任何情況下都不做功可能做功，也可能不做功帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一、求解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的三要點(diǎn)1．兩種方法定圓心方法一：已知入射點(diǎn)、入射方向和出射點(diǎn)、出射方向時(shí)，可通過(guò)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作垂直于入射方向和出射方向的直線(xiàn)，兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓弧軌跡的圓心(如圖甲所示)。甲乙方法二：已知入射方向和入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以通過(guò)入射點(diǎn)作入射方向的垂線(xiàn)，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線(xiàn)，這兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓弧軌跡的圓心(如圖乙所示)。2．幾何知識(shí)求半徑利用平面幾何關(guān)系，求出軌跡圓的可能半徑(或圓心角)，求解時(shí)注意以下幾個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圓心角(α)，并等于AB弦與切線(xiàn)的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。(2)直角三角形的應(yīng)用(勾股定理)。找到AB的中點(diǎn)C，連接OC，則△AOC、△BOC都是直角三角形。3．求時(shí)間的兩種方法方法一：由運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)計(jì)算，t＝eq\f(l,v)(l為弧長(zhǎng))；方法二：由旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算，t＝eq\f(α,360°)T或t＝eq\f(α,2π)T。二、三類(lèi)邊界磁場(chǎng)中的軌跡特點(diǎn)1．直線(xiàn)邊界：進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱(chēng)性。(a)(b)(c)2．平行邊界：存在臨界條件。(d)(e)(f)3．圓形邊界：等角進(jìn)出，沿徑向射入必沿徑向射出。(g)(h)eq\o([典例])如圖所示，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面(紙面)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為eq\f(R,2)，已知粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°，則粒子的速率為(不計(jì)重力)()A．eq\f(qBR,2m) B．eq\f(qBR,m)C．eq\f(3qBR,2m) D．eq\f(2qBR,m)審題指導(dǎo)：解此題關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1)射入點(diǎn)與ab的距離為eq\f(R,2)，由此可確定射入點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)和豎直方向之間的夾角是30°。(2)粒子的偏轉(zhuǎn)角是60°，由此確定粒子的軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為60°。B[如圖所示，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O2必在過(guò)入射點(diǎn)垂直于入射速度方向的直線(xiàn)EF上，由于粒子射入、射出磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°，故圓弧ENM對(duì)應(yīng)圓心角為60°，所以△EMO2為等邊三角形。由于O1D＝eq\f(R,2)，所以∠EO1D＝60°，△O1ME為等邊三角形，所以可得到粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑EO2＝O1E＝R，由qvB＝eq\f(mv2,R)，得v＝eq\f(qBR,m)，B正確。][變式1]此[典例]中，帶電粒子在圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中的運(yùn)行時(shí)間為()A．eq\f(πm,6qB) B．eq\f(πm,3qB)C．eq\f(2πm,3qB) D．eq\f(πm,qB)B[粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ＝60°，則在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間t＝eq\f(θ,360°)T＝eq\f(60°,360°)×eq\f(2πm,qB)＝eq\f(πm,3qB)，B項(xiàng)正確。][變式2]此[典例]中，若帶電粒子對(duì)準(zhǔn)圓心沿直徑ab的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向的夾角仍為60°，則粒子的速率為()A．eq\f(qBR,2m) B．eq\f(qBR,m)C．eq\f(\r(3)qBR,m) D．eq\f(\r(3)qBm,R)C[由題意粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則∠aO2c＝60°，∠aO1c＝120°。由幾何知識(shí)得r＝eq\r(3)R，又qvB＝meq\f(v2,r)，則v＝eq\f(qBr,m)＝eq\f(\r(3)qBR,m)，C項(xiàng)正確。][變式3]此[典例]中，若帶電粒子速率不變，磁場(chǎng)方向改為垂直紙面向里，帶電粒子從磁場(chǎng)射出時(shí)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向的夾角為()A．30° B．45°C．60° D．120°D[因帶電粒子的速率不變，由qvB＝eq\f(mv2,r)得r＝R，則粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)得∠EO2F無(wú)論帶電粒子在哪類(lèi)邊界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，解題時(shí)要抓住三個(gè)步驟：eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])帶電粒子在直線(xiàn)邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．