沈陽大學(xué)教案課程名稱：工程數(shù)學(xué)——概率論與數(shù)理統(tǒng)計編寫時間：2006年7月15日第次第PAGE1頁授課章節(jié)第一章隨機事件目的要求了解隨機試驗，掌握隨機事件及其概率重點難點條件概率、貝葉斯公式、事件的獨立性。在人類社會的生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中，人們觀察到的現(xiàn)象大體上可分為兩種類型．一類是事前可以預(yù)知結(jié)果的，即在某些確定的條件滿足時，某一確定的現(xiàn)象必然會發(fā)生，或根它過去的狀態(tài)，完全可以預(yù)知其將來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)．我們稱這一類型的現(xiàn)象為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象．例如，在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100℃時一定沸騰；兩個同性的電荷一定互斥；冬天過去，春天就會到來，等等．還有另一類現(xiàn)象，它是事前不能預(yù)知結(jié)果的，即在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗時，每次所得到的結(jié)果未必相同，或者即使知道它過去的狀態(tài)，也不能肯定其將來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)．我們稱這一類型的現(xiàn)象為偶然性現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象．如拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，硬幣落地后的結(jié)果可能是帶幣值的一面朝上，也可能是另一面朝上，并且在每次拋幣之前，不能預(yù)知其拋幣后的結(jié)果肯定是什么；又如，某射擊運動員用一支步槍在同一地點進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次射擊的成績（環(huán)數(shù)）可能不同，并且在每次射擊之前，均無法預(yù)知其射擊后的成績是多少，等等．第1節(jié)：基本概念隨即實驗：我們常把對某種現(xiàn)象的一次觀察、測量或進(jìn)行一次科學(xué)實驗，統(tǒng)稱為一個試驗．如果這個試驗在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行，且每次試驗的結(jié)果是事前不可預(yù)知的，則稱此試驗為隨機試驗，也簡稱為試驗，記為E．下面是一些試驗的例子．E１：擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾；E２：工商管理部門抽查市場某些商品的質(zhì)量，檢查商品是否合格；E３：觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù)；E４：已知某物體的長度在a和b之間，測量其長度；E５：對某只燈泡做實驗，觀察其使用壽命；事件的關(guān)系和運算：在這里，我們用平面上的一個矩形表示樣本空間Ω，矩形內(nèi)的每個點表示一個樣本點，用兩個小圓分別表示事件A和B，則事件的關(guān)系與運算可用下圖來表示，其中，，，，，不發(fā)生。圖在書上。事件運算滿足的定律設(shè)為事件，則有交換律：；。結(jié)合律：；。分配律：；。德·摩根律：；。第2節(jié)：事件的概率頻率定義：設(shè)為任一隨機試驗，為其中任一事件，在相同條件下，把獨立的重復(fù)做次，表示事件在這次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)（稱為頻數(shù)）。比值稱為事件在這次試驗中出現(xiàn)的頻率。頻率滿足具有性質(zhì)：1°；2°；3°若A1、A2、…兩兩互斥的事件，則概率的統(tǒng)計定義設(shè)有隨機試驗，若當(dāng)試驗的次數(shù)充分大時，事件的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數(shù)附近擺動，則稱數(shù)為事件的概率，記為P(A)。它滿足：（1）非負(fù)性。（2）規(guī)范性。（3）可列可加性，設(shè)A1、A2、…兩兩互斥的事件，則第3節(jié)：古典概率模型例1．3.1擲一顆勻稱骰子，設(shè)A表示所擲結(jié)果為“四點或五點”，B表示所擲結(jié)果為“偶數(shù)點”求P（A）和P（B）．