問題重述我國經(jīng)常發(fā)生洪水、潰壩潰堤，進(jìn)而泥石流對國家和人民生命財產(chǎn)造成嚴(yán)重的損失。因此，在汛期河道堤防一旦出現(xiàn)決口，必須迅速堵口以減輕洪水破壩造成的危害。其中，利用直升飛機(jī)投放堵口組件是開展封堵潰口的有效方法。由于投入潰口的重物在落水后會受到潰口水流的作用而向下游偏移，因此須掌握重物落水后的運(yùn)動過程，在預(yù)定沉底位置的上游一定距離投放達(dá)到一定體積和重量的重物，使其落水后能夠沉底、并保持在預(yù)想的位置，以減少無效投放。由于潰壩潰堤的高度危害性、不可重復(fù)性和經(jīng)濟(jì)損失過大，肯定無法通過相關(guān)實物試驗去研究封堵用重物落在潰口后的運(yùn)動過程，而只能先通過理論分析和小型試驗獲取相關(guān)數(shù)據(jù)的方法進(jìn)行研究。由于具體情況不同（如潰口的斷面形狀；潰口底面的坡度、粗糙度；流速等）都會影響封堵重物落在潰口后的運(yùn)動過程和沉底后的狀況，會使問題復(fù)雜化。因此，本文只在簡單情況下，通過固定大多數(shù)因素、條件，采用單因子分析法，分別考慮在不同的影響因素下物體落入水中的運(yùn)動狀態(tài)模型。本次試驗選取幾種重物形狀、四種不同速度的穩(wěn)定水流、在三種不同的高度多次重復(fù)進(jìn)行投放試驗。通過試驗試圖解決：分析影響重物在水中運(yùn)動過程的因素，并建立大實心方磚落水后運(yùn)動過程的數(shù)學(xué)模型。在試驗基礎(chǔ)上，建立包含上述各種因素，從而能夠適應(yīng)不同情況的、描述重物水中運(yùn)動過程的數(shù)學(xué)模型。對所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行誤差分析，并利用已有的資料驗證所建立的數(shù)學(xué)模型的合理性，并根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出讓堵口重物恰好落在最有效位置觸底的猜想和應(yīng)該進(jìn)行哪些新試驗來驗證這個猜想。根據(jù)水力學(xué)理論模型，選擇對過程影響較大的相似準(zhǔn)則對本試驗及所建立的新模型的成果加以推廣，并對未來的試驗和研究工作提出建議。問題分析問題分析對于問題一，要建立大實心方磚落水后的運(yùn)動方程，需分析大實心方磚在水中的受力情況，根據(jù)第二定律建立微分方程表達(dá)式，可分別求出大實心方磚在水平方向和豎直方向上位移隨時間的變化關(guān)系，也就得到了大實心方磚落水后對時間t的參數(shù)方程。對于問題二，問題一的分析已考慮不同重物放置方式、不同水流速度和不同高度下對重物落水后的運(yùn)動方程的影響，但依據(jù)題意本題在問題一的基礎(chǔ)上還應(yīng)考慮重物形狀參數(shù)的影響，從而建立出適應(yīng)不同形狀、不同重物放置方式、不同水流速度和不同高度下重物落水的運(yùn)動方程。對于問題三，對所建立的模型進(jìn)行誤差分析，首先對小型試驗數(shù)據(jù)利用最小二乘原理求出模擬曲線，分別計算試驗數(shù)據(jù)和模擬曲線、理論曲線的均方差，分析理論模型的合理性。要求堵口重物在最有效的位置觸底，即考慮重物在水平方向x上的位移，同時還需保證重物觸底時的穩(wěn)定性。對于問題四，依據(jù)流體力學(xué)知識，選取對過程影響較大的相似準(zhǔn)則，將小型試驗推廣到真實情況。利用選取的相似準(zhǔn)則，將實際數(shù)據(jù)反饋到所建的模型中，求得重物沉底時在水平方向上的移動距離。數(shù)據(jù)分析及校正由于數(shù)據(jù)來源于機(jī)隔著玻璃的截圖（如圖1），將不可避免地引入 設(shè)置流速儀機(jī)轉(zhuǎn)機(jī)轉(zhuǎn)依題意可知，附件數(shù)據(jù)中的NaN表示某時刻重物已經(jīng)觸底或?qū)嶒災(zāi)：裏o法的數(shù)據(jù)。顯然，對于已經(jīng)觸底的情況，可直接做舍棄處理；而對由于模糊無法的數(shù)據(jù)，則需要通過一定插值方法（如多項式擬合）對其進(jìn)行插值。附件中所給的數(shù)據(jù)為顯示在玻璃網(wǎng)格上的重物的重心坐標(biāo)值，其值并不完全代表重物的真實位置。由于重物在水中的運(yùn)動軌跡與玻璃具有一定距離，使得所讀出的數(shù)據(jù)與重物運(yùn)動的真實位置存在一定的偏差。根據(jù)折射定理有sini/sinr(25(25x')2(20tani

