中考專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)與方程(組)或不等式?知識(shí)講解(1)最大值或最小值的求法第一步確定a的符號(hào)：a>0有最小值，avO有最大值；第二步求頂點(diǎn)，?頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值．y軸與拋物線y=ax2+bx+c的交點(diǎn)為(0,c).與y軸平行的直線x=h與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah2+bh+c).拋物線與x軸的交點(diǎn).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2是對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x?軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)O△>0O拋物線與x軸相交.有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)O△=0O拋物線與x軸相切；沒有交點(diǎn)O△<0O拋物線與x軸相離.平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn).同(4)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)，1個(gè)交點(diǎn)，2個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，?兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k,則橫坐標(biāo)是ax2+bx+c=k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.一次函數(shù)y=kx+n(k^O)的圖像L與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^O)的圖像G的[y=kx+n交點(diǎn)，由方程組｛7的解的數(shù)目確定：①當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)OL[y=ax2+bx+c與G有兩個(gè)交點(diǎn)；②方程組只有一組解時(shí)OL與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)OL與G沒有交點(diǎn)．利用函數(shù)圖像求不等式的解集，先觀察圖像，找出拋物線與x軸的交點(diǎn)，?再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)寫出不等式的解集．注意：觀察圖像時(shí)不要看漏了其中的部分．

?例題解析例1如圖所示，已知拋物線y=—■—X2+(5^\'m2)x+m—3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，且OA=OB.(1)求m的值；(2)求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)問在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，△MAC?^△OAC，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【分析】拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，OA=OB,故A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，就可求得m的值，由拋物線交y軸的正半軸，得m的確定值.【解答】(1)T拋物線與y軸交于正半軸，且OA=OB.Im-3a>0(5-2=0由②得m=±5，由①m>3，故m=—5應(yīng)舍去..°.m=5.(2)拋物線的解析式為y=—2x2+2，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,2).(3)令y=0得—2x2+2=0,.°.x=±2..??A(2，0)，B(—2,0)，C(0，2)，△OAC是等腰直角三角形.若存在一點(diǎn)”，使厶MAC^^OAC，VAC為公共邊，OA=OC,??.點(diǎn)M與O關(guān)于直線AC對(duì)稱，???M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2).1當(dāng)x=2時(shí)，一—x2+2=0#2?M(2,2)不在拋物線上，即不存在一點(diǎn)”，使厶MAC9AOAC.【點(diǎn)評(píng)】存在性問題，通常是先假定存在，若能找出具備某種條件或性質(zhì)的對(duì)象，就說明存在，其敘述過程就是理由；若不存在，就需要進(jìn)一步說明理由．例2已知二次函數(shù)y=x2—(2m+4)x+m2—4(x為自變量)的圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，與x軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且A,B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離AO,OB?滿足3(?OB—AO)=2AO?OB,直線y=kx+k與這個(gè)二次函數(shù)圖像的一個(gè)交點(diǎn)為P,且銳角ZPOB?的正切值4.(1)求m的取值范圍;(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(3)確定直線y=kx+k的解析式．【分析】利用拋物線與X軸的交點(diǎn)A,B的位置及與y軸交點(diǎn)的位置和A,B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離可以求出m的值，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解.【解答】(1)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(X],0)，B(x2，0)(X]<x2),依題意，方程x2－(2m+4)x+m2－4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．.*.△=[—(2m+4)]2—4(m2—4)>0.解得m>－2．①又???函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，.m2—4<0，.—2<m<2.②7圖像交y軸于負(fù)半軸，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且x]<x2，.X1<0，X2>0.由3(OB—AO)=2AO?OB可得3[x2—(—x])]=2(—x])?x2即3(x1+x2)=—2x1x2由于X],x2是方程x2—(2m+4)x+m2—4=0的兩個(gè)根，所以x]+x2=2m+4，x]^x2=m2—4..3(2m+4)=—2(m2—4)整理，得m2+3m+2=0..m=—1或m=—2(舍去).?°?二次函數(shù)的解析式為y=x2—2x—3.由y=x2—2x—3,得A(—1，0)，B(3，0).?直線y=kx+k與拋物線相交，y=x2一2x+3,y=kx+k,x=一1,Ix=k+3,解得1或｛2解得y=0.Iy=k2+4k.22?/ZPOB為銳角.??.點(diǎn)P在y軸右側(cè)，???點(diǎn)P坐標(biāo)為(k+3,k2+4k),且k+3>0.VtanZPOB=4,Ik2+4kI=4.k+3如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)腫//?Auxypk2+4k-^=4?解得匕=2悩'3,k2=—2y3.k—3經(jīng)檢驗(yàn)，k]=2冒3,k2=—2丫'3都是方程的解，但k2+3v0.???k2=—舍去.?:直線的解析式為y=2丫3+2￡3.k2-4k當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，=—4,k-3解得k3=—2，k4=—6．經(jīng)檢驗(yàn)，k3=—2,k4=—6是方程的解，但k4+3<0.k4=—6舍去．y=—2x—2．44???所求直線的解析式為y=2打x+2再,或y=－2x－2【點(diǎn)評(píng)】本題以求解析式為目標(biāo)，綜合了函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，靈活性大，解題關(guān)鍵是認(rèn)真審題，認(rèn)真分析紛繁復(fù)雜的條件，從中找到解題的突破口，易錯(cuò)點(diǎn)是在第(3)小題中忽視分類討論而失解．?強(qiáng)化訓(xùn)練一、填空題TOC\o"1-5"\h\z與拋物線y=2x2-2x-4關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像表示的函數(shù)關(guān)系式是.已知二次函數(shù)y=(a-1)x2+2ax+3a-2的圖像最低點(diǎn)在x軸上，那么a=，此時(shí)函數(shù)的解析式為．