如圖所示，兩個(gè)初速度大小相同的同種離子a和b，從O點(diǎn)沿垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，最后打到屏P上，不計(jì)重力，下列說(shuō)法正確的有()A．a(chǎn)、b均帶負(fù)電B．a(chǎn)在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間比b的短C．a(chǎn)在磁場(chǎng)中飛行的路程比b的短D．a(chǎn)在P上的落點(diǎn)與O點(diǎn)的距離比b的小D[根據(jù)左手定則可知a、b均帶正電，a、b離子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都為R＝eq\f(mv,qB)，畫(huà)出軌跡如圖所示，以O(shè)1、O2為圓心的兩圓弧分別為b、a的軌跡，a在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角大，由t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(θm,qB)和軌跡圖可知D選項(xiàng)正確。]帶電粒子在平行邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2．如圖所示，一個(gè)理想邊界為PQ、MN的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)寬度為d，方向垂直紙面向里。一電子從O點(diǎn)沿紙面垂直P(pán)Q以速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)。若電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為2d。O′在MN上，且OO′與MN垂直。下列判斷正確的是()A．電子將向右偏轉(zhuǎn)B．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為dC．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為eq\r(3)dD．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πd,3v0)D[電子帶負(fù)電，進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則判斷可知，所受的洛倫茲力方向向左，電子將向左偏轉(zhuǎn)，如圖所示，A錯(cuò)誤；設(shè)電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為x，則由幾何知識(shí)得：x＝r－eq\r(r2－d2)＝2d－eq\r(2d2－d2)＝(2－eq\r(3))d，故B、C錯(cuò)誤；設(shè)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，由幾何知識(shí)得：sinθ＝eq\f(d,2d)＝0.5，得θ＝eq\f(π,6)，則電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝eq\f(θr,v0)＝eq\f(πd,3v0)，故D正確。]帶電粒子在圓形邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)3．如圖所示，虛線(xiàn)所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為()A．eq\r(3)∶2 B．eq\r(2)∶1C．eq\r(3)∶1 D．3∶eq\r(2)C[相同的帶電粒子垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)入射均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。粒子以v1入射，一端為入射點(diǎn)P，對(duì)應(yīng)圓心角為60°(對(duì)應(yīng)六分之一圓周)的弦PP′的長(zhǎng)度必為垂直該弦入射粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的直徑2r1，如圖甲所示，設(shè)圓形區(qū)域的半徑為R，由幾何關(guān)系知r1＝eq\f(1,2)R。其他不同方向以v1入射的粒子的出射點(diǎn)在PP′對(duì)應(yīng)的圓弧內(nèi)。同理可知，粒子以v2入射及出射情況，如圖乙所示。由幾何關(guān)系知r2＝eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)R，可得r2∶r1＝eq\r(3)∶1。因?yàn)閙、q、B均相同，由公式r＝eq\f(mv,qB)可得v∝r，所以v2∶v1＝eq\r(3)∶1。故選C。]甲乙?guī)щ娏Ｗ釉谌切?、矩形邊界磁?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)4．如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界為直角三角形abc，一束帶正電的相同粒子以不同的速度v沿bc方向從b點(diǎn)射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力。關(guān)于粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，下列說(shuō)法正確的是()A．入射速度越大的粒子，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)B．入射速度越大的粒子，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡越長(zhǎng)C．從ab邊出射的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都相等D．從ac邊出射的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都相等C[帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡半徑r＝eq\f(mv,qB)，速度越大，半徑越大，從ac邊出射的粒子，速度越大，運(yùn)動(dòng)軌跡越短，對(duì)應(yīng)的圓心角θ越小，根據(jù)t＝eq\f(θ,2π)T和T＝eq\f(2πm,qB)可知，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短，選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤；從ab邊出射的粒子速度的偏向角都相同，而粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)的圓心角等于速度的偏向角，由t＝eq\f(θ,2π)T可知，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，選項(xiàng)C正確。]