tan

25

（xx'20*tanr*yy'20*tanr*i為入射角，r為折射角，入射角與折射角的關(guān)系如圖2為入射線在xy平面上的投影與x軸的夾角。在等式y(tǒng)y'20*tanr*siny20中，取正號，否則取負(fù)號。n為水相對于空氣的折射率（n=1.33x為實驗數(shù)據(jù)，x為修正后的數(shù)據(jù)。修正后的數(shù)據(jù)會出現(xiàn)負(fù)數(shù)，顯然這是不合理的，判為，需要采取一定的方法再對其進(jìn)行校正。圖2坐標(biāo)軸的建 圖3數(shù)據(jù)校正原理以圖2所示，取實驗區(qū)域的左下角為坐標(biāo)原點Ox坐標(biāo)軸，垂直于河面的方向為y坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系（若無特殊說明，下文均采用此坐標(biāo)系。A（0,27.5,0）為重物重心在水面投放時的初始位置，x為理想情形下在玻璃網(wǎng)格上的A點坐標(biāo)值。經(jīng)過迭代計算，A在無情形的在玻璃網(wǎng)格上的數(shù)值為（2.770,26.669,0。一般說來，當(dāng)入射角i愈大，所讀數(shù)據(jù)與重物真實位置的誤差越大。定義平均角度誤差delta_avg(ecebiecA點時所讀的實驗值與真實值之間的誤差；eb為重物運(yùn)動到橫坐標(biāo)值與機(jī)的位置橫坐標(biāo)相等時，實驗值與真實值的誤差，通?？梢暈榱恪１?列出大實心方磚在距水面0.12m以豎放狀態(tài)投入水面（U=0.55m/s）所測得的原始數(shù)據(jù)與校正后的數(shù)據(jù)。同理，可得其他測量數(shù)據(jù)的校正值（他校正值。1：試驗數(shù)據(jù)與校正后的數(shù)據(jù)對比試驗數(shù)據(jù)縱坐標(biāo)橫坐標(biāo)7校正后數(shù)據(jù)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)問題假設(shè)及基本符合說明問題假設(shè)假設(shè)重物在水中運(yùn)動時不會和水槽邊壁發(fā)生碰撞，且重物觸底的瞬間即將重物認(rèn)為不動，不考慮重物在底面發(fā)生的偏轉(zhuǎn)和滑移；假設(shè)水流為速度不變的穩(wěn)定水流，且重物運(yùn)動過程中不發(fā)生偏轉(zhuǎn)；由于本實驗中投擲高度較小，假設(shè)重物從某一高度下落至水面時量損失，即豎直方向初速度不變；假設(shè)重物在水面放置，其運(yùn)動過程為一質(zhì)點的運(yùn)動，不考慮形狀的變化，也就是不考慮物體在水表面的運(yùn)動過程；假設(shè)對于蜂巢類和方磚類試件，平放時試件有兩條邊平行于水流方向，立方和豎放時試件有兩條邊平行于豎直方向?；痉栒f明符號m拖曳力系數(shù)kg/上舉力系數(shù)重物的體積V重物的投影面積A潰口平均水流速度Um/重物的高度smHm重物的長度lm重物離地面的高度hm重物的寬度bm問題一求解模型建立影響水流作用力因素[1]主要有：流體的流速，以U表示；流體的密度（在研究分層流時考慮；流體的動力粘滯系數(shù)k；邊界層厚度H，重物投放的高度h即初始擺放位置；重物在水平方向的初始速度xo重物最低部（底邊）與壁面間的距離y；重物寬度b、高度s、順?biāo)鞣较蛏系拈L度l重物的形狀、大小的影響。另外，在考慮物體在水下翻轉(zhuǎn)中還?？紤]物體迎流面的法線方向與流體方向夾角同時如果重物不是實心塊體，在研究空心塊體的時候需要考慮空心率。因此，水流作用力可表達(dá)為：Ff(U,,,,H,h,y,l,s,b,,,xo本文不考慮重物和邊界層以及壁面間的影響，重物在水中發(fā)生的偏轉(zhuǎn)的現(xiàn)象也不考慮，再加上流體水的動力粘滯系數(shù)已知，所以，水流作用力可簡化為Ff(U,H,h,y,l,s,b,,xo取單個塊體進(jìn)行研究，塊體在水中的受力如圖4所示，大實心方塊受到的作用力有水流拖曳力、有效重度、上舉力。即水平方向上的拖曳力FD，豎直方向的有效重力G有效和上舉力FL，各力的計算表達(dá)式如下：4塊體在水中運(yùn)動的受力示意圖根據(jù)運(yùn)動定律，塊體在水平方向上的拖曳力提供其水平流向上加速度，F(xiàn)C1A(U D

