題型八二次函數綜合題類型三與等腰三角形有關的問題題型八二次函數綜合題滿分技法問題找點求點坐標“萬能法”其他方法等腰三角形

已知點A、B和直線l，在l上求點P，使△PAB為等腰三角形

分別以點A、B為圓心，以線段AB長為半徑作圓，再作AB的中垂線，兩圓和中垂線與l的交點即為所有P點分別表示出點A、B、P的坐標，再表示出線段AB、BP、AP的長度，由①AB＝AP、②AB＝BP、③BP＝AP列方程解出坐標作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關系滿分技法問題找點求點坐標“萬能法”其他方法等腰三角形

例3如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，且一次函數圖象經過點B、C，拋物線的頂點為D，對稱軸與直線BC交于點E，與x軸交于點F.(1)求一次函數解析式及頂點D的坐標；典例精講例3如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝－x2解：已知拋物線y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，令x＝0，則y＝3，∴C(0，3)，設一次函數解析式y(tǒng)＝kx＋b，代入B、C點坐標可得k＝－1，b＝3，∴y＝－x＋3.由頂點坐標公式可得D(1，4)；解：已知拋物線y＝－x2＋2x＋3，(2)如圖②，連接AC，CF，判斷△CAF的形狀，并說明理由；【思維教練】先確定點F的坐標，由拋物線解析式易得點A，點C坐標，即可求出AC，AF，CF，從而判斷出△CAF的形狀．(2)如圖②，連接AC，CF，判斷△CAF的形狀，并說明理解：△CAF是等腰三角形，理由如下：∵拋物線的對稱軸為x＝1，∴點F的坐標為(1，0)，∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AC＝，FC＝，AF＝2，∴AC，FC，AF不滿足勾股定理，但AC＝FC，∴△CAF是等腰三角形；解：△CAF是等腰三角形，理由如下：(3)如圖③，連接AC，x軸上是否存在點G，使得△ACG是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練】由△ACG是以AC為底邊的等腰三角形得到AG＝CG.設出點G的坐標，然后表示出AG和CG.列關系式即可求解．(3)如圖③，連接AC，x軸上是否存在點G，使得△ACG是解：存在．如解圖①，作AC的垂直平分線，交x軸于點G，則點G即為所求．設點G的坐標為(g，0)，在Rt△COG中，CO＝3，OG＝g，由勾股定理得：CG2＝CO2＋OG2＝9＋g2.又∵AG＝g＋1，AG＝CG，∴9＋g2＝(g＋1)2，解得g＝4，∴存在點G(4，0)使得△ACG是以AC為底邊的等腰三角形；解：存在．如解圖①，作AC的垂直平分線，交x軸于點G，則點G(4)x軸上是否存在點G，使得△BCG是以BC為腰的等腰三角形，若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練】由△BCG是以BC為腰的等腰三角形，從而分CG＝CB和BG＝BC兩種情況討論即可得解．(4)x軸上是否存在點G，使得△BCG是以BC為腰的等腰三角解：存在．設點G的坐標為(g，0)，∵點C(0，3)，點B(3，0)，∴在Rt△OBC中，由勾股定理得BC＝3.△BCG是以BC為腰的等腰三角形，分兩種情況：(i)△BCG是以BC為腰，C為頂點的等腰三角形，如解圖②，∵CO⊥BG且BC＝CG，∴GO＝BO＝3，∴點G的坐標為(－3，0)；解：存在．設點G的坐標為(g，0)，(ii)△BCG是以BC為腰，B為頂點的等腰三角形，如解圖③，BG＝|3－g|＝3，解得g1＝3＋3，g2＝3－3，此時點G的坐標為(3＋3，0)或(3－3，0)．綜上，x軸上存在點G使△BCG是以BC為腰的等腰三角形，點G的坐標為(－3，0)或(3＋3，0)或(3－3，0)；(ii)△BCG是以BC為腰，B為頂點的等腰三角形，如解圖③(5)若點P在拋物線上，點Q在拋物線對稱軸上，是否存在點P使得△PDQ是等邊三角形．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練】由(1)知拋物線解析式，對稱軸及頂點D的坐標，過點P作PH⊥DQ于點H，設出P點坐標，由等邊三角形的性質可得PH＝DH，可得H點坐標，從而求得點P的坐標，由拋物線的對稱性可知點P在對稱軸兩側各有一點，求得符合條件的另一P點坐標即可．(5)若點P在拋物線上，點Q在拋物線對稱軸上，是否存在點P解：存在．由(1)得拋物線的頂點D的坐標為(1，4)，對稱軸為x＝1，∵點P在拋物線上，設點P的坐標為(t，－t2＋2t＋3)，如解圖④，過P作PH⊥DQ于點H，連接DP、PQ，∵△DPQ是等邊三角形，PH⊥DQ，∴DH＝HQ，PH＝DH，∴點H的坐標為(1，－t2＋2t＋3)，∴DH＝4－(－t2＋2t＋3)＝t2－2t＋1，當點P在DQ的右側時，PH＝t－1，∴t－1＝(t2－2t＋1)，例3題解圖④解：存在．由(1)得拋物線的頂點D的坐標為(1，4)，對稱軸即t2－(2＋1)t＋＋1＝0，解得t1＝

