第八章

矩陣特征值計算計算方法——冪法與反冪法1第八章

矩陣特征值計算計算方法——冪法與反冪法1本章內(nèi)容特征值基本性質(zhì)冪法與反冪法正交變換與矩陣分解

QR方法2本章內(nèi)容特征值基本性質(zhì)冪法與反冪法正交變換與矩陣分解本講內(nèi)容特征值基本性質(zhì)冪法冪法的加速反冪法3本講內(nèi)容特征值基本性質(zhì)3特征值性質(zhì)Ax=x(C,

x0)性質(zhì)(1)

特征值與特征向量(2)

(3)

(4)

若A對稱，則存在正交矩陣Q，使得4特征值性質(zhì)Ax=x(C,x0圓盤定理定理：(Gerschgorin圓盤定理)設(shè)

是A的特征值，則i=1,2,...,n設(shè)

A=(aij)Rnn

，記Gerschgorin圓盤若有m

的圓盤互相連通，且與其它圓盤都不相連，則這m

個圓盤內(nèi)恰好包含m

個特征值。5圓盤定理定理：(Gerschgorin圓盤定理)設(shè)Rayleigh商定理：設(shè)

A是n

階實對稱矩陣，其特征值為則對任意非零向量x，有且稱為矩陣A

關(guān)于x的Rayleigh商。6Rayleigh商定理：設(shè)A是n階實對稱矩陣，其特(1)任取一個非零向量v0，要求滿足(x1,v0)0(2)對k=1,2,...，直到收斂，計算

冪法計算矩陣的主特征值（按模最大）及其特征向量假設(shè)：(1)|1|>|2|…|n|0(2)

對應(yīng)的n個線性無關(guān)特征向量為：x1,x2,...,xn計算過程：冪法（乘冪法，冪迭代）7(1)任取一個非零向量v0，要求滿足(x1,v0)冪法的收斂性收斂性分析設(shè)越小，收斂越快8冪法的收斂性收斂性分析設(shè)越小，收斂越快8冪法的收斂性當k

充分大時，有又(j=1,2,...,n)vk為1

的近似特征向量9冪法的收斂性當k充分大時，有又(j=1,2,..冪法的收斂性定理：設(shè)

A有n

個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足則由冪法生成的向量滿足注：冪法的收斂速度取決于的大小10冪法的收斂性定理：設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量，其特冪法改進方法：規(guī)范化

冪法中存在的問題11冪法改進方法：規(guī)范化冪法中存在的問題11冪法

1

的計算12冪法1的計算12改進的冪法定理：設(shè)

A有n

個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足則由改進的冪法生成的向量滿足(1)任取一個非零向量v0，要求滿足(x1,v0)0(2)對k=1,2,...，直到收斂，計算

改進的冪法13改進的冪法定理：設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量，其特征舉例例：用改進的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量ex81.m14舉例例：用改進的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量冪法的加速冪法的收斂速度取決于的大小當r接近于1時，乘冪法收斂會很慢！冪法的加速：原點平移法令B=A–pI，則B的特征值為：i

-

p選擇適當?shù)膒滿足：(1)(j=2,...,n)(2)用冪法計算矩陣B的主特征值：1

-

p保持主特征值加快收斂速度帶位移的冪法15冪法的加速冪法的收斂速度取決于舉例例：用帶位移的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量，取p=0.75ex82.m16舉例例：用帶位移的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量反冪法計算矩陣的按模最小的特征值及其特征向量假設(shè)：(1)|1||2|

…|n-1|>|n|>0反冪法(2)

對應(yīng)的n個線性無關(guān)特征向量為：x1,x2,...,xn

A-1

的特征值為：對應(yīng)的特征向量仍然為x1,x2,...,xn

反冪法：對矩陣A-1使用冪法17反冪法計算矩陣的按模最小的特征值及其特征向量假設(shè)：(1)反冪法定理：設(shè)

A有n

個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足則由反冪法生成的向量滿足(1)任取一個非零向量v0，要求滿足(x1,v0)0(2)對k=1,2,...，直到收斂，計算

反冪法18反冪法定理：設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿反冪法的加速反冪法的收斂速度取決于的大小當r接近于1時，反乘冪法收斂會很慢！可以使用原點平移法對反冪法進行加速問題：如何選擇參數(shù)p

？離n

越近越好（但不能相等）19反冪法的加速反冪法的收斂速度取決于Rayleigh商加速

Rayleigh商加速(1)任取一個非零向量v0，要求滿足(x1,v0)0(2)對k=1,2,...，直到收斂，計算

20Rayleigh商加速Rayleigh商加速(1)任幾點注記帶位移的反冪法中需要計算帶位移的反冪法可以用于計算任何一個特征值k將參數(shù)p

取為k附近若已知特征值，計算特征向量時，可使用帶位移的反冪法令p

足夠靠近k21幾點注記帶位移的反冪法中需要計算帶位移的反冪法可以用于作業(yè)教材276頁，習(xí)題3(1)22作業(yè)教材276頁，習(xí)題3(1)22第八章