水 d2 （Fmam d式（2）CD為拖曳力系數(shù)，A1為塊體在垂直水流方向上的投影面積，U流速度，vx為塊體在水流方向上的運(yùn)動速度。解方程組（2） dx d2CD2水A1(Udt)md2t 為了便于計算，記pdx，CCD水A1，則式（3）可化為 C(Up)2進(jìn)一步解得帶入初值

pU C1xUt1ln(CtC)t C 1t x0,tdx0,txt的函數(shù)關(guān)系式如下，CxUt ln(D

1t1) CD

CD

U 塊體在豎直方向上受到有效重力（即重力與浮力之差和上舉力FL的作用，其在豎直方向上的運(yùn)動模型如下： 1 F

A （水2d2由（4） dy d2(物水)gVCL2水A2(dt)md CL為上舉力系數(shù)，A2為物體順?biāo)鞣较虻耐队懊娣e，其余符號的代表意義與前文一致。同樣，記qdyWCLA2D(水)gV（ 進(jìn)一步解得

DWq2a(1Aebt或qa(1Aebt

可化為q1

1D/其中a ，b ，Ae2aC1，C是以重物落入水面的初速度D/ y的變量，且y0 2g(hH)。其當(dāng)

a時

qa(1Aebt) 1

a

qa(1Aebt1將等式（6）進(jìn)一步求解得yat2alnAebt1tC或yat2aln(Aebt1)tC 帶入初始值1

y0,tdy0,ty0y0y0C12a

，C2C3yat2alnAebt12a

A1yat2aln(Aebt1)2aln(A 本實驗給出的y值應(yīng)是水面高度和y的差值。為了確定yt的具體表達(dá)式，帶入數(shù)值并與實驗數(shù)據(jù)做比較。發(fā)現(xiàn)y0.275at2alnAebt12alnA1)與 實驗數(shù)據(jù)差距較大，即取y0.275at2aln(Aebt1)2aln(A1。另外，可得 出y0a，根據(jù)實驗得知重物離水面的最大距離為0.12mCL0.4。綜上，大實心方磚在水中的運(yùn)動過程方程xUt C

ln(CDA1t1

Aln(U D水y0.275(at

ln(Aebt1)

D水 ln(A其中對于ya

2(水)gVCL2(水)gVCLA2m

2CL(2CL(物水)水2g(hH)2g(hH)CD=2.2[2]CL=0.1，大實心方磚落水后的運(yùn)動方程y1、重物在水面投放時，即hH

f(x，與試驗結(jié)果如下：當(dāng)大實心方磚平放入水中時，其落水后的理論運(yùn)動軌跡和試驗所測軌跡如圖5a，其中紅色曲線為理論值，帶圓圈的虛線為實際測量數(shù)值（下同。平放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)理論結(jié)u=0.34m/s實驗結(jié)果