某涵洞的截面是拋物線型，如圖1所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=-4x2,當(dāng)涵洞水面寬AB為i2m時(shí)，水面到橋拱頂點(diǎn)。?的距離為——口圖1圖2甲，乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出一顆十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為P,羽毛球飛行的水123平距離s(m)與其距地面咼度h(m)之間的關(guān)系式為h=-s2+—s+—.如圖2，JL厶J厶9已知球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5m,乙(用線段CD表示)扣球的最大高度為丁m，?設(shè)乙的起跳4點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，則m的取值范圍是.1若拋物線y=2x2與直線y=x+m只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為.5設(shè)拋物線y=x2+(2a+1)x+2a+的圖像與x?軸只有一個(gè)交點(diǎn)，?則ai8+?323a-?的值為．7.已知直線y=—2x+3與拋物線y=x2相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么△OAB?的面積等于．8．圖3為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，在下列說法中：①abvO；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=—1,x2=3；③a+b+c>0；④當(dāng)x>1時(shí)，y隨著x?的增大而增大.正確的說法有．（請(qǐng)寫出所有正確說法的序號(hào)）圖3圖4圖5二、選擇題19?小敏在某次投籃球中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=—5X2+3.5的一部分（圖4）,若命中籃圈中心，則他與籃底的距離是（）A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6m當(dāng)m在可以取值范圍內(nèi)取不同的值時(shí)，代數(shù)$27-4m+2m2的最小值是（）A.0B.5C.3『3D.9二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖5所示，則下列結(jié)論：①a>0，②c>0，?③b2—4ac>0,其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)拋物線y=x2+（2m—1）x+m2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）1111A.m>B.m>—C.m<D.m<444413.根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值，?判斷方程ax2+bx+c=0(a^O,a，b，c為常數(shù))的一個(gè)解x的范圍是()x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c—0.03—0.010.020.04A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.20若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^O)的圖像的頂點(diǎn)在第一象限且經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(?—1,0),則S=a+b+c的值的變化范圍是()A.0<S<2B.0<S<1C.1<S<2D.—1<S<14acb2二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^O)的最大值是零，那么代數(shù)式|a|+石的化簡結(jié)果是()A.aB.—aC.D.0已知y=2x2的圖像是拋物線，若拋物線不動(dòng)，把x軸，y?軸分別向上，向右平移2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是()A.y=2(x—2)2+2B.y=2(x+2)2—2C.y=2(x—2)2—2D.y=2(x+2)2+2三、解答題如圖，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，?兩小孔形狀，大小都相同.正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB=20m,頂點(diǎn)M距水面6m(即M0=6m),?小孔頂點(diǎn)N距水面4.5m(即NC=4.5m).當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時(shí)，借助圖中的直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬度EF.雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看3成一點(diǎn)）的路線是拋物線y=—§x2+3x+1的一部分，如圖所示.（1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m,在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4m,問這次表演是否成功？請(qǐng)說明理由.某企業(yè)信息部進(jìn)行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：信息一：如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品，則所獲利潤yA（萬元）與投資金額x（萬元）?之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：yA=kx，并且當(dāng)投資5萬元時(shí)，可獲利潤2萬元；信息二：如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤yB（萬元）與投資金額x（萬元）?之間存在二次函數(shù)關(guān)系：yB=ax2+bx,并且當(dāng)投資2萬元時(shí)，可獲利潤2.4萬元；當(dāng)投資4萬元時(shí)，?可獲得3.2萬元.（1）請(qǐng)分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式；（2）如果企業(yè)同時(shí)對(duì)A，B兩種產(chǎn)品共投資10萬元.?請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少.如圖所示，拋物線L］：y=—x2—2x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y?軸于M點(diǎn).拋物線L1向右平移2個(gè)單位后得到拋物線L2，L2交x軸于C，D兩點(diǎn).（1）求拋物線l2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線L1或L2在x軸下方的部分是否存在點(diǎn)N,使以A，C，M，N?為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)P是拋物線L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)A，B重合），那么點(diǎn)P?關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q是否在拋物線L2上，請(qǐng)說明理由.軸的右側(cè)．設(shè)直線y=x與二次函數(shù)圖像自左向右分別交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，?且OP：PQ=1：3.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求厶PAQ的面積；（3）在線段PQ上是否存在一點(diǎn)。，使厶APD9AQPA，若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，?若不存在，說明理由.22.已知二次函數(shù)y=ax2—ax+m的圖像交x軸于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，x1<x2，交y軸的負(fù)半軸于C點(diǎn)，且AB=3，tanZBAC—tanZABC=l.（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在第一象限，拋物線上是否存在點(diǎn)P,使SaPAc=6?若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)P的坐標(biāo);?若不存在，請(qǐng)你說明理由.

