一、x趨于時的函數(shù)極限設(shè)函數(shù)f

(x)定義在a,

上,當(dāng)x沿著x軸的正向無限遠離原點時,函數(shù)f

(x)也無限地接近A,就稱f(x)當(dāng)x

趨于時以A為極限.Af

(

x)xyOy

arctan

x,當(dāng)x

趨于

時,例如函數(shù)xyπ210.510203040Oπarctan

x

以2為極限.或者

f

(

x)

A

(

x

).xlim

f

(

x)

A定數(shù),若對于任意正數(shù)

0當(dāng)x

M

時,存在A

為使得M

(f

(

x)

A

,則稱函數(shù)f

(x)當(dāng)x

趨于

時以A

為極限.記為定義1

設(shè)

f

為定義在a,

上的一個函數(shù).④有A

f

(x)

A

xlim

f

(x)

A

的幾何意義③使當(dāng)x

M

時x①任意給定

0M②存在M

axyA

AA

Oa④有A

f

(x)

A

xlim

f

(x)

A

的幾何意義③使當(dāng)x

M

時x①任意給定

0M②存在M

axyA

AA

Oa注數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù).

請大家比較數(shù)列極限定義與函數(shù)極限定義之間的相同點與不同點.所以(由定義1),例1

證明

lim

1

0.x

x證任給

0,取M

1

,當(dāng)x

M

時,f

(

x)

0

,1xlim

1

0.x

x例2x證明lim

arctan

x

.2),

取M

tan(證任給

0(

2

).2這就是說2xlim

arctan

x

π

.因為arctan

x

嚴(yán)格增當(dāng)x

M

時f

(

x)

π

π

arctan

x2

2

π

(

π

)

.2

2若對于任意

0

,

存在

M

0,

當(dāng)

x

M

(

b)

時f

(

x)

A

,定義2

設(shè)f

(x)定義在

,b

上,A是一個常數(shù).記為則稱f

(x)當(dāng)x

時以A

為極限,x

lim

f

(

x)

A

或

f

(

x)

A

(

x

).定義3

設(shè)

f

(

x)定義在的某個鄰域U

()

內(nèi),A為一個常數(shù).

若對于任意

0,

存在M

0

當(dāng)x

M

時f

(

x)

A

,則稱

f

(

x)

當(dāng)

x

時以

A

為極限

記為lim

f

(

x)

A

或

f

(

x)

A

(

x

).x證

對于任意正數(shù)

(0

1),

取

M

ln

,當(dāng)

x

ln

時這就是說x

例3

求證

lim

ex

0.

0

ex

.exlim

ex

0.x

0.1例4

求證

limx

1

x21

x2x21

0

1

,所以結(jié)論成立.證對于任意正數(shù)

,可取M

1

,當(dāng)x

M

時,有從定義1、2

、3

不難得到:xlim

f

(

x)

lim

f

(

x)

A.x

x

定理

3.1

f

(

x)

定義在

的一個鄰域內(nèi)，則lim

f

(x)

A

的充要條件是：x則由定理

3.1，lim

arctan

x

不存在.2

2x

xlim

arctan

x

π

,

lim

arctan

x

π

,例如二、x趨于x0

時的函數(shù)極限設(shè)函數(shù)

f

(x)

在點

x0的某空心鄰域

U

(

x

)

內(nèi)有定義.0下面

直接給出函數(shù)

f

(x)當(dāng)

x

x0

時以常數(shù)

A為極限的定義.定義4

設(shè)

f

(

x)

在點

x0

的某空心鄰域U

(

x)

內(nèi)有數(shù)

,

當(dāng)

x

U

x

U

x

(時,,)0f

(

x)

A

,A是一個常數(shù).如果對于任意正數(shù)

,存在正定義)(當(dāng)

0

時以

Alim

f

(

x)

Ax

x0或者f

(

x)

A

(

x

x0

).f

限.記為則稱例5

證明.x

1

2

1x

1

2

2limx1分析對于任意正數(shù)

,要找到

0,當(dāng)0

|

x

1

|

時,

使x

1

2

111x

1x

1

2

2

2因x

12

2(

x

1

2)2

x

1

,只要

x

1

,

()

式就能成立,

故取

即可.證

任給正數(shù)

,

取

,

當(dāng)0

x

x0

時,

.