平放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié) u=0.40m/s實驗結(jié)果豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位平放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)理論結(jié)u=0.47m/s實驗結(jié)果

平放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié) u=0.55m/s實驗結(jié)果豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位5a大實心方磚在水面平放時yx的函數(shù)關(guān)系圖當(dāng)大實心方磚豎放入水中時，其落水后的運(yùn)動軌跡和試驗所測軌跡如圖豎放y與x分布曲線圖（h-理理論結(jié)果u=0.34m/s實驗結(jié)果

豎放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.40m/s實驗結(jié)果豎直偏豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位豎放y與x分布曲線圖（h-理理論結(jié)果u=0.47m/s實驗結(jié)果

豎放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.55m/s實驗結(jié)果豎直偏豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位5b大實心方磚在水面豎放時yx的函數(shù)關(guān)系圖當(dāng)大實心方磚立放入水中時，其落水后的運(yùn)動軌跡和試驗所測軌跡如圖立放y與x分布曲線圖（h-理論理論結(jié)果u=0.34m/s實驗結(jié)果

立放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.40m/s實驗結(jié)果豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位立放y與x分布曲線圖（h-理論理論結(jié)果u=0.47m/s實驗結(jié)果

立放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.55m/s實驗結(jié)果豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位5c大實心方磚在水面立放時yx的函數(shù)關(guān)系圖2、重物在距水面0.05mhH0當(dāng)大實心方磚平放入水中時，其落水后的運(yùn)動軌跡和試驗所測軌跡如圖平放y與平放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果u=0.34m/s實驗結(jié)果

平放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.40m/s實驗結(jié)果豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位平放y與平放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果u=0.47m/s實驗結(jié)果

平放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.55m/s實驗結(jié)果豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位6a大實心方磚距水面0.05m平放時yx的函數(shù)關(guān)系圖當(dāng)大實心方磚豎放入水中時，其落水后的運(yùn)動軌跡和試驗所測軌跡如圖豎放y與x分布曲線圖（h-豎放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.34m/s實驗結(jié)果理論結(jié)果 u=0.40m/s實驗結(jié)果豎直偏豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位豎放y與x分布曲線圖（h-豎放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.47m/s實驗結(jié)果理論結(jié)果 u=0.55m/s實驗結(jié)果豎直偏豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位圖 大實心方磚距水面0.05m豎放時y和x的函數(shù)關(guān)系當(dāng)大實心方磚立放入水中時，其落水后的運(yùn)動軌跡和試驗所測軌跡如圖立放y與x分布曲線圖（h-立放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.34m/s實驗結(jié)果理論結(jié)果 u=0.40m/s實驗結(jié)果豎直偏豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位立放y與x分布曲線圖（h-立放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.47m/s實驗結(jié)果理論結(jié)果 u=0.55m/s實驗結(jié)果豎直偏豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位6c大實心方磚距水面0.05m立放時yx的函數(shù)關(guān)系圖3、重物在距水面0.05mhH0當(dāng)大實心方磚平放入水中時，其落水后的運(yùn)動軌跡和試驗所測軌跡如圖平放yx平放yx分布曲線圖（h-理論結(jié)果u=0.34m/s實驗結(jié)果

平放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié) u=0.40m/s實驗結(jié)果豎直偏移量y(單位豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位平放yx平放yx分布曲線圖（h-理論結(jié)果u=0.47m/s實驗結(jié)果

平放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié) u=0.55m/s實驗結(jié)果豎直偏移量y(單位豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位7a大實心方磚距水面0.12m平放時yx的函數(shù)關(guān)系圖當(dāng)大實心方磚豎放入水中時，其落水后的運(yùn)動軌跡和試驗所測軌跡如圖豎放y與x分布曲線圖（h-理論理論結(jié)果u=0.34m/s實驗結(jié)果

豎放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié) u=0.40m/s實驗結(jié)果豎直偏移量y(單位豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位豎放y與x分布曲線圖（h-理論理論結(jié)果u=0.47m/s實驗結(jié)果

