n僅供個(gè)人參考nForpersonaluseonlyinstudyforcommercialuse兩個(gè)重要極限的證明引：兩個(gè)重要極限是高等數(shù)學(xué)極限理論中的經(jīng)典內(nèi)容，第一個(gè)重要極限

lim0

sinx

的證明，現(xiàn)行教材中通常采用在單位圓中利用面積關(guān)系構(gòu)造不等式

x

sinx

，再用夾逼原理證明得到結(jié)論。用極限理論計(jì)算圓或扇形面積都涉及到

lim0

sinx

的結(jié)論運(yùn)用，或者運(yùn)洛比達(dá)法則證明極限

sinlim0

，要利用導(dǎo)數(shù)公式

x

，而這個(gè)公式恰是利用

lim0

sinx

，因此，這些方法都有循環(huán)證明的嫌疑；1第二個(gè)主要極限limxx

的證明，通常作法是，先考慮x取正整數(shù)n而趨于的形，設(shè)1xxn

n

，用牛頓二項(xiàng)式證明

，再用單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則，證明數(shù)n極限存在，方法比較復(fù)雜，特別是有界性的證明需要一定的技巧，所以本文只對(duì)兩個(gè)重要極限一個(gè)簡(jiǎn)單的證明。．明：lim

sinx

證：圖a作單位圓。當(dāng)<x<

2

時(shí)，顯然有ΔOAD積扇形OAD面積<Δ面。11即sintanx，。以sinx，到2sincos

D

B或

sin）由偶函數(shù)性質(zhì)，上式對(duì)x時(shí)成立。x2

O

x

C圖a）

A故（1）式對(duì)一切滿足不等式0x的x成立。2sin由limcosx=1及函極限的迫斂性定理立刻可得l。x0

y函數(shù)f(x)=

sinxx

的圖象如圖（b）所示。

Ox1．明：lim(1)

存在。

圖（b）證：建立一個(gè)不等式，設(shè)b>a>0，是對(duì)任一自然數(shù)n有b

nb

n

bn或b)，理后得不等式[(nb]（）不得用于商業(yè)用途

僅供個(gè)人參考1令a=1+，，它們代入（于(nnb1)(1)(1)，n故有(1

1)(1)，就是說(shuō){)}為遞增數(shù)列。n再令a=1

11代(na)(1))222

。不等式兩端平方后有4(1

)

對(duì)切自然數(shù)n成系列的單調(diào)性此推得數(shù)列{)

}是有界的。于是由單調(diào)有界定理知道極限lim(1)是存在的。．明：lim(1)x

。證：求證的極限等價(jià)于同時(shí)成立下述兩個(gè)極限：lim(1)x

（）

lim(1)x

（）現(xiàn)在先應(yīng)用2中列極限lim(1)，明）式成立。n設(shè)n，則有

11及)(1))xn

，（）作定義在1，+上階梯函數(shù)。fx

)，<n+1，g)(1)n

，n<n+1。1由（3）有f(x)<(1)x

g(x)x∈[1，由于limf(x)lim(1)n

)

1limg))lim(1)(1)，據(jù)迫斂性定理便得）式。n1111現(xiàn)在證明（）。為此作代換x=-y，則)))))xyy因?yàn)楫?dāng)x→∞，有y-1→+∞故上式右端以為極，這就證得

lim(1)x以后還常常用到e的一種極限形式lim(1

為令a

1x

則x→∞和→0是等價(jià)的，1所以，lim(1)x

)

。結(jié):兩個(gè)重要極限是極限理論中的重要內(nèi)容，兩個(gè)重要極限的證明是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，極限不及時(shí)基本數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且是數(shù)學(xué)分析的基石，所以對(duì)于我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生尤其重要。我們不僅要記住個(gè)重要極限及其推廣形式，還要能熟練的運(yùn)用這些公式解決極限中遇到的問(wèn)題。所以我們要努力地把這分內(nèi)容學(xué)好。不得用于商業(yè)用途

僅供個(gè)人參考僅供個(gè)用學(xué)習(xí)、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,ForschzukommerziellenZweckenwerden.Pourl'étudeetrechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.толькдлялюде