矩陣特征值計算計算方法——冪法與反冪法23第八章

矩陣特征值計算計算方法——冪法與反冪法1本章內(nèi)容特征值基本性質(zhì)冪法與反冪法正交變換與矩陣分解

QR方法24本章內(nèi)容特征值基本性質(zhì)冪法與反冪法正交變換與矩陣分解本講內(nèi)容特征值基本性質(zhì)冪法冪法的加速反冪法25本講內(nèi)容特征值基本性質(zhì)3特征值性質(zhì)Ax=x(C,

x0)性質(zhì)(1)

特征值與特征向量(2)

(3)

(4)

若A對稱，則存在正交矩陣Q，使得26特征值性質(zhì)Ax=x(C,x0圓盤定理定理：(Gerschgorin圓盤定理)設(shè)

是A的特征值，則i=1,2,...,n設(shè)

A=(aij)Rnn

，記Gerschgorin圓盤若有m

的圓盤互相連通，且與其它圓盤都不相連，則這m

個圓盤內(nèi)恰好包含m

個特征值。27圓盤定理定理：(Gerschgorin圓盤定理)設(shè)Rayleigh商定理：設(shè)

A是n

階實對稱矩陣，其特征值為則對任意非零向量x，有且稱為矩陣A

關(guān)于x的Rayleigh商。28Rayleigh商定理：設(shè)A是n階實對稱矩陣，其特(1)任取一個非零向量v0，要求滿足(x1,v0)0(2)對k=1,2,...，直到收斂，計算

冪法計算矩陣的主特征值（按模最大）及其特征向量假設(shè)：(1)|1|>|2|…|n|0(2)

對應(yīng)的n個線性無關(guān)特征向量為：x1,x2,...,xn計算過程：冪法（乘冪法，冪迭代）29(1)任取一個非零向量v0，要求滿足(x1,v0)冪法的收斂性收斂性分析設(shè)越小，收斂越快30冪法的收斂性收斂性分析設(shè)越小，收斂越快8冪法的收斂性當k

充分大時，有又(j=1,2,...,n)vk為1

的近似特征向量31冪法的收斂性當k充分大時，有又(j=1,2,..冪法的收斂性定理：設(shè)

A有n

個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足則由冪法生成的向量滿足注：冪法的收斂速度取決于的大小32冪法的收斂性定理：設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量，其特冪法改進方法：規(guī)范化

冪法中存在的問題33冪法改進方法：規(guī)范化冪法中存在的問題11冪法

1

的計算34冪法1的計算12改進的冪法定理：設(shè)

A有n

個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足則由改進的冪法生成的向量滿足(1)任取一個非零向量v0，要求滿足(x1,v0)0(2)對k=1,2,...，直到收斂，計算

改進的冪法35改進的冪法定理：設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量，其特征舉例例：用改進的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量ex81.m36舉例例：用改進的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量冪法的加速冪法的收斂速度取決于的大小當r接近于1時，乘冪法收斂會很慢！冪法的加速：原點平移法令B=A–pI，則B的特征值為：i

-

p選擇適當?shù)膒滿足：(1)(j=2,...,n)(2)用冪法計算矩陣B的主特征值：1

-

p保持主特征值加快收斂速度帶位移的冪法37冪法的加速冪法的收斂速度取決于舉例例：用帶位移的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量，取p=0.75ex82.m38舉例例：用帶位移的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量反冪法計算矩陣的按模最小的特征值及其特征向量假設(shè)：(1)|1||2|

…|n-1|>|n|>0反冪法(2)

對應(yīng)的n個線性無關(guān)特征向量為：x1,x2,...,xn

A-1

的特征值為：對應(yīng)的特征向量仍然為x1,x2,...,xn

反冪法：對矩陣A-1使用冪法39反冪法計算矩陣的按模最小的特征值及其特征向量假設(shè)：(1)反冪法定理：設(shè)

A有n

個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足則由反冪法生成的向量滿足(1)任取一個非零向量v0，要求滿足(x1,v0)0(2)對k=1,2,...，直到收斂，計算

反冪法40反冪法定理：設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿反冪法的加速反冪法的收斂速度取決于的大小當r接近于1時，反乘冪法收斂會很慢！可以使用原點平移法對反冪法進行加速問題：如何選擇參數(shù)p

？離n

越近越好（但不能相等）41反冪法的加速反冪法的收斂速度取決于Rayleigh商加速

Rayleigh商加速(1)任取一個非零向量v0，要求滿足(