豎放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié) u=0.55m/s實驗結(jié)果豎直偏移量y(單位豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位7b大實心方磚距水面0.12m豎放時yx的函數(shù)關(guān)系圖當(dāng)大實心方磚豎放入水中時，其落水后的運(yùn)動軌跡和試驗所測軌跡如圖立放y與x分布曲線圖（h-理論理論結(jié)果u=0.34m/s實驗結(jié)果

立放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.40m/s實驗結(jié)果豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

水平偏移量x(單位立放y與x分布曲線圖（h-理論理論結(jié)果u=0.47m/s實驗結(jié)果

立放y與x分布曲線圖（h-理論結(jié)果 u=0.55m/s實驗結(jié)果豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

水平偏移量x(單位7c大實心方磚距水面0.12m立放時yx的函數(shù)關(guān)系圖通過上述各種情況的可知，在單個影響因素變化時，理論曲線和實驗數(shù)據(jù)的曲線符合的較好，只有在少數(shù)情況下，理論曲線與實驗曲線分布差別較5c，但是其他的曲線還是符合的很好，故可以認(rèn)為圖5c的實驗數(shù)據(jù)本身存在錯誤或其他問題。模型在不同水流速度下（重物在水面平放時yt關(guān)系見圖豎直偏移量與時間的分布曲線圖理論結(jié)果理論結(jié)果豎直豎直偏移量y(單位50 時間t(單位8不同水流速度下yt的函數(shù)關(guān)系圖上圖除速度為U=0.40ms的實驗數(shù)據(jù)y的偏移量與時間t的曲線分布圖與理論去曲線分布相差較大外，其他的水流流速下的曲線均理論情況下y的偏移量與時間t的曲線分布符合的很好。這說明水平流速U的變化不會影響y的變化，所以可以單獨將x、y獨立分析，不受其初始速度的變化影響。另外，從圖中還可看出，在水流速度U=0.40msyt的關(guān)系曲線偏離理論曲線，因此有理由認(rèn)為重物在水面平放時，當(dāng)U=0.40m/s時其所觀察記錄的數(shù)據(jù)是有問題的。同理，在改變重物的放置位置和重物投放的初始高度時，不同水流速度下記錄的數(shù)據(jù)并不完全代表重物實際運(yùn)動過程。由此說明數(shù)據(jù)在過程中存在隨機(jī)誤差。本次試驗所得到的數(shù)據(jù)在豎直方向上其y0a，但如果重物在足夠高的地方投放，其y0ayt的函數(shù)關(guān)系將發(fā)生改變，應(yīng)為y0.275(at2ab

Aebt12alnA1) （b其中直升飛機(jī)在封堵潰口過程中，若飛機(jī)處于運(yùn)動狀態(tài)，則重物落水之前在水平方向上還有一個水平初速度xo，在試驗?zāi)M中，若給重物一水平初速度xoxUt1 C

)1 x0x0x0

（問題二求解問題二要求利用小型試驗數(shù)據(jù)或相關(guān)數(shù)學(xué)、物理方法，建立包含上述各種因素，從而能夠適應(yīng)不同情況的、描述重物水中運(yùn)動過程的數(shù)學(xué)模型。其中建立單個重物在水中運(yùn)動過程的數(shù)學(xué)模型是必做項目，建立兩個重物連接后的組件在水中運(yùn)動過程的數(shù)學(xué)模型為選做項目。對于問題二，需要建立包含影響物體在水中運(yùn)動過程的各種因素的數(shù)學(xué)模型，使之更具有通用性。從小型試驗中可知不同重物的形狀、不同速度的水流、不同高度投放重物，重物在水中的運(yùn)動過程是不一致的。潰口的斷面千差萬別，而且都不是規(guī)則的矩形、梯形或V字形；潰口的底面也都不是水平或具有穩(wěn)定斜率的平面，粗糙度各異；潰口各部分的流速分布肯定也是不均勻的；更值得注意的是，潰口形狀和大小一般是不斷變化的，流速、流量也隨著水位和潰口形狀的變化而變化。雖然它們都影響封堵用重物落在潰口后的運(yùn)動過程和沉底后狀況，但在求解問題二時，先通過固定大多數(shù)因素、條件，只讓少數(shù)因素發(fā)揮作用，以才能發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，揭示問題的本質(zhì)。因此，求解問題二時，先考慮重物的形狀參數(shù)、不同的水流速度以及不同的高度三種因素對重物在水中運(yùn)動規(guī)律的影響，并建立相應(yīng)的模型。在問題1中，已經(jīng)考慮了不同的水流速度、不同的高度以及的投放方式對重物在水中的運(yùn)動模型的影響，在此側(cè)重分析重物的形狀參數(shù)對其運(yùn)動模型的影響。對于重物在水中的運(yùn)動過程中，實心重物的形狀主要影響重物的拖曳力?？招牡闹匚镞€需考慮其空心率?？招膲K體的空心率定義為空心的體積與同等大小實體塊體的總體積比，用符號表示空心率，則表達(dá)式為:VV VV表示空心的體積，V表示空心塊體的體積，V為實心塊體的體積。根據(jù)以上定義和圖9中含空心塊體的尺寸，得到四種空心塊體的空心率大表2各空心塊體的空心率空心塊體大空心方磚小空心方磚大空心蜂巢小空心蜂巢空心率（ 厚度