解設(shè)A１＝｛１｝，A２＝｛２｝，?，A６＝｛６｝分別表示所擲結(jié)果為“一點”，“兩點”，?，“六點”，則樣本空間Ω＝｛１，２，３，４，５，６｝，A１，A２，?，A６是所有不同的基本事件，且它們發(fā)生的概率相同，于是P（A１）＝P（A２）＝?＝P（A６）＝１６．由A＝A４∪A５＝｛４，５｝，B＝A２∪A４∪A６＝｛２，４，６｝，得P（A）＝２/６＝１/３，P（B）＝３/６＝１/２．例1．3．4有外觀相同的三極管６只，按電流放大系數(shù)分類，４只屬甲類，２只屬乙類．試按下列兩種方案抽取三極管兩只，求下列事件A，B，C，D的概率，這里A＝｛抽到兩只甲類三極管｝，B＝｛抽到兩只同類三極管｝，C＝｛至少抽到一只甲類三極管｝，D＝｛抽到兩只不同類三極管｝．抽取方案（１）每次抽取一只，測試后放回；然后再抽取下一只（這樣的抽取方法稱為放回抽樣）．（２）每次抽取一只，測試后不放回；然后在剩下的三極管中再抽取下一只（這樣的抽取方法稱為不放回抽樣）．解（１）先考慮放回抽樣的情況．由于每次抽測后放回，因此，每次都是在６只三極管中抽?。谝淮螐模吨恢腥∫恢?，共有６種可能的取法，第二次還是從６只中取一只，還是有６種可能的取法．所以，取兩只三極管共有６×６＝３６種可能的取法，即基本事件總數(shù)n＝３６，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同．因為第一次取一只甲類三極管共有４種可能的取法，第二次再取一只甲類三極管還是有４種可能的取法，所以，取兩只甲類三極管共有４×４＝１６種可能的取法，可知A包含的基本事件數(shù)為１６．于是P（A）＝１６/３６＝４/９．同理，＝｛抽到兩只乙類三極管｝包含的基本事件數(shù)為２×２＝４，P（C）＝１－P（）＝１－４/３６＝８/９．注意到B＝A∪，且A與互斥，得P（B）＝P（A）＋P（）＝４/９＋１/９＝５/９．再由D＝，得P（D）＝P（）＝１－P（B）＝１－５/９＝４/９．（２）考慮不放回抽樣的情況．由于第一次抽測后不放回，因此，第一次是從６只中取一只，共有６種可能的取法.而第二次是從５只中取一只，共有５種可能的取法．所以，取兩只三極管共有６×５＝３０種可能的取法，即基本事件總數(shù)n＝３０，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同．注意到第一次取一只甲類三極管共有４種可能的取法，第二次再取一只甲類三極管有3種可能的取法．所以，取兩只甲類三極管共有４×３＝１２種可能的取法，可知A包含的基本事件數(shù)為１２.于是P（A）＝１２/３０＝２/５．同理，＝｛抽到兩只乙類三極管｝包含的基本事件數(shù)為２×１＝２，P（C）＝１－P（）＝１－２/３０＝１４/１５．注意到B＝A∪，且A與互斥，得P（B）＝P（A）＋P（）＝２/５＋１/１５＝７/１５．再由D＝，得P（D）＝P（）＝１－P（B）＝１－７/１５＝８/１５．第4節(jié)：條件概率條件概率定義：設(shè)A和B是兩個事件，且P（B）＞０，稱P（A|B）＝P（AB）/P（B）為在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率．條件概率P（·｜B）滿足概率定義中的三條，即（１）對每個事件A，均有P（A｜B）≥０；（２）P（Ω｜B）＝１；（３）若A１，A２，?是兩兩互斥事件，則有P（（A１∪A２∪?）|B）＝P（A１|B）＋P（A２|B）＋?．乘法公式：若A和B是兩個事件，由條件概率定義的式可知，當(dāng)P（B）＞０時，有P（AB）＝P（B）·P（A|B）；同理，當(dāng)P（A）＞０時，有P（AB）＝P（A）·P（B|A）．通常稱上兩式為概率的乘法公式．全概率公式：設(shè)Ω是試驗E的樣本空間，A為一個事件，B１，B２，?，Bn為Ω的一個劃分，且P（Bi）＞０，i＝１，２，?，n，則有貝葉斯公式：設(shè)Ω是樣本空間，A為一個事件，B１，B２，?，Bn為Ω的一個劃分，且P（A）＞０，P（Bi）＞０，i＝１，２，?，n，則i＝１，２，?n．例1.4.7（續(xù)例1.4.5）現(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品，試問這顆螺釘由Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ號機器生產(chǎn)的概率各為多少？解由貝葉斯公式，得同理，可得這樣，此螺釘是Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ號機器生產(chǎn)的概率分別為１/２，８/２１，５/４２．第5節(jié)：事件的獨立性相互獨立的定義：設(shè)A和B是兩個事件，如果等式P（AB）＝P（A）P（B）成立，則稱事件A與B相互獨立．定理1．5．1若事件A與B相