答案:1.y=—2x2+2x+42.2；y=x2+4x+43.94.5vmv4+J715.—-6.57967.68.①②④9.B10.B11.C12.C13.C14.A15.B16.B17.設(shè)拋物線解析式為y=ax2+6，依題意得，B(10,0).ax102+6=0,解得a=—0.06.即y=—0.06x2+6，當(dāng)y=4.5時(shí)，一0.06x2+6=4.5,解得x=±5,.DF=5，EF=10，即水面寬度為10m.TOC\o"1-5"\h\z3351918.(1)y=x2+3x+1=(x—)2+-.5524319???一E<0,???函數(shù)的最大值是〒.5419答：演員彈跳離地面的最大高度是〒m.43(2)當(dāng)x=4時(shí)，y=—5x42+3x4+1=3.4=BC,所以這次表演成功.19．(1)當(dāng)x=5時(shí)，yA=2，2=5k，k=0.4．?yA=0.4x，當(dāng)x=2時(shí)，yB=2.4；當(dāng)x=4時(shí)，yB=3.2．解得a——0.2,b—1.6.2.4二4a+2解得a——0.2,b—1.6.3.2二16a+4b.(2)設(shè)投資B種商品x萬元，則投資A種商品(10—x)萬元，獲得利潤W萬元,根據(jù)題意可得W=—0.2x2+1.6x+0.4(10—x)=—0.2x2+1.2x+4．?W=—0.2(x—3)2+5.8．當(dāng)投資B種商品3萬元時(shí)，可以獲得最大利潤5.8萬元.所以投資A種商品7萬元，B種商品3萬元，這樣投資可以獲得最大利潤5.8萬元.20.(1)令y=0時(shí)，得一X2—2x+3=0,.°.X]=—3，X2=1,.：A(—3，0)，B(1，0).???拋物線L1向右平移2個(gè)單位長度得拋物線L2，.??C(—1，0)，D(3，0).?:拋物線L2為y=—(x+1)(x—3).即y=—X2+2X+3．(2)存在．如圖所示．令x=0，得y=3,.°.M(0，3).???拋物線L2是L1向右平移2個(gè)單位長度得到的，???點(diǎn)N(2,3)在L2上，且MN=2,MN〃AC.又VAC=2,AMN=AC.?四邊形ACNM為平行四邊形．同理，L1上的點(diǎn)N，(—2,3)滿足NM〃AC,NM=AC,???四邊形ACMN是平行四邊形..??N(2,3),N(—2,3)即為所求.(3)設(shè)P(x1，y1)是L]上任意一點(diǎn)(y#0),則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q(—x1，—y1),且y1=—x12—2x1+3，將點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入L2，得『q=—X]2—2X]+3=y]工一

???點(diǎn)Q不在拋物線L2上.21．（1）拋物線過（0，4）點(diǎn)?c=4，?y=ax2+bx+4又OP：PQ=1：3?x1：x2=1：4y=y=xy=ax2+bx+4ax2+(b－1)x+4=0，???X],x2是該方程的兩個(gè)根,?x1+x2=－消去X1得25a=（b－1）2.??拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)b?.一^―>0,2ab?-<0,又拋物線的頂點(diǎn)在X軸上,a4=2「9=6.?.b2=16a得a=1,b=—4(=2「9=6.?.y=x2—4x+4.(2)如圖所示，S=S—S△PAQ△AQO△APO=IX4XX2—2X4XX1=2(X2—X1)=2應(yīng)x2+X1)2—4X1X282得m=3或—.(3)存在點(diǎn)D,設(shè)D(m,n)易得P(1,1),Q82得m=3或—.由厶APDs^qpa得PA2=PQ.PD，運(yùn)用勾股定理得|m—1|=5?1<m<4，88?D(—,3人

22.(1)TAB=3,X]<x2,*.*x2—X]/r