厚度

厚度

棱為60mm的大三角 注：尺寸單位均為

厚度

厚度

棱為30mm的角9單件試件尺寸及名稱圖由于重物的形狀不同，其拖曳力和上舉力的系數(shù)也不一致，本文試考慮形狀參數(shù)的影響。對于重物在水中的運(yùn)動過程中，其形狀主要影響了重物在水平方向上的運(yùn)動，即拖曳力的變化。塊體形狀概化為長（l、寬（b、高（s）的長方體[3]，其當(dāng)量粒徑為D，則迎流面的當(dāng)量面積取AD2/4bslVD3等面積：bsAD2則當(dāng)量粒徑：D6bsl則作用在塊體上的拖曳力可表達(dá)為FC121D2 （ D 14令C' 4bs， D

1C'C (bs/l2 （1 (36其中bs為物體迎流面的面積，l為物體順?biāo)鞯拈L度。上式只適用于實體重物，對于空心重物還需考慮空心率 的影響1中建立的有關(guān)大實心方磚落水后的運(yùn)動方程中可推知，實心重物在水中的數(shù)學(xué)模型即為（7）式，現(xiàn)在僅還需考慮空心對運(yùn)動過程的影響。本次試驗不考慮重物在厚度方向上的空心變化，且假定空心塊體與實心塊體的拖曳力系數(shù)不變。在水平方向上，只有物體立放的時候，空心體積的變化才會對水平方向上F'C'1A'(U)2C'1A(U)2A' D D FFAA為實心塊體的投影面積，A為空心塊體的投影面積。 DA，則重物在水平方向上運(yùn)動方程為AxUt ln(CD'水At1) ln(1 （CD'水 CD'水 在豎直方向上，空心體積的變化對重物在水中的浮力產(chǎn)生的變化為G有效gV空水gV同時其上舉力也發(fā)生了變化，其變化因素和水平方向上的拖曳力相似，因此令代表空心塊體的投影面積和實心塊體的投影面積之比，則FC1A' L2水 則重物在水平方向上運(yùn)動方程為y0.275(at2aln(Aebt1)2aln(A

（CL水CL水A2'1m2CV(gg)gAL物 2g(hH)2g(hH)綜上，得出重物在水中運(yùn)動過程的數(shù)學(xué)模型為xUt ln(CD'水A1t1) CD

ln( CD'水 （y0.275(at2aln(Aebt1)2aln(ACL水A2'其 a

1m2CV(1m2CV(gg)gAL物 2g(hH)2g(2g(hH)2g(hH)

(bs/l21111(36式中為水平方向上實心塊體和空心塊體投影面積之比；'為豎直方向上實心塊體和空心塊體投影面積之比；為空心率，其中b,s為物體迎流面的面積，l為物體順?biāo)鞯拈L度。在問題一的基礎(chǔ)上，本題還需考慮和重物的性質(zhì)對其在水中的運(yùn)動過程的影響。本題選取不同形狀、不同空心率的重物作為研究對象，現(xiàn)只考慮U0.34m/s重物在水面平放（hH0）時不同形狀的重物在水中的運(yùn)動過程（其他結(jié)果類似，圖省略。因此當(dāng)U0.34mshH0同形狀的重物其落水后運(yùn)動軌跡理論值和試驗所測軌跡為圖10所示小空心蜂巢平放y與x分布0