，t2＝1(舍)，此時點P的坐標為()，當點P在DQ的左側時，根據對稱性可知，xP′＝2－xP＝2－，此時點P′的坐標為()．綜上，符合條件的點P坐標為()或().即t2－(2＋1)t＋＋1＝0編后語聽課對同學們的學習有著非常重要的作用。課聽得好好，直接關系到大家最終的學習成績。如何聽好課，同學們可以參考如下建議：一、聽要點。一般來說，一節(jié)課的要點就是老師們在備課中準備的講課大綱。許多老師在講課正式開始之前會告訴大家，同學們對此要格外注意。例如在學習物理課“力的三要素”這一節(jié)時，老師會先列出力的三要素——大小、方向、作用點。這就是一堂課的要點。把這三點認真聽好了，這節(jié)課就基本掌握了。二、聽思路。思路就是我們思考問題的步驟。例如老師在講解一道數學題時，首先思考應該從什么地方下手，然后在思考用什么方法，通過什么樣的過程來進行解答。聽課時關鍵應該弄清楚老師講解問題的思路。三、聽問題。對于自己預習中不懂的內容，上課時要重點把握。在聽講中要特別注意老師和課本中是怎么解釋的。如果老師在講課中一帶而過，并沒有詳細解答，大家要及時地把它們記下來，下課再向老師請教。四、聽方法。在課堂上不僅要聽老師講課的結論而且要認真關注老師分析、解決問題的方法。比如上語文課學習漢字，一般都是遵循著“形”、“音”、“義”的研究方向；分析小說，一般都是從人物、環(huán)境、情節(jié)三個要素入手；寫記敘文，則要從時間、地點、人物和事情發(fā)生的起因、經過、結果六個方面進行敘述。這些都是語文學習中的一些具體方法。其他的科目也有適用的學習方法，如解數學題時，會用到反正法；換元法；待定系數法；配方法；消元法；因式分解法等，掌握各個科目的方法是大家應該學習的核心所在。優(yōu)等生經驗談：聽課時應注意學習老師解決問題的思考方法。同學們如果理解了老師的思路和過程，那么后面的結論自然就出現了，學習起來才能夠舉一反三，事半功倍。2022/11/1最新中小學教學課件15編后語聽課對同學們的學習有著非常重要的作用。課聽得好好，直2022/11/1最新中小學教學課件16謝謝欣賞！2022/10/23最新中小學教學課件16謝謝欣賞！題型八二次函數綜合題類型三與等腰三角形有關的問題題型八二次函數綜合題滿分技法問題找點求點坐標“萬能法”其他方法等腰三角形

已知點A、B和直線l，在l上求點P，使△PAB為等腰三角形

分別以點A、B為圓心，以線段AB長為半徑作圓，再作AB的中垂線，兩圓和中垂線與l的交點即為所有P點分別表示出點A、B、P的坐標，再表示出線段AB、BP、AP的長度，由①AB＝AP、②AB＝BP、③BP＝AP列方程解出坐標作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關系滿分技法問題找點求點坐標“萬能法”其他方法等腰三角形