5．(2019·北京卷)如圖所示，正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子垂直磁場(chǎng)邊界從a點(diǎn)射入，從b點(diǎn)射出。下列說(shuō)法正確的是()A．粒子帶正電B．粒子在b點(diǎn)速率大于在a點(diǎn)速率C．若僅減小磁感應(yīng)強(qiáng)度，則粒子可能從b點(diǎn)右側(cè)射出D．若僅減小入射速率，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間變短C[由左手定則知，粒子帶負(fù)電，A錯(cuò)。由于洛倫茲力不做功，粒子速率不變，B錯(cuò)。由R＝eq\f(mv,qB)，若僅減小磁感應(yīng)強(qiáng)度B，R變大，則粒子可能從b點(diǎn)右側(cè)射出，C對(duì)。由R＝eq\f(mv,qB)，若僅減小入射速率v,則R變小，粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角θ變大。由t＝eq\f(θ,2π)T，T＝eq\f(2πm,qB)知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變長(zhǎng)，D錯(cuò)。]帶電粒子在多邊形邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)6．如圖所示，正六邊形abcdef區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶正電的粒子從f點(diǎn)沿fd方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)速度大小為vb時(shí)，從b點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tb，當(dāng)速度大小為vc時(shí)，從c點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tc，不計(jì)粒子重力。則()A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2A[如圖所示，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為l，當(dāng)帶電粒子的速度為vb時(shí)，其圓心在a點(diǎn)，軌道半徑r1＝l，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ1＝eq\f(2,3)π，當(dāng)帶電粒子的速率為vc時(shí)，其圓心在O點(diǎn)(即fa、cb延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn))，故軌道半徑r2＝2l，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ2＝eq\f(π,3)，根據(jù)qvB＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\f(qBr,m)，故eq\f(vb,vc)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(1,2)。由于T＝eq\f(2πr,v)得T＝eq\f(2πm,qB)，所以?xún)闪Ｗ釉诖艌?chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等，又t＝eq\f(θ,2π)T，所以eq\f(tb,tc)＝eq\f(θ1,θ2)＝eq\f(2,1)。故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤。]帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題一、思路、方法與突破口兩種思路(1)以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問(wèn)題的一般規(guī)律和一般解的形式，然后分析、討論處于臨界條件時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解；(2)直接分析、討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，從而通過(guò)臨界條件求出臨界值兩種方法物理方法(1)利用臨界條件求極值；(2)利用邊界條件求極值；(3)利用矢量圖求極值數(shù)學(xué)方法(1)用三角函數(shù)求極值；(2)用二次方程的判別式求極值；(3)用不等式的性質(zhì)求極值；(4)圖像法等從關(guān)鍵詞找突破口許多臨界問(wèn)題，題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)給以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語(yǔ)挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件二、臨界極值問(wèn)題的四個(gè)重要結(jié)論1．剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。2．當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。3．當(dāng)速率v變化時(shí)，圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。4．在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑大于區(qū)域圓半徑時(shí)，則入射點(diǎn)和出射點(diǎn)為磁場(chǎng)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，軌跡對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大。eq\o([典例])如圖所示，矩形虛線(xiàn)框MNPQ內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。a、b、c是三個(gè)質(zhì)量和電荷量都相等的帶電粒子，它們從PQ邊上的中點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)，圖中畫(huà)出了它們?cè)诖艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。粒子重力不計(jì)。下列說(shuō)法正確的是()A．粒子a帶負(fù)電B．粒子c的動(dòng)能最大C．粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)D．粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力最大D[由左手定則可知，a粒子帶正電，故A錯(cuò)誤；由qvB＝meq\f(v2,r)，可得r＝eq\f(mv,qB)，由題圖可知粒子c的軌跡半徑最小，粒子b的軌跡半徑最大，又m、q、B相同，所以粒子c的速度最小，粒子b的速度最大，由Ek＝eq\f(1,2)mv2，知粒子c的動(dòng)能最小，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有F向＝qvB，則可知粒子b的向心力最大，故D正確，B錯(cuò)誤；由T＝eq\f(2πm,qB)，可知粒子a、b、c的周期相同，但是粒子b的軌跡所對(duì)的圓心角最小，則粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，故C錯(cuò)誤。]eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問(wèn)題1．如圖所示，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場(chǎng)邊界上A點(diǎn)有一粒子源，源源不斷地向磁場(chǎng)發(fā)射各種方向(均平行于紙面)且速度大小相等的帶正電的粒子(重力不計(jì))，已知粒子的比荷為k，速度大小為2kBr。則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為()A．eq\f(π,kB)B．eq\f(π,2kB)C．eq\f(π,3kB)D．eq\f(π,4kB)C[粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(2kBr,Bk)＝2r；當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)，其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，此時(shí)弦長(zhǎng)最大，其最大值為磁場(chǎng)圓的直徑2r，故t＝eq\f(T,6)＝eq\f(πm,3qB)＝eq\f(π,3kB)，故選項(xiàng)C正確。]帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題2．如圖所示，在邊長(zhǎng)為2a的正三角形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為－q的帶電粒子(重力不計(jì))從AD邊的中點(diǎn)O以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向垂直于磁場(chǎng)且與AD邊的夾角為60°，若要使粒子能從AC邊穿出磁場(chǎng)，則勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小BA．B>eq\f(\r(3)mv,3aq) B．B<eq\f(\r(3)mv,3aq)C．B>eq\f(\r(3)mv,aq) D．B<eq\f(\r(3)mv,aq)B[粒子剛好達(dá)到C點(diǎn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡與AC相切，如圖所示，則粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r0＝eq\f(a,tan30°)＝eq\r(3)a。由r＝eq\f(mv,qB)得，粒子要能從AC邊射出，粒子運(yùn)行的半徑r>r0，聯(lián)立以上各式解得B<eq\f(\r(3)mv,3aq)，選項(xiàng)B正確。]帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于多種因素的影響，使問(wèn)題形成多解。多解形成原因一般包含4個(gè)方面：類(lèi)型分析圖例帶電粒子電性不確定受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，初速度相同時(shí)，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解。如圖所示，帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如帶正電，其軌跡為a；如帶負(fù)電，其軌跡為b磁場(chǎng)方向不確定在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解。如圖所示，帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若B垂直紙面向里，其軌跡為a，若B垂直紙面向外，其軌跡為b臨界狀態(tài)不唯一帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過(guò)磁場(chǎng)飛出，也可能轉(zhuǎn)過(guò)180°從入射界面這邊反向飛出，于是形成多解運(yùn)動(dòng)具有周期性帶電粒子在部分是電場(chǎng)、部分是磁場(chǎng)空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有周期性，因而形成多解eq\o([典例])如圖甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′正對(duì)，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示。有一群正離子在t＝0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場(chǎng)。已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q，正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T(mén)0，不考慮由于磁場(chǎng)變化而產(chǎn)生的電場(chǎng)的影響，不計(jì)離子所受重力。求：甲乙(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大??；(2)要使正離子從O′垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v0的可能值。[解析]設(shè)垂直于紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎较颉?1)正離子射入磁場(chǎng)，洛倫茲力提供向心力B0qv0＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T0＝eq\f(2πR,v0)由以上兩式得磁感應(yīng)強(qiáng)度B0＝eq\f(2πm,qT0)。(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，v0的方向應(yīng)如圖所示，兩板之間正離子只運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期即T0時(shí)，有R＝eq\f(d,4)；當(dāng)兩板之間正離子運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期即nT