大空心蜂巢平放y與x分布曲線圖（h-0 10 14 20水平偏移量x(單位小實心蜂巢平放y與x分布曲線圖（h-0 水大三角錐平放y與x分布曲線圖（h-0 水平偏移量x(單位大空心方磚平放y與x分布曲線圖（h-0 水大實心方磚平放y與x分布曲線圖（h-0 水平偏移量x(單位

水平偏移量x(單位大實心蜂巢平放y與x分布曲線圖（h-0 水小空心方磚平放y與x分布曲線圖（h-0 水平偏移量x(單位小實心方磚平放y與x分布曲線圖（h-0 水角錐方磚平放y與x分布曲線圖（h-0 水平偏移量x(單位10大實心方磚距水面0.12m平放時yx的函數(shù)關(guān)系圖（圖中實線為理論值，虛線為試驗所測的值由于以上理論曲線與實驗數(shù)據(jù)的曲線總體上符合得較好（少數(shù)圖形的差別有點大外，故可以認(rèn)為該理論模型適用于不同的形狀參數(shù)的物體落水運(yùn)動狀態(tài)的分析問題三求解問題三要求對所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行誤差分析，并利用相關(guān)的數(shù)學(xué)、物理概念、小型試驗數(shù)據(jù)，驗證所建立的數(shù)學(xué)模型的合理性，然后根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型提出讓堵口重物恰好在最有效位置觸底的猜想和應(yīng)該進(jìn)行哪些新試驗來驗證自己的猜想。誤差來源分析誤差主要分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過差三大類。其中系統(tǒng)誤差來測量器、實驗環(huán)境、測量方法等所引起的；隨機(jī)誤差則是由某些不易控制的因素造成的，即使在相同的條件下做多次測量，其誤差值也不是確定的；過差則是一種與實際事實明顯不符的誤差，它主要是由于實驗粗心、操作不當(dāng)造成的。在擬封堵潰口有關(guān)的重物落水后運(yùn)動過程的小型實驗中，由于實驗數(shù)據(jù)來自于試驗區(qū)域機(jī)一側(cè)的鋼化玻璃表面，而機(jī)的鏡頭中心與刻度尺區(qū)域相距較大（1.2m，會導(dǎo)致讀數(shù)的確。例如，從附件數(shù)據(jù)中可以看出，機(jī)所記錄的大多數(shù)點的橫坐標(biāo)大約為2cm，而根據(jù)前文數(shù)據(jù)分析部分所闡述的原理可知，即使重物真實位置的橫坐標(biāo)為零，從玻璃刻度尺上所讀取的數(shù)據(jù)也至少為2.765cm，相對誤差達(dá)27.7%。所以對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了校正。誤差估算在求解問題一、二時，建立重物落水后在水中運(yùn)動過程的數(shù)學(xué)模型 ln(xUt ln(CD'A1t1) ln( CD' （y0.275(at

2aln(Aebt1)

2aln(A 式中除了x,y,t外均為已知數(shù)。將上述運(yùn)動模型對應(yīng)點的函數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)做比較可分析其誤差大小，進(jìn)一步驗證模型的合理性。圖11和表3給出了不同投放方式、不同高度以及不同流速，的模型與修正后的實驗數(shù)據(jù)的均方差大小，單位為厘米。限于篇幅，通過固定其中的兩個因素，改變另一個因素，以分析單個因素對模型誤差的影響。在圖11中，還用最小二乘法對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，從圖中可以看出，所建立的模型與用最小二乘法擬合的曲線比較接近，也進(jìn)一步驗證了模型的合理性。主要考慮以下三種情形：投放方式（以平放為例）和重物（取大實心方磚）距水面的重心位置相同，水流的速度不同時，縱坐標(biāo)y與x的關(guān)系圖如下：平放y與x分布曲線圖

平放y與x分布曲線圖 豎直偏移量y(豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 2 水平偏移量x(單位