例3如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，且一次函數圖象經過點B、C，拋物線的頂點為D，對稱軸與直線BC交于點E，與x軸交于點F.(1)求一次函數解析式及頂點D的坐標；典例精講例3如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝－x2解：已知拋物線y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，令x＝0，則y＝3，∴C(0，3)，設一次函數解析式y(tǒng)＝kx＋b，代入B、C點坐標可得k＝－1，b＝3，∴y＝－x＋3.由頂點坐標公式可得D(1，4)；解：已知拋物線y＝－x2＋2x＋3，(2)如圖②，連接AC，CF，判斷△CAF的形狀，并說明理由；【思維教練】先確定點F的坐標，由拋物線解析式易得點A，點C坐標，即可求出AC，AF，CF，從而判斷出△CAF的形狀．(2)如圖②，連接AC，CF，判斷△CAF的形狀，并說明理解：△CAF是等腰三角形，理由如下：∵拋物線的對稱軸為x＝1，∴點F的坐標為(1，0)，∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AC＝，FC＝，AF＝2，∴AC，FC，AF不滿足勾股定理，但AC＝FC，∴△CAF是等腰三角形；解：△CAF是等腰三角形，理由如下：(3)如圖③，連接AC，x軸上是否存在點G，使得△ACG是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練】由△ACG是以AC為底邊的等腰三角形得到AG＝CG.設出點G的坐標，然后表示出AG和CG.列關系式即可求解．(3)如圖③，連接AC，x軸上是否存在點G，使得△ACG是解：存在．如解圖①，作AC的垂直平分線，交x軸于點G，則點G即為所求．設點G的坐標為(g，0)，在Rt△COG中，CO＝3，OG＝g，由勾股定理得：CG2＝CO2＋OG2＝9＋g2.又∵AG＝g＋1，AG＝CG，∴9＋g2＝(g＋1)2，解得g＝4，∴存在點G(4，0)使得△ACG是以AC為底邊的等腰三角形；解：存在．如解圖①，作AC的垂直平分線，交x軸于點G，則點G(4)x軸上是否存在點G，使得△BCG是以BC為腰的等腰三角形，若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練】由△BCG是以BC為腰的等腰三角形，從而分CG＝CB和BG＝BC兩種情況討論即可得解．(4)x軸上是否存在點G，使得△BCG是以BC為腰的等腰三角解：存在．設點G的坐標為(g，0)，∵點C(0，3)，點B(3，0)，∴在Rt△OBC中，由勾股定理得BC＝3.△BCG是以BC為腰的等腰三角形，分兩種情況：(i)△BCG是以BC為腰，C為頂點的等腰三角形，如解圖②，∵CO⊥BG且BC＝CG，∴GO＝BO＝3，∴點G的坐標為(－3，0)；解：存在．設點G的坐標為(g，0)，(ii)△BCG是以BC為腰，B為頂點的等腰三角形，如解圖③，BG＝|3－g|＝3，解得g1＝3＋3，g2＝3－3，此時點G的坐標為(3＋3，0)或(3－3，0)．綜上，x軸上存在點G使△BCG是以BC為腰的等腰三角形，點G的坐標為(－3，0)或(3＋3，0)或(3－3，0)；(ii)△BCG是以BC為腰，B為頂點的等腰三角形，如解圖③(5)若點P在拋物線上，點Q在拋物線對稱軸上，是否存在點P使得△PDQ是等邊三角形．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練】由(1)知拋物線解析式，對稱軸及頂點D的坐標，過點P作PH⊥DQ于點H，設出P點坐標，由等邊三角形的性質可得PH＝DH，可得H點坐標，從而求得點P的坐標，由拋物線的對稱性可知點P在對稱軸兩側各有一點，求得符合條件的另一P點坐標即可．(5)若點P在拋物線上，點Q在拋物線對稱軸上，是否存在點P解：存在．由(1)得拋物線的頂點D的坐標為(1，4)，對稱軸為x＝1，∵點P在拋物線上，設點P的坐標為(t，－t2＋2t＋3)，如解圖④，過P作PH⊥DQ于點H，連接DP、PQ，∵△DPQ是等邊三角形，PH⊥DQ，∴DH＝HQ，PH＝DH，∴點H的坐標為(1，－t2＋2t＋3)，∴DH＝4－(－t2＋2t＋3)＝t2－2t＋1，當點P在DQ的右側時，PH＝t－1，∴t－1＝(t2－2t＋1)，例3題解圖④解：存在．由(1)得拋物線的頂點D的坐標為(1，4)，對稱軸即t2－(2＋1)t＋＋1＝0，解得t1＝

，t2＝1(舍)，此時點P的坐標為()，當點P在DQ的左側時，根據對稱性可知，xP′＝2－xP＝2－，此時點P′的坐標為()．綜上，符合條件的點P坐標為()或().即t2－(2