()2

2x

1

2x

12

2(

x

1

2

)22

2(

x

1

2

)這就證明了

x

1

,2

2x

1

2

1x

1.2

2x

1

2

1x

1limx1例60證明lim

x2

x2

.x

x00202因為此時有可以先限制x

x0

1,

x0

2

x0故只要所以02

xx2

0.0分析要使

1

2

x0

,這就證明了0x2

x2

.0lim

x2

x2

.x

x0證

0

,

取

時,

有min

1,0

,1

2

x0當(dāng)0

x

x

例7求證：x

x0(1)

lim

sin

x

sin

x0;注在例5、例6中,

所考慮的式子適當(dāng)放大,其目的就是為了更簡潔地求出

,

或許所求出的

不是“最佳”的,

但這不影響

解題的有效性.x

x0(2)

lim

cos

x

cos

x0

.證首先，在右圖所示的單位圓內(nèi),當(dāng)0

x

π時,

顯然有2SOAD

S扇形OAD

SOAB

,即12

2121

sin故tan

x

0

x

π

.sin

2

ODByC

A

xx上式中的等號僅在x

0

時成立.2因為當(dāng)x

π

時,0

,有

sin

x

x

.

又因為

sin

x,

x

均是奇函數(shù),

故sin

,0sin2對于任意正數(shù)

,

取

,

當(dāng)

0

時,x

x0

x

x0

,lim

sin

x

sin

x0

.x

x0同理可證:lim

cos

x

cos

x0

.x

x0所以例7

證明：lim

xx0證因為

1|)|(.02200

||

x

x0

|1

x2

1

x

22

1

x2則

0,

取

0

,

當(dāng)00

|

.1

x2| 1

這就證明了所需的結(jié)論.00

|

x

x0

|

時

2

|

x

x0

|

,1

x

2在上面例題中,

需要注意以下幾點：強調(diào)其存在性.

換句話說,

對于固定得出不同的

,

不存在哪一個更1.對于

,的

,不同的方好的問題.2.

是不惟一的,一旦求出了

,那么比它更小的正數(shù)都可以充當(dāng)這個角色.3.正數(shù)是任意的,一旦給出,它就是確定的常數(shù).有時為了方便,需要讓

小于某個正數(shù).

一旦對這樣的

能找到相應(yīng)的

,

那么比它大的

,

這個

當(dāng)然也能滿足要求.

所以為貴”.有時戲稱

“

以小4.函數(shù)極限的幾何意義如圖,任給

0,對于坐標(biāo)平面上以y

=A為中心線,寬為2

的窄帶,可以找到

0,

使得曲線段0y

f

(

x),

x

U

(

x

,

)落在窄帶內(nèi).y

Ay

Ay

AOxy0x

0x0x

三、單側(cè)極限x

既可以從x0

的左側(cè)(x

x0

)但在某些時0在考慮

lim

f

(

x)

時x

x0又可以從x0

的右側(cè)趨向于定義5

設(shè)

f有定義),Ax

在U

x

U

x

0

0為常數(shù).

若對于任意正數(shù)

,

存在正數(shù)（

）,候,

僅需(僅能)在

x0的某一側(cè)來考慮,

比如函數(shù)在定義區(qū)間的端點和分段函數(shù)的分界點等.|

f（x）

A

|

,則稱

A

為函數(shù)

f

當(dāng)極限,記作00

(

)

時的右(左)xlim

f

(

x)

A

(

lim

f

(

x)

A

)

.00右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限,為了方便起見，有時記f

(

x0

0)

lim

f

(

x)

,

f

(

x

0)

lim

f

(

x).

)時，有當(dāng)

0

例7

函數(shù)

1

x2

在

x

1

處的單側(cè)極限.解

因為

|

x

|

1,

1

)

2

(1

x),x

1

時,有x1這就證明了lim1

x2

0.x

1同理可證

lim2| 1

x2

0

|

.

x2

0.所以

0,

取

2,

當(dāng)1不難得到：由定義3.4和定義3.5，定理3.1′

設(shè)f

(x)在U（注試比較定理3.1

與定理3.1′.

A.lim

f

(x)

A

的充要條件是:x

x0lim )(

lim0x）有定義，則x0

x0x0由于

lim

x

1s,glinm

x

1,

所以

lim

sgn

x不存在.作為本節(jié)的結(jié)束,例9

證明來介紹兩個特殊的函數(shù)極限.雷函數(shù)0，x

無理數(shù)D(

x)

1,x

有理數(shù)0

02證對于任意的

x

R,

以及任意實數(shù)

A

,

取

1

.處處無極限.0

|

x

*

x0

|

,

Q

滿足2若

A0||,

1

取

x*

對于任意的

12|

A

|

0

.*|D(

x

)

A

|

*若|

A20

1