水平偏移量x(單位平放y與x分布曲線圖

豎直偏移量y(豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位理論結(jié)果理論結(jié)果 水平偏移量x(單位

時間t(單位11不同流速時yx的關(guān)系圖重物重心距水面的距離（在水表面處）和水流速度保持不變時，投放方式不同時縱坐標(biāo)y與x的關(guān)系圖如下：平放y與x分布曲線圖理論理論結(jié)

豎放y與x分布曲線圖

理論結(jié) y(y(y( 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位立放y與x分布曲線圖理論結(jié)果實驗所測數(shù)據(jù)理論結(jié)果實驗所測數(shù)據(jù)最小二乘法數(shù)據(jù) 水平偏移量x(單位12不同投放方式時yx的關(guān)系圖投放方式（）和水流速度（U0.34ms）保持不變，重物重心不同時的縱坐標(biāo)y與x的關(guān)系圖如下：重心距水面高度為零時，y與x分布曲線理論理論結(jié)實驗數(shù)最小二乘法數(shù)

重心距水面高度為5cm時，y與x分布曲線實驗數(shù)最小二乘法數(shù) 豎直偏移量豎直偏移量y(單位豎直偏移量y(單位 水平偏移量x(單位

0 水平偏移量x(單位重心距水面高度為12cm時，y與x分布曲線圖實驗數(shù)據(jù)實驗數(shù)據(jù) 水平偏移量x(單位13不同高度時yx的關(guān)系圖4平放時，不同高度和不同流速時的誤差高度\水流速度重心在水平面距水面距水平5豎放時，不同高度和不同流速時的誤差高度\水流速度重心在水平面距水面距水平6立放時，不同高度和不同流速時的誤差高度\水流速度重心在水平面距水面距水平從圖11-13和表4-6中可以看出，重物的投放方式和其重心距水面的高度不變時，流速越大，均方差也越大；投放方式和水流速度不變時，重物重心距水面的高度越高，其均方差越??；水流速度和重物重心距水面的高度不同時，平放時誤差較大，而豎放和立方誤差較小。顯然，上述表中也有一些不合滿足上述規(guī)律的數(shù)據(jù)，但由于玻璃網(wǎng)格的精度過低，且在讀數(shù)據(jù)時，存在折射誤差，故得出上述規(guī)律是合理的。重物恰好在最有效位置觸底的猜想x0x0xUt C

ln(CDA1t

)C

D x0y0.275x0

ln(Aebt1)

D水1 （15）ln(A1))其中對于y2(2(水)gVCLA2

2CL(物2CL(物水)水m

，A2g(hH)2g(hH)2g(hH)動軌跡， 機(jī)實時記錄。問題四求解在流體力學(xué)試驗中，常根據(jù)相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則、（重力相似）準(zhǔn)則等）利用小型試驗?zāi)M真實情況。雷諾準(zhǔn)則主要受水流阻力即粘滯力作用的流體，凡是有壓流動，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類液流相似要求雷諾數(shù)相似。另外，處于水下較深的運(yùn)動潛體，在不至于使水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證液流動力相似。（重力相似）準(zhǔn)則適用于凡有水面并且允許水面上下變的各種流動（重力起主要作用的流動，如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動等本試驗水槽中的重物流動在表面受重力作用，同時又受粘滯力作用，所以應(yīng)滿足雷諾準(zhǔn)則和（重力相似）準(zhǔn)則。雷諾數(shù)Re是常被用來表征判斷流態(tài)的參數(shù)。為研究塊體周圍流態(tài)對作用力的影響，可采用塊體的某個尺度，如長度l，來計算雷諾數(shù)Res，即塊體雷諾數(shù)

Ul

0.34*0.0131/

2.08*104（為水動力粘滯系數(shù)在工程上常用的Res范圍為104~106。由此可知在工程應(yīng)用范圍內(nèi)，研究塊體受力時，可認(rèn)為塊體的作用力系數(shù)與雷諾數(shù)Re無關(guān)[1]。因此，本題所提及的小型試驗滿足了（重力相似）準(zhǔn)則，其中g(shù)則各物理量之間的關(guān)系[5]如下：長度比尺：lp/ 時間比尺t 流量比尺： 流速比尺： 力的比尺：F